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1、每日一练,2008-2009太白小学语数竞赛班 辅 导 讲 座,第三十讲用字母表示数与不定方程,题11997江苏吴江市小学数学竞赛小红和小丽同住一幢大楼，同时骑车出发，同时到达敬老院做好事。在途中，小丽骑车的时间是小红休息时间的3倍，小红骑车的时间是小丽休息时间的4倍。则小红的骑车速度是小丽骑车速度的多少倍?,全解方法一：设小红休息时间为x，则小丽骑车时间为3x；小丽休息时间为y，则小红骑车时间为4y。两人同时出发又同时到达，则小丽到敬老院所用时间小红到敬老院所用时间，依题意，可得 3xy4yx 2x3y x=3y/2 小丽骑车时间为3x=9y/2。小红骑车时间是小丽骑车时间的4y9y/2=8
2、/9，那么，小红骑车速度是小丽骑车速度的9/8倍。,方法二：设小丽骑车时间为x，小红骑车时间为y；小丽休息时间为y/4，小红休息时间为x/3。依题意，则x+y/4=y+x/3 8x=9y y/x=8/9 因为两人路程相同，速度比等于时间比的反比，即小红骑车速度是小丽骑车速度的9/8倍。,题21997江西南昌市东湖区小学数学竞赛管道工领来两根同样长的水管，扳金工领来两根同样长的铁条，木工领来两根同样长的木料。他们都是用去第一根的3/10，第二根用去3/10米。结果，第一根水管比第二根水管剩下的短些；第一根铁条比第二根铁条剩下的长些；两根木料剩下的一样长。请说明原因。,全解设两根同样长的水管a米，
3、则 a（3/10）a-3/10 7a/10a-3/10 3/103a/101a则a1米时第一根水管剩下的比第二根短。,设两根同样长的铁条长b米，那么 b（3/10）b-3/10 7b/10b-3/10 3/103b/101b 即b1米时第一根铁条比第二根铁条剩下的长些。,设两根木料我全长c米，则 c（3/10）=c-3/10 7c/10=c-3/10 3/10=3c/10c=1因此当c1米时两根木料剩下的一样长。,精析两根同样长的水管、铁条、木料，分别设出未知数，根据题意，第一根用去3/10，还剩它的13/107/10，第二根用去3/10米，剩下的长度直接相减。然后，两根所剩情况进行比较，可知
4、原因。列出不等式的解法与方程相似，惟一要注意的是不等号的方向不要弄错。,题32000浙江省小学数学夏令营竞赛某商品成本为每个80元，如果按每个100元卖，可卖出1000个。当这种商品每个涨价1元，销售量就减少20个。为了赚取最多的利润，售价应定为每个多少元?,全解设每个商品涨价x元，则销售量就减少20 x个。商品涨价后，多赚取的利润是：(20 x)(100020 x)201000201000400 x1000 x20 x220100060 x20 x220 x(30 x)，因为x(30 x)30是一个定值，所以当x30 x时，即x15时，x(30 x)有最大值。20 x(30 x)2015(3
5、015)4500(元)。答：现在每个定价为10015115元时，赚取利润最大。,精析原来每个商品利润为1008020元，1000个的利润为(201000)元，每个商品涨价x元，则销售量就减少了20 x个。现在每个商品利润为(20 x)元，销售量为(100020 x)个。要求赚取最多的利润，就是求利润的最大值。,题4北京市第十二届“迎春杯”小学数学竞赛决赛小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁四种书，共10册。已知甲、乙、丙、丁四种书每本价格分别为3元，5元，7元，11元，而且每种书至少买了一本。那么，共有几种不同的购买方法?,3，得2b4c8d40 即 b2c4d20 从看出d5当d4时，c1，b2
6、，a3 当d3时，c2，b4，a1或c3，b2，a2 当d2时，c5，b2，a1当d1时，无解。,精析四种书共10册，每种书单价不同，总价70元。需要设4个未知数，列出两个方程。4个未知数要有4个方程的方程组才能求出确定的解，现只有两个方程，解有无数组。但书的本数是自然数，受到总数是10的限制，4种书本数都小于10。由化简后的方程知d5，从这一点入手，求出相应确定的解。,题52000全国小学数学奥林匹克竞赛预赛某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度O.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度 O.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费。某月甲用
