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1、函数的单调性,湖南省衡山县岳云中学 胡文成,（1）在定义域R内，y的值随着x的增大而增大。,（2）在定义域R内，y的值随着x的增大而减小。,函数的这种性质称为函数的单调性,局部上升或下降,下降,上升,1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？,2、随x的增大，y的值有什么变化？,（3）在区间（，0内，y的值随着x的增大而减小；在区间0，+）内，y的值随着x的增大而增大。,创设情境，认知概念,对区间I内任意x1，x2，当x1x2时,都有,图象在区间I逐渐上升,O,f(x1)f(x2),设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于区间I上的任意,定义,两个自变量的值x1,x2，,归纳概括
2、，得出概念,4,14,那么就说f(x)在这个区间上是单调减函数，I 称为f(x)的单调 减 区间.,类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.,x,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，,那么就说f(x)在这个区间上是单调 增函数，I 称为f(x)的单调增区间.,当x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，,单调区间,（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;,（1）如果函数 y=f(x)在区间I是单
3、调增函数或单调减函数，那么就说函数 y=f(x)在区间I上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。,注意：,判断1：函数 f(x)=x2 在 是单调增函数；,（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;,（1）如果函数 y=f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y=f(x)在区间I上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。,注意：,判断2：定义在R上的函数 f(x)满足 f(2)f(1)，则函数 f(x)在R上是增函数；,（3）x 1,x 2 取值的任意性,例1、下图为函数,的图像，指出它的单调区间。,1,
4、2,3,-2,-3,-2,-1,o,-4,-1,y,-1.5,-1.5，3，5，6,-4，-1.5，3，5，6，7,认识理解，初步应用,例2 证明函数 在R上是增函数.,f(x1)f(x2)=,证明：任取x1,x2R,且x1x2，则,由x1x2,得x1x20,=3（x1 x2),所以,f(x)=3x+2在R上是增函数.,于是f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2).,(3x1+2)(3x2+2),判断函数单调性的方法步骤,1 取值（任取x1，x2I，且x1x2）；2 作差 f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5 结论（即
5、指出函数f(x)在给定的区间I上的 单调性）,利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤：,例3：证明：函数 在(0，+)上是减函数。,证明：任取x1,x2(0，+)，且x1x2，则,f(x1)-f(x2)=,由于x1,x2 得x1x20,又由x10所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),因此 在(0，+)上是减函数。,深化理解，内化回味,1、练习 P32 3,4,5,2.判断函数 在定义域上的单调性.,变式1：讨论 的单调性,_;,_.,3、画出下列函数图像，并写出单调区间：,思考:,变式2：结合图象说出函数 的单调区间,以及在各个区间上是增函数还是减函数;你能给出相应的证明吗?,1、函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质.2、判断函数单调性的方法：（1）利用图象：在单调区间上，增函数图象从左向右是上升 的，减函数图象是下降的.（2）利用定义：用定义证明函数单调性的一般步骤：取值作差变形定号 下结论.,课堂小结，知识再现,作业:,教材 P39 1,2,谢谢指导!,
