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1、二次函数y=ax2的图象和性质,x,y,明月中学,一.目标展示,1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象；,2.能够借助画函数图象认识二次函数y=ax2的 图象和性质：图象的形状、开口方向、对称轴、顶点，函数的最值和增减性。,二.,复习回顾,（1）我们已经学习过一次函数、反比例函数，请大家概括我们认识这些函数的数学模型。,（2）我们常用什么方法画函数的图象？这种方法包含哪些步骤？,（3）你会用这种方法画二次函数y=x2的图象吗？,探究新知,你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?,观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：,9,4,1,1,0,4,9,描点,连线,y=x2
2、,用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结,议一议,(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,(4)当x0呢？,(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？,观察图象,回答问题：,(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？,画二次函数图象应注意：,1.列表中应考虑自变量取值的代表性；,2.连线是按自变量由小到大的顺序用平滑的曲线顺次连结各点；,3.自变量取全体实数时图象向两侧无限伸展。,4.在同一坐标系中画出 y=-x2 的图象,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？,做一做,你能根据表格中的数据作出猜想吗？,(2)先想一想，然后作出
3、它的图象,(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？,在学中做在做中学,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描点,连线,y=-x2,利用列表法画出下列函数的图形,0,0.5,2,4.5,8,0.5,2,4.5,8,列表参考,0,0.5,2,4.5,8,0.5,2,4.5,8,0,1.5,-6,1.5,-6,二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。,这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。,这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。,这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。,对称轴与抛物线的交点
4、叫做抛物线的顶点。,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。,(2)、开口方向：当a大于0时，开口向上；当a小 于0时，开口向下。,二次函数y=ax2的图象的性质,(1)、顶点是原点，对称轴是y轴。,a0,ao,即:直线x=0,当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小。,当a0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。,当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。,当a0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。,(3)、增减性,a0,a0,y随x的增大而增大。,在对称轴的左恻(x0):图像从左 到右下降，,y随x的增大而减小；,在对称轴的右恻(
5、x0):图像从左到右上升,当a0时,当a0时，,在对称轴的左恻(x0):图像从左到右上升，,y随x的增大而增大。,在对称轴的右恻(x0):图像从左到右下降，,y随x的增大而减小。,当 x=0 时,y最小值=o.,当 x=0 时,y最大值=o.,二次函数y=ax2的图象的性质,y=x2,y=-x2,y=2x2,y=-2x2,(2)比较所画四个函数图象，我们能发现什么？,a的绝对值越大，抛物线离y轴越近，开口越窄a的绝对值越小，抛物线离y轴越远，开口越宽,答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y=-x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与y=-ax2中的一条抛物线，另一条可利用关于x
6、轴对称或关于原点 对称来画。,思考,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方（除顶点外）,在x轴的下方（除顶点外）,向上,向下,当x=0时，最小值为0。,当x=0时，最大值为0。,二次函数y=ax2的性质,、顶点坐标与对称轴,、位置与开口方向,、增减性与极值,2、练习2,3、想一想,在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线 y=-x2的位置有什么关系？如果在同一坐标系内 画函数y=ax2与y=-ax2的图象，怎样画才简便？,4、练习4,动画演示,1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。,2、当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；当a0
7、时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展。,3、当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大。,二次函数y=ax2的性质,2、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最小，最小值是,抛物线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。,（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称
8、轴的左侧，y随着x的；在对称轴的右侧，y随着x的，当x=0时，函数y的值最大，最大值是，当x 0时，y0.,（0，0）,y轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0,例1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。,解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解出a=-2,所求函数解析式为y=-2x2.,（2）因为，所以点B（-1，-4）不在此抛物线上。,（3）由-6=-2x2,得x2=3,所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
9、,y=-2x2,例2、已知y=(m+1)x 是二次函数且其 图象开口向下（1）求m的值和函数解析式。（2）x在何范围内，y随x的增大而增大?y随x的增大而减小?,巩固,1、说出下列函数图象的性质：,2、已知二次函数 的图形经过点(-2，-3)。(1)求a的值，并写出函数解析式；(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置；,巩固,巩固,3、若抛物线 的开口向下，求n的值。,巩固,4、若抛物线 上点P的坐标为(2，-24)，则抛物线上与P点对称的点P的坐标为。,巩固,5、若m0，点(m+1，y1)、(m+2，y2)、,y1、y2、y3的大小关是。,(m+3，y3)在抛物线 上，则,3、已知函数是二次函数，且开口向上。求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律,中考语录,一场、两场、三场、四场考试，最终为了一场中考；一次、两次、三次、四次痛苦，最终为了一次微笑。,
