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1、二次函数,明月中学,二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质,y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,结论:一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同。,各种形式的二次函数的关系,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,向上,向下,当x=h时,最小值为k.,当x=h时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧
2、,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,练习,向上,(2,3),向下,向下,(1,2),(5,-9),向上,直线x=4,直线x=2,直线x=1,直线x=5,(4,1),y=-5(x-2)2-3,y=7(x-1)2+2,y=2(x5)2-9,1.完成下列表格:,2.请回答抛物线y=-3(x+2)2-4由抛物线y=-3x2怎样平移得到?,二次函数 yax2bx+c 的图象和性质,思考,我们知道，像ya(x-h)2k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（h，k）,二次函数 y x26x21也能化成这样的形式吗？,配方得：,y x26x
3、21,配方,y=(x6)+3,2,1,2,你知道是怎样配方的吗？,(1)“提”：提出二次项系数；,(2)“配”：括号内配成完全平方；,（3）“化”：化成顶点式。,x6,y(x6)23,y x26x21,配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,这个结果通常称为求顶点坐标公式.,问题：如何把yax2bxc（a0）化成ya(x-h)2k的形式？,抛物线yax2bxc,a(x)2,如果a0时，那么当，y最小值,x,x,对称轴：,顶点坐标：,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位
4、置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,例.1把下列二次函数化成ya(x-h)2k的形式，并写出抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，最大（或最小）值：,请画出草图:,y=2x2-5x+3,y=(x-3)(x+2),y=x2+4x-9,求下列二次函数图像的
5、开口、顶点、对称轴,请画出草图:,3,9,6,小试牛刀,的图像，利用函数图像回答：,例2.画出,(1)x取什么值时，y0？(2)x取什么值时，y0？(3)x取什么值时，y0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？,（2,2）,x=2,（0,6）,（1,0）,（3,0）,（4,6）,由图像知：,当x1或x3时，y0；,(2)当1x3时，y0；,(3)当x1或x3时，y0；,(4)当x2时，y有最大值2。,x,y,归纳,二次函数 y=x 6x+21图象的画法：,(1)“化”：化成顶点式；,(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；,(3)“画”：列表、描点、连线。,2,1,2,“五点法”画图
6、,总结：1、“五点”：顶点坐标与y轴的交点坐标与y轴的交点坐标关于对称轴的对称点与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。,作业,课本17页第3题,二次函数的性质2,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着
7、x的增大而减小.,根据图形填表：,抛物线位置与系数a，b，c的关系：,a决定抛物线的开口方向：a0 开口向上,a0 开口向下,a，b决定抛物线对称轴的位置:x=,a，b同号 对称轴在y轴左侧；b=0 对称轴是y轴；a，b异号 对称轴在y轴右侧,2a,b,左同右异,c决定抛物线与y轴交点的位置：c0 图象与y轴交点在x轴上方；c=0 图象过原点；c0 图象与y轴交点在x轴下方。,顶点坐标是（，）。,（5）二次函数有最大或最小值由a决定。,当x=时,b,2a,_,4a,4acb,2,y有最大(最小)值,所以当x2时，。,解法一（配方法）：,例.1 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或
8、最小值是多少？,因为所以当x2时，。,因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值，,总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；(2)用公式法,解法二（公式法）：,-1,练习1已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示x=为该图象的对称轴，根 据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？,y,1,.,.,x,例2.已知如图是二次函数yax2bxc的图象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc,分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用,解：(1)因为抛
9、物线开口向下，所以a0；,判断a的符号,(2)因为对称轴在y轴右侧，所以,，而a0，故b0；,判断b的符号,(3)因为x0时，yc，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c0；,判断c的符号,(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标,，且a0，所以,，故,。,判断b24ac的符号,，且a0，所以b2a，故2ab0；,(5)因为顶点横坐标小于1，即,判断2ab的符号,(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a12b1c0，故abc0；,判断abc的符号,(7)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故abc0,判断abc的符号
10、,例3.已知抛物线,k取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在y轴上；k取何值时，抛物线顶点在x轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。,，所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。,，所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点；,抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即,解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，所以,，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上。,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即,，整理得,，解得：,由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。,1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（A.第一象限 B.第二象限
11、C.第三象限 D.第四象限2.不论k 取任何实数，抛物线 y=a(x+k)2+k(a0)的顶点都在 A.直线y=x上 B.直线y=-x上 C.x轴上 D.y轴上3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是（）A 4 B.-1 C.3 D.4或-1,（）,4.若二次函数 y=ax2+b x+c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是（）A.b2-4ac0 B.0,5.若把抛物线y=x2-2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（）A.b=2 c=6 B.b=-6,c=6 C.b=-8 c=6 D.b=-8,c=18,
12、6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是(),7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）,8.已知二次函数y（x2a）2（a1）（a为常数），当a取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”如图分别是当a1，a0，a1，a2时二次函数的图象它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是,9.已知抛物线 和求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点总在y2抛物线上;,（五）、学习回顾：,填写表格：,1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最
13、(大或小)值.(4)a0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小.,回味无穷,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与=ax的关系,2.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).(3)对称轴不同:分别是 和y轴.(4)最值不同:分别是 和0.3.联系:y=a(x-h)+k(a0)的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|个单位(当 0时,向右平移;当 0时向上平移;当 0时,向下平移)得到的.,回味无穷,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与=ax的关系,
