图象性质.ppt

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1、三角函数,图象性质,任意角三角函数,基本关系式,诱导公式,高中数学知识体系,注意问题,方法指导,首页,结束放映,第三章 立体几何初步第四章 平面解析几何 初步,高中数学总知识体系,第七章 不等式第八章 数列、极限、数学归纳法第九章 复数第十章 排列组合、二项式定理,第五章 直线和平面第六章 多面体和旋转体,第十一章 直线和圆第十二章 椭圆、双曲线、抛物线第十三章 参数方程、极坐标,回首页,第一章 集合,第二章 函数概念 与基本初等函数,(2)角的度量:角度制:圆周360等分之一的弧所对的圆心角为1角.弧度制:等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度角.换算:=180,1(弧度)57174557.3

2、,1=(弧度).,(一)任意角的三角函数,1.角的概念 2.三角函数,(3)终边相同的角与象限角的表示:,|=2k+,kZ或|=360k+,kZ(,终边相同),x轴正半轴=2k,kZ,x轴负半轴=2k+,kZ,1.角的概念:(1)正角、负角、零角的含义.,返 回,练 习,2.三角函数:(1)三角函数的定义:正弦sin;余弦cos;正切tan;余切cot;正割sec;余割csc,(4)特殊角的三角函数值:,(3)三角函数的符号:(正弦一二象限取正,余弦一四取正,正切一三取正),(2)用线段表示三角函数:正弦线MP、余弦线OM、正切线AT、(余切线),其中A(1,0),试画出其他象限角对应的三线,

3、并说出正负!,0,1,0,-1,1,0,1,0,不存在,不存在,-1,0,0,不存在,0,0,1,0,不存在,不存在,0,1,余切、正割、余割呢？,又问：第一象限谁取正？第二、三、四象限呢？,自己先试说说它们是怎样用这平面直角坐标系定义的.,练习一(4题),C,2.把-75化成弧度,并以弧度制写出与这个角终边相同的 角的集合.,B,详 解,详 解,解题提示:令k=-1,0,1,2,3,4等列出 几个值即可比较得.,返 回,回首页,解:设直线上一点P的坐标为(x,y),其中x0,y=-2x,则r=x2+y2=x2+(-2x)2=5|x|,sin=,-2x,y,r,(x0),(x0),返 回,题(

4、简):设的终边在直线y=-2x 上,那么sin的值为(),说明：这题极易选错,可判断对定义理解的透彻性.,解:为第二象限角,2k+2k+(kZ)-2k-2k-(kZ),即-是第三象限角.又k+k+(kZ),分别令k为奇数和偶数,可知 为第一或第三 象限角,同法可求得 是第一或第二或第三象限角.,注意不等式运算性质.,返 回,(二)同角三角函数的基本关系式,1.关系式 2.应用,2.利用上述关系,可以解决以下问题:(1)已知某角的一个三角函数值,求其他各三角函数值;(2)化简某些三角函数式;(3)证明某些三角恒等式.,详 解,应够熟练吧?要再做3题吗?,要!,不!,这是由定义得出的最基本性质,它

5、与后面的诱导公式结合可出很多题,应充分熟练地掌握!,返 回,解:sincos=,而sin2+cos2=1,(cos-sin)2=sin2+cos2-2sincos=1-=又 cos,cos-sin=-,返 回,提示:显然cos0,分子分母同除以cos后代入即得,(A)1(B)1(C)-1(D)以上都不对,提示:原式=sec|sec|+tan|tan|,又为第三象限角,sec0,从而得.,C,返 回,行了!,用公式时都是把看作锐角,先化简式子,最后再转化!,(三)诱导公式,1.常用的六组诱导公式 2.利用诱导公式求任意角的三角函数值,1.常用的六组诱导公式:,2.利用诱导公式求任意角的三角函数值

6、,一般步骤:,任意角的三角函数,0到360角的三角函数,任意正角的 三角函数,0到90角的 三角函数,查表,看公式,注意:,做练习,返 回,(1)sin(2k+)=sin;cos(2k+)=cos;tan(2k+)=tan;cot(2k+)=cot.,(2)sin(-)=sin;cos(-)=-cos;tan(-)=-tan;cot(-)=-cot.,(3)sin(+)=-sin;cos(+)=-cos;tan(+)=tan;cot(+)=cot.,(4)sin(-)=-sin;cos(-)=cos;tan(-)=-tan;cot(-)=-cot.,返 回,还有三组可由这几组化出，较少用，你知

