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1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(一)第一章（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013佛山高二检测)函数y=xlnx的单调递减区间是()A.(-,e-1)B.(e-1,+)C.(e,+)D.(0,e-1)2.若曲线f(x)=xsinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a的值为()A.-2B.-1C.1D.23.(2013枣庄高二检测)若y=f(x)
2、既是周期函数,又是奇函数,则其导函数y=f(x)()A.既是周期函数,又是奇函数B.既是周期函数,又是偶函数C.不是周期函数,但是奇函数D.不是周期函数,但是偶函数4.(2013郑州高二检测)若函数y=f(x)满足xf(x)-f(x)在R上恒成立,且ab,则()A.af(b)bf(a)B.af(a)bf(b)C.af(a)bf(b)D.af(b)-3B.a-D.a0时,f(x)()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数y=(a0)的导数为0,那么x=.1
3、4.若等比数列an的首项为,且a4=(1+2x)dx,则公比等于.15.曲线y=在点(1,1)处的切线方程为.16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的导数为f(x),f(0)0,若xR,恒有f(x)0,则的最小值是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知平面向量a=(,-1),b=,若存在不同时为0的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy,求函数k=f(t)的单调区间.18.(12分)(2013福建高考)已知函数f(x)=x-alnx(aR).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,
4、f(1)处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.19.(12分)(2013新课标全国卷)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值.(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.20.(12分)若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动,桌面上有与点O距离为a的另一点A,OAB=,AB=r,点A处照度与sin成正比,与r2成反比,问电灯与点O的距离多大时,可使点A处有最大的照度?21.(12分)已知函数f(x)=x3-x,(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t)处的切线方程.(2)设a0.如果过点(a,b)
5、可作曲线y=f(x)的三条切线,证明-abf(a).22.(12分)(能力挑战题)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x,(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值.(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求实数a的取值范围.(3)当a=-时,关于x的方程f(x)=-x+b在1,4上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由y=1+lnx=0,得x=e-1,y=1+lnx00x0xe-1,所以函数的递减区间是(0,e-1).2.【解析】选D.因为f(x)=sinx+xcosx,所以f()=sin+cos=1,依题意,得=1,所以a=2.3.【解析】选B.
6、由于y=f(x)既是周期函数,又是奇函数,则f(x+T)=f(x),且f(-x)=-f(x),两边求导数,得f(x+T)=f(x),f(-x)=-f(x),即(x+T)f(x+T)=f(x),(-x)f(-x)=-f(x),所以f(x+T)=f(x),f(-x)=f(x),所以导函数y=f(x)既是周期函数,又是偶函数.4.【解析】选B.由xf(x)-f(x)得xf(x)+f(x)0,即函数F(x)=xf(x)在R上为增函数,由ab,得af(a)bf(b).5.【解析】选C.导函数y=f(x)的零点是原函数的极值点,且0是极大值点,2是极小值点,再根据导数的正负与函数单调性的关系可得,故选C.
7、6.【解题指南】根据函数有极值的充要条件,转化为定积分求面积之比,运用几何概型计算概率.【解析】选C.因为函数y=x3-ax2+bx+5有极值,所以y=x2-2ax+b=0有两个不等实数根,得4a2-4b0,即ba2,又=,A=(a,b)|b0,即ba或ba,如图,在平面直角坐标系aOb中,P(A)=.7.【解析】选A.函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,即关于x的方程-c=x3-3x有两个实数解,令y=x3-3x,则y=3(x2-1),y=0x=1,当x(-1,1)时,y0y=x3-3x单调递增,所以y=x3-3x有极大值2,有极小值-2,依题意,-c=2,即c=2.8.【解析
8、】选C.因为f(x)=cos 2tdt=sin 2t=sin 2x,所以f=1,f=f(1)=sin 2.9.【解析】选D.由于y=(x3-8x)=3x2-8,由题意,得03x2-81,x23,解得-x-,x,所以整数x不存在,故不等式的整数解有0个.【误区警示】本题若忽视直线的倾斜角的概念与范围,就会出现k13x2-81x23解得-x,所以不等式的整数解有3个,即-1,0,1,就会误选A.10.【解析】选B.由y=eax+3x,求得y=aeax+3,若函数在xR上有大于零的极值点,即y=aeax+3=0有正根.当有y=aeax+3=0成立时,显然有a0得到参数a的范围为a0时,f(x)=0,
