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1、第9课时函数模型及其应用,(一)考纲点击1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,(二)命题趋势 函数常与数列、导数、解析几何、立体几何、不等式联系在一起，此类试题难度较大，每年的高考对本部分也都重点考查，主要体现为：(1)函数应用题，主要考查审题能力、数学建模能力，以及求最值等根据题目特点，恰当选取变量，建立函数关系是解决问题的关键(2)对含参数不等式恒成立的考查，分离参数后化归为函数的最值问题总之，对函数应用的考查，选题多从实际出发
2、，设问新颖灵活,1几类函数模型,(2)一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t2时，汽车已行驶的路程为_km.A100 B125C150 D225答案：C,2三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长 xn的增长，因而总存在一个x0，当xx0时有.,快于,axxn,(2)对数函数ylogax(a1)与幂函数yxn(n0)对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会 yxn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时
3、有.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个x0，使xx0时有,慢于,logaxxn,axxnlogax(a1，n0),1解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义,以上过程用框图表示如下：,2解决函数应用问题重点解决以下问题(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、
4、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；,(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用；(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来,【归纳提升】二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值，解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称
5、轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得,【归纳提升】1.很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数2分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起要注意各段变量的范围，特别是端点值,【归纳提升】此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型yN(1p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型ya(1x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)
6、的形式，解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解,满分指导：实际应用问题的规范解答【典例】(满分12分)(2013重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大,【失分警示】1.解决实际问题的关键问题是通过题中所给的数量关系建立函数模型2本题易忽略这个实际问题中自变量的x的取值范围，从而对导数值为零的r值进行取舍3解答实际应用问题最后应回归实际问题，即最后应有总结，否则易失分,点击进入专项训练,