7、道是哪三组吗？,相当于第一象限的角都取正号!以下的各组呢?也要找找规律!,提示:化简得:tan190=tan(180+10)=tan10,tan100=tan(90+10)=-cot10,tan350=tan(360-10)=-tan10,sin1590=sin(1590-1440)=sin150=sin30,cos(-1860)=cos(1800-1860)=cos(-60)=cos60,或cos(-1860)=cos1860=cos(1860-1800)=cos60,cot(-960)=cot(1080-960)=cot120=-cot60,tan1395=tan(1395-1440)=t

8、an(-45)=-tan45.,练习二(4题),(2)cot10+tan190+tan100+cot350+sin1590cos(-1860)+cot(-960)tan1395=_.,4.已知tan(-)=a2且|cos(-)|=-cos,求sec(+),2.计算:(1)sin210+sin280+tan10tan80=_.,C,2,1,1,提示:化为sin210+cos210+tan10cot10,这三小题方法与上题一样,应该能做对!,详 解,返 回,回首页,题:已知tan(-)=a2且|cos(-)|=-cos,求sec(+),返 回,(四)三角函数的图象与性质,1.函数的图象与主要性质

9、2.周期函数3.正弦型函数y=Asin(x+)的一些概念、性质,1.正、余弦函数、正、余切函数的图象与主要性质,R,R,-1,1,R,R,x|xR且x k,(kZ),在2k+,2k(kZ)在2k,2k+(kZ),在(k,k+)(kZ)上都 是减函数,奇函数,偶函数,奇函数,奇函数,2,2,返 回,练 习,-1,1,2.周期函数和最小正周期的意义,3.正弦型函数y=Asin(x+)的振幅、周期、相位、初相 及其图象与函数y=sinx之间的关系,对于函数y=f(x),如果存在一个常数T0,使得当x取定义域中的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)成立,那么函数y=f(x)叫做周期函数,T叫做f(x

10、)的周期.对于一个周期函数来说,如果在所有的周期中存在一个最小的正数,就把这个最小正数叫做最小正周期.三角函数的周期概指最小正周期.,(1)当A0,0时,A称为该函数的振幅,=T称为函数的周期,(为角速度),x+称为函数的相位,称为函数的初相.,(2)当A0,0,xR时,y=Asin(x+)的图象,可以看作把y=sinx的图象上的所有的点向左(当0)或向右(1)或伸长(01)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变).,解:函数化为y=-sin2x+4sinx+2=-(sinx-2)2+6.-1sinx1,而二次函数y=-(t-2)2+6在-1,1上是增函数,sinx=-1时,ymin=-3;

11、sinx=1时,ymax=5.,注意:这里“左加右减”指的是x的位置变换,即“x”变为“x+a”或“x-a”!(见第一章),练习三(6题),3.函数y=asinx+b的最大值为2,最小值为-4,则a=_,b=_.,4.函数y=Asin(x+)(其中0,A0)的图象如右,则函数的解析式为_.,5.函数y=cos2x+4sinx+1的最大值为_.最小值为_.,6.已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.,详 解,B,D,3,-1,5,-3,详 解,详 解,详 解,返 回,回首页,x,x,题:下列函数中,既在区间(0,)内递增,又是以

12、2为 最小正周期的偶函数是()(A)y=|sinx|(B)y=1-cos2(C)y=2cosx(D)y=cot,2,2,解:(A)答案是以为周期的函数,且在,)上是 减函数,可排除;(C)答案中,t=cosx在(0,)单调递减,而y=2t为 增函数,故该函数在(0,)单调递减,排除;(D)答案显然不是偶函数,且在(0,)单调递减,也可排除;故选(B),其实(B)中函数可化为y=sin2(还可继续化为y=(1-cosx),分析可知满足题意.,返回,注:用排除法解选择题是常用方法!,题:函数y=asinx+b的最大值为2,最小值为-4,则a=_,b=_.,解:sinx的最大值为1,最小值为-1,该

