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1、阶段复习课第二章,【答案速填】_ _ _ _ _ _,由部分到整体，由个别到一般,类比推理,演绎推理,由一般到特殊,综合法,执果索因,反证法,数学归纳法,类型 一 合情推理的应用1.归纳推理的特点及一般步骤,2.类比推理的特点及一般步骤,【典例1】(1)(2013济宁高二检测)观察式子：由此可归纳出的式子为()A.B.C.D.,(2)(2013宁波高二检测)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin+sin(+)=0;三点等分单位圆时，有相应正确关系为 由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为_.,【解析】(1)选C.根据几个不等式的特点，左边应为n项，所以左边=右边=故归纳出的不等式为,
2、(2)用两点等分单位圆时，关系为sin+sin(+)=0,两个角的正弦值之和为0，且第一个角为,第二个角与第一个角的差为(+)-=,用三点等分单位圆时，关系为 此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为,第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有,依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为,第二个角为 第三个角为 第四个角为 即其关系为sin+sin(+)+sin(+)+sin(+)=0.答案：sin+sin(+)+sin(+)+sin(+)=0,类型 二 演绎推理的应用1.演绎推理的特点演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理.换言
3、之，演绎推理是由一般到特殊的推理，它的主要形式是三段论.,2.演绎推理与合情推理的区别,【典例2】已知函数f(x)=+bx,其中a0,b0,x(0,+),试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.【解析】方法一：设0 x1x2,则f(x1)-f(x2)=,当00,b0,所以x2-x10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在 上是减函数；当x2x1 0时，x2-x10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(,+)上是增函数.,方法二：因为a0,b0,x(0,+),所以令f(x)=-+b=0，得当0 时，即f(x)0,
4、所以f(x)在(,+)上是增函数.,类型 三 综合法与分析法综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式.,(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.,【典例3】已知(0,)，求证：【证明】方法一：(分析法)要证明 成立.只要证明4sin cos 因为(
5、0,),所以sin 0.只要证明4cos 上式可变形为4+4(1-cos).,因为1-cos 0,所以+4(1-cos)当且仅当cos=,即=时取等号.所以4+4(1-cos)成立.所以不等式2sin 2 成立.,方法二：(综合法)因为+4(1-cos)4,1-cos 0,当且仅当cos=,即=时取等号,所以4cos 因为(0,),所以sin 0.4sin cos 所以2sin 2,类型 四 反证法的应用对反证法的认识(1)如果一个命题的结论难以直接证明，可以考虑运用反证法.通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立.,(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证
6、的目标更为明确，由于增加了推理的前提原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明.所以反证法在数学证明中有着广泛的应用.,(3)反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.,【典例4】(2013昆明高二检测)已知:a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0.求证:a0,b0,c0.【证明】用反证法:假设a,b,c不都是正数,由abc0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,不妨设a0,则
7、由a+b+c0,可得c-(a+b),又a+b0,ab0,b20,所以-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)0矛盾,所以假设不成立.因此a0,b0,c0成立.,类型 五 数学归纳法数学归纳法的证题步骤及注意事项(1)用数学归纳法证明命题的具体步骤是：证明当n取第一值n0(例如，n0=1,n0=2等)时结论正确；假设当n=k(kN*且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的自然数n都正确.,(2)在用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，第一步是递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础.一方面，第一步再简单，也不能省略；另一
8、方面，第一步只要考查使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考查几个正整数.第二步是递推的根据，仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础，这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了.只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性的结论.,【典例5】(2013盐城高二检测)设关于正整数n的函数f(n)=122+232+n(n+1)2，(1)求f(1),f(2),f(3).(2)是否存在常数a,b,c使得f(n)=(an2+bn+c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论.,【解析】(1)f(1)=4,f(2)=22,f(3)=70.(2)假设存在a,b,c使题设的
9、等式成立，这时，n=1,2,3得 解得：a=3,b=11,c=10.于是，对n=1,2,3下面等式成立：122+232+n(n+1)2=(3n2+11n+10).记Sn=122+232+n(n+1)2.,假设n=k时上式成立，即Sk=(3k2+11k+10),那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=(3k2+5k+12k+24),=3(k+1)2+11(k+1)+10，也就是说，等式对n=k+1也成立,综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立.,【跟踪训练】1.用
10、演绎推理证明函数y=x3是增函数时的大前提是()A.增函数的定义B.函数y=x3满足增函数的定义C.若x1x2,则f(x1)f(x2),【解析】选A.根据演绎推理的特点知,演绎推理是一种由一般到特殊的推理,所以函数y=x3是增函数的大前提应是单调增函数的定义.,2.(2013成都高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一排：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则第66个“整数对”是()A.(7，5)B.(5，7)C.(2，10)D.(11，1),【解析】选D.由条件可知，“整数对”中，两数字和为2的1个“整数对”
11、，和为3的两个，和为4的3个，和为5的4个，由=66得n=11,又n=10时，又66-55=11,所以第66个整数对应为(11，1).,3.已知a,b为不相等的正数，则A,B的大小关系是()A.ABB.ABC.AB.,4.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步的证明时,正确的证法是()A.假设n=k(kN*)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立B.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立C.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+2时命题也成立D.假设n=2k+1(kN)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立【解析】选C.因为
12、n为正奇数,当n=k时,k下面第一个正奇数应为k+2,而非k+1.故应选C.,5.(2013邢台高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是()A.甲B.乙C.丙D.丁,【解析】选C.若甲是获奖的歌手,则都说假话,不合题意,若乙是获奖的歌手,则甲、乙、丁都说真话,丙说假话,不符合题意,若丁是获奖的歌手,则甲、丙、丁都说假话,乙说真话,不符合题意,故获奖的歌手是丙.,6.(2013东莞高二检测)当n=1时,有(a-b)(a+b
13、)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当nN*时,你能得到的结论是.,【解析】根据题意,由于当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当nN*时,左边第二个因式根据二项式定理的展开式的特点可知为an+an-1b+abn-1+bn,那么对应的表达式为(a-b)(an+an-1b+abn-1+bn)=an+1-bn+1.答案:(a-b)(an+an-1b+abn-1
14、+bn)=an+1-bn+1,7.已知|x|1,|y|1,用分析法证明:|x+y|1+xy|.【证明】要证|x+y|1+xy|,即证(x+y)2(1+xy)2,即证x2+y21+x2y2,即证(x2-1)(1-y2)0,因为|x|1,|y|1,所以x2-10,1-y20,所以(x2-1)(1-y2)0,不等式得证.,8.(2013蒙城高二检测)用反证法证明：在数列bn中，已知bn=n+,求证：数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.【证明】假设数列bn中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列，则bq2=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+),所以(q2-pr)+(2q-p-
15、r)=0,因为p,q,rN*,所以所以(p-r)2=0,所以p=r,这与pr相矛盾.所以假设不成立，故数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.,9.已知a+b+c=abc,求证：【证明】欲证原式成立，即证a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)(1-b2)=4abc,左边全部展开，有：左边=ab2c2-ab2-ac2+a2bc2-ba2-bc2+a2b2c-ca2-cb2+a+b+c,将ab2c2,a2bc2,a2b2c中的共同项abc提出,有：上式=abc(ab+bc+ac)-ab2-ac2-ba2-bc2-ca2-cb2+a+b+c,利用abc=a+b+c,得到：上式=(a+b+c)(ab+bc+ac)-ab2-ac2-ba2-bc2-ca2-cb2+a+b+c，,将这个式子展开，与后面的项相消，得上式=4abc,所以a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)(1-b2)=4abc成立，故原等式成立.,
