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1、等差数列的前n项和的性质及应用,等差数列的前n项和公式:,形式1:,形式2:,复习回顾,前100个自然数的和：1+2+3+100=；前n个奇数的和：1+3+5+(2n-1)=；前n个偶数的和：2+4+6+2n=.,思考题：如何求下列和？,n2,n(n+1),1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则 Sn=An2+Bn,令,【说明】,推导等差数列的前n项和公式的方法叫；,等差数列的前n项和公式类同于；,an为等差数列，这是一个关于 的没有 的“”,倒序相加法,梯形的面积公式,Sn=an2+bn,n,常数项,二次函数,（注
2、意 a 还可以是 0）,例1 已知数列an中Sn=2n2+3n，求证：an是等差数列.,例1、若等差数列an前4项和是2，前9项和是6，求其前n 项和的公式。,解：设首项为a1，公差为d，则有：,设 Sn=an2+bn，依题意得：S4=2,S9=6,即,解之得：,另解：,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,当n=
3、7时,Sn取最大值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,an=13+(n-1)(-2)=2n+15,由,得,a7+a8=0,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,当n=7时,Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又d=20,a70
4、,a80,例1的变式题二：等差数列an的首项a1 0,前n项和为Sn，Sm=Sl,问:n为何值时，Sn最大？,例1的变式题一：等差数列an中，首项a1，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最大？,例2：已知数列an是等差数列，且a1=21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。,求等差数列前n项的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.,方法2:利用an的符号当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,练习:已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的
5、值为()A.12 B.13 C.12或13 D.14,C,2.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也成等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp(mp),则 Sp+m=,n2d,0,-(m+p),性质4:为等差数列.,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63 B.45 C.36 D.27,例2.在等差数列an中,已知
6、公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=()A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,3.等差数列an前n项和的性质的应用,例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为.,110,等差数列an前n项和的性质的应用,例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.,例6.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.,例7.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|
7、a3|+|a15|=.,5,10,153,等差数列an前n项和的性质的应用,例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:(1)由已知得,等差数列an前n项和的性质,(2),Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,练习1已知等差数列25,21,19,的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.,练习2:求集合的元素个数，并求这些元素的和.,练习3：已知在等差数列an中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.,（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使 Sn0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+|a20|的值,课堂小结,1.根据等差数列前n项和，求通项公式.,2、结合二次函数图象和性质求 的最值.,3、设等差数列an的前项和为Sn，已知a3=12,S120,S130。(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,S12中哪个值最大，,1:等差数列an的前项和Sn满足S5=95,S8=200,求Sn。,2:若数列an的前项和Sn满足Sn=an2+bn,试判断an是否是等差数列。,1、,2、是。简单提示：利用公式：,3、（1），（2）S6最大。,