13、函数的最大值为|a|+b,而最小值为-|a|+b,由题得:|a|+b=2,-|a|+b=-4,解得:a=3,b=-1.,注:利用sinx和cosx的最大值为1,最小值为-1(有时还要结合二次函数图象性质,如后面 的第5题)来出题解题是经常的事所以应该 经常想起这点.,返 回,题:函数y=Asin(x+)(其中0,A0)的图象如右,则函数的解析式为_.,注:利用图象的直观性结合y=Asin(x+)曲线的特征 确定A、的值,是理解曲线与图象位置关系的 重要内容,可培养数形结合、待定系数法解题思想.,返 回,题:已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)

14、求函数的单调区间.,(2)f(-x)=log0.5cos(-2x)=log0.5cos2x=f(x),(x)是偶函数.,返 回,(五)方法指导,1.坐标法 2.主元法 3.递归法 4.几何模型法 5.图象变换法,3.递归法:(1)诱导公式可化任意角三角函数为锐角三角函数.(2)诱导公式中的角为任意角,确定符号时当锐角处理.(3)研究周期函数图象性质时,可先归到一特殊周期研究.,1.坐标法(数形结合法的表现):角的概念在平面直角坐标系中出现,能直观地说明角的内涵,终边相同的角、象限角等概念能把众多角归类.,2.主元法:当问题涉及多种三角函数或多个角时,据条件选取其中一个三角函数或一个角为主元,把

15、其他各三角函数或角进行变换,化为主元三角函数或同角三角函数.简单说成:化同名,化同角,切割常化弦.,返 回,证明:在平面直角坐标系中,取单位圆(如图).依定义可知,sin=MP,tan=AT,而即 为弧AP的长.考虑三角形OMP和OAT及扇 形OAP的面积,有SOMPS扇形OAPSOAT,再据三角形及扇形面积计算得:MP弧长APAT,故命题成立.注:该结论应记住.,4.几何模型法:单位圆能直观地解释三角函数,因而成为几何工具.主要应用有:(1)用三角函数射影法作基本三角函数的图象;(2)直观地表示简单三角方程或简单三角不等式的解集;(3)证明诱导公式及一些重要的三角等式和不等到式.,5.图象变

16、换法:讨论正弦型函数y=Asin(x+)+h(A0,0)的图象作法,除了用“五点法”外,还有图象变换法(平移变换、伸缩变换).,例:已知(0,90),求证:sintan.,(六)注意问题,1.区分“角”2.判断符号 3.恒等变换4.活用公式 5.由形察数 6.对称问题,1.区分“角”:主要指当角相同时,三角函数值相等;而当三角函数值 相等时,角不一定相等!特别是终边相同的角并不就是相 同的角!初学三角函数时常会把它们混在一起.,2.判断符号:一指诱导公式中各符号的判断;二指利用“一倒二商三 平方”的“平方关系”求值时,需根据角的范围来确定平方 根号前的“+”或“-”号.,看个例题,如:sin=

17、0.5,(360,450),则=390,千万 不能写成了30!如果用弧度制写更易出错!,返 回,3.恒等变换:主要指在化简或证明过程中,必须在定义域上对式子进行保“值”变“形”,避免会改变定义域的变换.这在下一章里更多出现,要注意.,4.活用公式:在化简求值等变形中,要合理决定变换的简捷程序,善于观察角,如x+30和60-x互余,x+45与135-x互补等.这也在下一章更多见.,5.由形察数:这是数形结合思想的一个方面.既可从图形中发现一些函数性质,又可从图形中得到函数解析式.,看个例题,试做一题,答案为-1,你做对了吗?,返 回,这章又结束了，你学到了什么？再过一遍看看！,任意角三角函数,基本关系式,诱导公式,图象性质,注意问题,方法指导,1.角的概念 2.三角函数,1.关系式 2.应用,1.常用的六组诱导公式 2.利用诱导公式求任意角的 三角函数值,1.函数的图象与主要性质 2.周期函数3.正弦型函数y=Asin(x+)的一些概念、性质,1.坐标法 2.主元法 3.递归法 4.几何模型法 5.图象变换法,1.区分“角”2.判断符号 3.恒等变换4.活用公式 5.由形察数 6.对称问题,返回首页,结束 放映,说明:“三角函数”部分的高考试题选编在下一章“两角和差”后统一附录.,