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1、二次函数复习课,二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)的函数叫做二次函数,想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢?,注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.,二次函数的一般形式,函数yax2bxc其中a、b、c是常数切记：a0右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）二次函数的特殊形式：当b0时，yax2c当c0时，yax2bx当b0，c0时，yax2,知识运用,下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1(2)y=3x2(3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1(5)y=x-2+x(6)y=x2-x(1+x),驶向胜利的
2、彼岸,当m取何值时，函数是y=(m+2)x 分别 是一次函数？,知识运用,m2-2,二次函数？,（一）形如y=ax 2(a0)的二次函数,向上,向下,直线X=0,(0,0),（二）形如y=ax 2+k(a0)的二次函数,直线X=0,（0，K）,向上,向下,直线X=h,（h，0）,（三）、形如y=a(x-h)2(a0)的二次函数,巩固练习1：（1）抛物线y=x 2的开口向,对称轴是,顶点坐标是,图象过第 象限；,（2)已知y=-nx 2(n0),则图象()（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。,上,Y轴,(0,0),一、二,不可能,（3）抛物线y=x 2+3的开口向,对称轴是,顶点坐标是
3、,是由抛物线y=x 2向 平移 个单位得到的；,上,直线X=0,（0，3）,上,3,（2）已知（如图）抛物线y=ax 2+k的图象，则a 0，k 0；若图象过A(0,-2)和B(2,0)，则a=,k=；函数关系式是y=。,0.5,-2,0.5x 2-2,(四)形如y=a(x+h)2+k(a 0)的二次函数,a 0,a 0,直线X=-h,（-h，k）,练习巩固2:（1）抛物线 y=2(x)2+1 的开口向,对称轴,顶点坐标是（2）若抛物线y=a(x+m)2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0,m 0,n 0。,上,X=,（，1）,0,观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6
4、x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的？,y=x2-6x+7,=x2-6x+9-2,=(x-3)2-2,平移规律：h决定左右左正右负K决定上下上正下负,基础练习,1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 _,2.由函数y=-3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为_,y=2(x+2)2-3,=2x2+8x+5,y=-3(x-1-4)2+2+3,=-3x2+30 x-70,3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为_;,y=2(x+1)2-
5、8,4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.,逆向思考,由y=x2-6x+4=(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形
6、填表：,归纳知识点：,抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：,（1）a的符号：,由抛物线的开口方向确定,开口向上,a0,开口向下,a0,（2）C的符号：,由抛物线与y轴的交点位置确定.,交点在x轴上方,c0,交点在x轴下方,c0,经过坐标原点,c=0,（3）b的符号：,由对称轴的位置确定,对称轴在y轴左侧,a、b同号,对称轴在y轴右侧,a、b异号,对称轴是y轴,b=0,（4）b2-4ac的符号：,由抛物线与x轴的交点个数确定,与x轴有两个交点,b2-4ac0,与x轴有一个交点,b2-4ac=0,与x轴无交点,b2-4ac0,17.根据下列表格中二次函数yax2+bx+c的自变量与函数值的对应值
7、，判断方程ax2+bx+c=0（a0,a,b,c为常数）的一个解的范围是（）,A6.17 X 6.18 B6.18 X 6.19C-0.01 X 0.02 D6.19 X 6.20,B,（16）小明从右边的二次函数yax2bxc的图象观察得出下面的五条信息：a 0；c0；函数的最小值为-3；当x0时，y0；当0 x1x22时，y1 y2 你认为其中正确的个数有（）A2 B3 C4 D5,C,练一练：已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,a_0,b_0,c_0,abc_0 b_2a,2a-b_0,2a+b_0 b2-4ac_0 a+b+c_0,a-b+c_0 4a-2b+c_0,0,-1,1,
8、-2,二次函数与一元二次方程,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.,有两个交点,有两个相异的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac=0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,选择抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_.A 直线x=1 B直线x=-1 C 直线x=2 D直线x=-2(2)抛物线y=3x2-1的_ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点