9、故f(x)在(0,+)上单调递增,既无极大值也无极小值.13.【解析】y=,由于y=0,所以x2-a2=0,解得x=a.答案:a14.【解析】由于a4=(1+2x)dx=(x+x2)=18,所以公比q=3.答案:315.【解析】函数的导数为y=,y|x=1=0,即曲线在点(1,1)处的切线斜率k=0,因此曲线y=在(1,1)处的切线方程为y=1.答案:y=116.【解析】二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的导数为f(x)=2ax+b,由f(0)0,得b0,又对xR,恒有f(x)0,则a0,且=b2-4ac0,故c0,所以=+12+12+1=2,所以的最小值为2.答案:2【变式备选】(2
10、013浏阳高二检测)设f(x)=x3-x2-2x+5,当x-1,2时,f(x)0x1;f(x)0-x1.故f(x)在-1x-,1x2上单调递增,在-x7为所求.答案:(7,+)17.【解析】由a=(,-1),b=得ab=0,|a|=2,|b|=1,a+(t2-3)b(-ka+tb)=0,-ka2+tab-k(t2-3)ab+t(t2-3)b2=0,-4k+t3-3t=0,k=(t3-3t),令f(t)=(t3-3t),f(t)=t2-0,得t1;t2-0,得-1t0),所以f(1)=1,f(1)=-1,所以y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(
11、2)由f(x)=1-=,x0可知:当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值;当a0时,由f(x)=0,解得x=a;因为x(0,a)时,f(x)0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上:当a0时,函数f(x)无极值,当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.19.【解题指南】(1)对函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x求导,利用点(0,f(0)处切线方程为y=4x+4知f(0)=4,求得a,b的值.(2)由(1)确定函数解析式,并对f(x)求导,根据导函数f(x)判断函数的单调性,根据
12、函数的单调性求出极值.【解析】(1)f(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f(0)=4.故b=4,a+b=8,从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).令f(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x(-,-2)(-ln2,+)时,f(x)0;当x(-2,-ln2)时,f(x)0.故f(x)在(-,-2),(-ln2,+)上单调递增,在(-2,-ln2)内单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).20.【解析】由条件与光学知识,照度y与
13、sin成正比,与r2成反比,设y=C(C是与灯光强度有关的常数)要想点A处有最大的照度,只需求y的极值即可.在直角三角形中,得r=,于是y=C=C=sincos2,=(sin-sin3), (0,),y=cos(1-3sin2).当y=0时,即方程1-3sin2=0的解为sin=与sin=(舍),在内,所以函数y=f()在sin=取极大值,也是最大值.由sin=,得cos=,得tan=,所以x=,即当电灯与O点距离为时,点A的照度y为最大.【一题多解】设OB=x,则sin=,r=,于是y=C=C=C(x0),y=C.当y=0时,即方程a2-2x2=0的根为x1=与x2=-(舍),在半闭区间0,
14、+)内,所以函数y=f(x)在x=取极大值,也是最大值.即当电灯与O点距离为时,点A的照度y为最大.21.【解析】(1)求函数f(x)的导数:f(x)=3x2-1,曲线y=f(x)在点M(t,f(t)处的切线方程为:y-f(t)=f(t)(x-t),即y=(3t2-1)x-2t3.(2)如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b=(3t2-1)a-2t3.于是,若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根,不妨设g(t)=2t3-3at2+a+b,则g(t)=6t2-6at=6t(t-a).当t变化时,g(t),g(t)变化情况如下表:
15、t(-,0)0(0,a)a(a,+)g(t)+0-0+g(t)极大值a+b极小值b-f(a)由g(t)的单调性,当极大值a+b0时,方程g(t)=0最多有一个实数根;当a+b=0时,解方程g(t)=0得t=0,t=,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根.当b-f(a)=0时,解方程g(t)=0得t=-,t=a,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根.综上所述,如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线,即g(t)有三个相异的实数根,则即-ab0),因为x=2时,函数f(x)取得极值,所以f(2)=0,解得a=-,经检验,符合题意.(2)函数f(x)的定义域为(0,+),依题意,f(x)0在
16、x0时恒成立,即ax2+2x-10在x0时恒成立,则a=-1在x0时恒成立,即a(x0),当x=1时,-1取最小值-1,所以a的取值范围是(-,-1.(3)当a=-时,f(x)=-x+b,即x2-x+lnx-b=0.设g(x)=x2-x+lnx-b(x0),则g(x)=,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表x(0,1)1(1,2)2(2,4)g(x)+0-0+g(x)极大极小所以g(x)极小值=g(2)=ln2-b-2,g(x)极大值=g(1)=-b-,又g(4)=2ln2-b-2,因为方程g(x)=0在1,4上恰有两个不相等的实数根,则解得ln2-2b-,所以实数b的取值范围是(ln2-2,-).关闭Word文档返回原板块- 15 -