7、户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元(用电按照度数收费)?,全解设乙用电x度，丙用电y度。其中 xlO，y10，则有 O.45(10y)O.8(x10)3.75 4.50.45y0.8x83.75 0.8x0.45y7.25 80 x45y725 16x9y145 解得x13，y7 乙用户用电13度，丙用户用电7度。,丙交电费：O.4573.15(元)乙交电费：3.153.756.90(元)甲交电费：6.907.1014.00(元)三户共交电费：3.156.9014.0024.05(元)答：甲、乙、丙三用户共交电费24.05元。,精析从
8、乙用户比丙用户多交3.75元看，3.75不是O.8的整倍数，显然丙用户用电未超过10度，乙用户用电超过10度；从甲用户比乙用户多交电费7.10元看，乙用户未超过20度。不妨以乙用户比丙用户多交3.75元为等量关系，求出乙、丙用电量后，不难求出各用户电费和共交电费。,题61997韩国汉城国际小学数学奥林匹克竞赛哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片，他先到甲文具店去买了几张500元钱的卡片，剩下的卡片到乙文具店去买了。乙文具店的一张卡片价格是以百元为单位，且小于2000元。哲洙买了50张卡片共花了30400元。请你写出他在乙文具店买的卡片数量的所有可能情况。,全解设哲洙在乙文具店买了x张卡片，每张价格为
9、y100元。由花钱总数可列方程，为 500(50 x)100yx30400 25000500 x100 xy30400 100 xy500 x5400 x(y5)54从上式可看出x与(y5)都是54的约数，且x50，那么x与y的关系如下表：,因为乙文具店一张卡片价格小于2000元，推知y小于200010020，那么 y515。这时x的取值是6、9、18、27。答：哲洙在乙文具店买卡片的数量有买6、9、18、27张的可能。,精析哲洙在乙文具店如果买了x张卡片，则在甲文具店买(50 x)张，花了500(50 x)元，在乙文具店买的卡片价格以百元为单位，可设每张价格为100y元。以50张卡片共花了3
10、0400元为等量关系，列出方程。从数的整除的角度讨论方程的解。,题71998吉林省第四届小学数学邀请赛甲、乙两个小队的同学去植树。甲小队有一人植树6棵，其余每个人都植树13棵；乙小队有一人植树5棵，其余每人都植树10棵。已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数大于100而不超过200，那么甲、乙两小队共有多少人?,全解设甲小队有x人，乙小队有y人。两小队植树棵数相等，得(x1)136(y1)105 13x710y5上式右端的个位数一定是5，可推知13x的个位数一定是2。可得到x4，y5是上面方程的一组解。x每增加10，y就增加13，仍是方程的一组解。,因为10013x710y5200所以9x
11、15，11y20。故x14，y18是符合题意的解。所以甲、乙两小队共有 141832(人)答：甲、乙两小队共有32人。,精析如果甲小队有 x人，则甲小队植树数为(x1)136棵，且100(x1)136200即10013x7200；如果乙小队有y人，则乙小队植树棵数为(y1)105棵，且100(y1)105200。即10010y5200。从不等式可推出9x15，11y20。以两小队植树棵数相等为等量关系，列出方程。找出x、y的关系，求出x、y的值。,本节知识要点,1.用字母表示数和不定方程在许多题目中是间接设未知数。因此，用字母表示数，设未知数要分析题意后，经过认真思考，决定设出字母表示的数。用
12、字母表示一个数与表示一个数字不同。,2.用字母表示数列出不等式，要注意不等式的解法与方程式相似，但不等号的方向要注意。在不等式中字母表示数是一个范围。3.不定方程是用字母表示未知数的个数多于方程数，使方程的解不确定。解这类方程要找出题目中的限制条件，根据实际情况找出符合题意的解。限于小学生的知识水平，用实验探索的方法是解不定方程的主要方法。,4.我们把形如ax+by=c的方程（a，b0）叫做二元一次方程。对于ax+by=c的方程，a，b是互质数，如果找到它的一组整数解是x=x0，y=y0，那么（t是整数）是方程的全部整数解，这个式子称为通解。,同学们再见！,Good bye!,Good bye!,