9、 D 开口向下,有最低点(3)若y=ax2+bx+c(a 0)与x轴交于点A(2,0),B(4,0),则对称轴是_ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x=-3(4)若y=ax2+bx+c(a 0)与x轴交于点A(2,m),B(4,m),则对称轴是_ A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x=-3 D直线x=2,c,B,C,A,2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为_,1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-
10、x1)(x-x2)(a0),求抛物线解析式的三种方法,练习根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；,(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；,(3)、图象经过(-2，0)，(3，0)，且最高点 的纵坐标是3。,例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为2又抛物线的顶点在直线y=x+1上当y=2时，x=1 顶点坐标为（1，2）设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又图象经过点（3，-6）-6=a(3-1)
11、2+2 a=-2二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x,综合创新:1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状 相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或(1,-5)所以其解析式为:(1)y=(x-1)2+5(2)y=(x-1)2-5(3)y=-(x-1)2+5(4)y=-(x-1)2-5,2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平
12、移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.,分析:,(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0),(2)新抛物线向右平移5个单位,再向上平移4个单位即得原抛物线,答案:y=-x2+6x-5,练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1，最高点在直线y=2x+4上。(1)求此抛物线的顶点坐标.（2）求抛物线解析式.,（3）求抛物线与直线的交点坐标.,解：二次函数的对称轴是x=1 图象的顶点横坐标为1又图象的最高点在直线y=2x+4上当x=1时，y=6顶点坐标为（1，6）,练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。,(1)、
13、当x为何值时，y随x的增大而增大;,(2)、当x为何值时，y0。,(3)、求它的解析式和顶点坐标；,2.5,D,解：当x=15时，,Y=-1/25 152=-9,问题1：,问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？,分析：利润=（每件商品所获利润）（销售件数）,设每个涨价x元，那么,（3）销售量可以表示为,（1）销售价可以表示为,（50+x）元（x 0，且为整数）,(500-10 x)个,（2）一个商品所获利润可以表示为,（50+x-40）元,（4）共获利润可以表示为,(5
14、0+x-40)(500-10 x)元,答：定价为70元/个，利润最高为9000元.,解：,y=(50+x-40)(500-10 x),=-10 x2+400 x+5000,(0 x50,且为整数),=-10（x-20）2+9000,问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？,问题5:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面
15、积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。,解：,(1)AB为x米、篱笆长为24米 花圃另一边为（244x）米,(3)墙的可用长度为8米,(2)当x 时，S最大值 36（平方米）,Sx（244x）4x224 x（0 x6）,0244x 8 4x6,当x4m时，S最大值32 平方米,小试牛刀 如图，在ABC中，AB=8cm，BC=6cm，B90，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后PBQ的面积最大？最大面积是多少？,P,Q,解：根据题意，设经过x秒后PBQ的面
16、积y最大,则：,AP=2x cm PB=（8-2x）cm,QB=x cm,则 y=1/2 x（8-2x）,=-x2+4x,=-（x2-4x+4-4）,=-（x-2）2+4,所以，当P、Q同时运动2秒后PBQ的面积y最大最大面积是 4cm2,（0 x4）,P,Q,如图，在ABC中，AB=8cm，BC=6cm，B90，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后PBQ的面积最大？最大面积是多少？,在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？,D,C,A,B,G,H,F,E,10,6,再显身手,解：设花园的面积为y则 y=60-x2-（10-x）（6-x）,=-2x2+16x,（0 x6）,=-2（x-4）2+32,所以当x=4时 花园的最大面积为32,实际问题,抽象,转化,数学问题,运用,数学知识,问题的解,谈谈你的学习体会,“二次函数应用”的思路,1.理解问题;,2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;,3.用数学的方式表示出它们之间的关系;,4.解题求解;,5.检验结果的合理性,拓展等.,
