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1、生活中的优化问题举例,高二数学 选修2-2 第三章 导数及其应用,知识回顾,一、如何判断函数函数的单调性？,f(x)为增函数,f(x)为减函数,二、如何求函数的极值与最值？,知识背景：,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题.,例1:海报版面尺寸的设计,学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右各空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,解：设
2、版心的高为xcm,则宽为,此时四周空白面积为,类型一：求面积、容积的最大问题,分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？,因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。,所以，当版心高为16cm,宽为8cm时，能使四周空白面积最小。,答：当版心高为16cm,宽为8cm时，海报四周空白面积最小。,求导数，有,解得，x=16(x=-16舍去),解法二：由解法(一)得,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).,令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.,由题
3、意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,练习P37 T1一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？,则两个正方形面积和为,由问题的实际意义可知：,方法与技巧：在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，可以利用两种方法求解：一是利用导数求最值；二是利用基本不等式求最值，无论使用哪种方法都应该注意自变量的取值范围。,问题:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?,你是否注意过,市场上等量的小
4、包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?,类型二：利润最大问题,例3：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，()瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？(）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？,-,+,减函数,增函
5、数,-1.07p,每瓶饮料的利润：,背景知识,解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是,当半径r时，f(r)0它表示 f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r时，f(r)0 它表示 f(r)单调递减，即半径越大，利润越低,1.半径为cm 时，利润最小，这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值,半径为cm时，利润最大,1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。,从图中可以看出:,从图中，你还能看出什么吗？,练习：某商品生产成本与产量q的函数关系式为,价格p与产量q的函数关系式为,求产量 q 为何值时，利润 L 最大？练习P37
6、 T6,例4：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？P37 T3,S=2Rh+2R2由V=R2h，得，则,类型三：用料最省、费用最低问题,答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省,即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值,当 时，,练习：如图,铁路线上AB段长100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?,解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.,又设铁路上每吨千米的运费为3t
7、元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,令 在 的范围内有唯一解x=15.,所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.,类型四 磁盘的最大存储量问题,(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？,(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？,例5：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。,是不是r越小，磁盘的存 储量越大？,(2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？,解：存储量=磁道数每磁道的比特数,设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，所以磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量,（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.,(2)为求 的最大值，计算,令,解得,因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为,由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：,优化问题,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。,
