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1、数学实验,从一些奇妙,图象谈分形,海岸线有长度吗？,Mandelbrot.B 开创了分形几何（fractal,1967年的论文：“英国海岸线的长度不确定”,geometry）的研究,(刊于 Science),Richardson 曾经指出过：不同尺度测量,海岸线，长度随测量尺度变化,新几何学处理自然界中极不规则的构型,Mandelbrot.B 其人,华沙（1924）巴黎（1936）美国（1958）,不正规的教育：善于以图形化方法思维，,进入法国高师法国高工,IBM哈佛(经济学)、耶鲁大学(工程学),据说背字母表困难,特别关注几何形状和“不规则”形状,艺术与科学学院和国家科学院院士）,这样图形存
2、在激励我们去探索那些被认为无形状可言的、无定形的形态。而数学家却蔑视这挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到的东西无关的理论，却回避大自然提出的问题,自然界图样的长度，在不同标度下的数目，在所有的实际情况下都是无限的,自然界的许多图形是如此不规则和支离破碎，以致与欧几里德相比，它不只具有较高程度的复杂性，而且有完全不同层次上的复杂度,为什么几何学被认为冷酷无情和枯燥无味，它无力描写云彩、山岭、海岸线或树林,Koch 雪花曲线,设E0为单位直线段,三等分后，中间一段用与其组成等边三角形,的另两边代替，得到E1,对E1的4条线段的每一,条重复以上做法，得到E2,以此方法重复，可得En,当n 趋于无
3、穷，得到的极限曲线就是Koch 曲线,koch曲线,自相似性,精细结构：复杂性不随尺度减小而消失,处处不光滑，每一点是尖点,长度：En的长度(4/3)n趋于无穷,本身定义方式简单,Koch 曲线的特点,这封闭的Koch曲线长度无限而所包含的面积却有限,问题,Koch曲线在有限区域内长度无限，它是否一维的？,Koch 三分岛,单参数的函数曲线是一维的吗？,设 是平面上边长为1/2的正三角形，构造 fn,f1,f2,f3,以此方式得到 fn，在0,1,一致收敛到极限函数 f,的象将为整个三角形,（1）具有无限嵌套层次的精细结构,（2）在不同尺度下具有某种相似特性,海岸线与Koch曲线有相似特点,自
4、然界有大量这类曲线或几何图形,Mandelbrot提出,它们的维数可以用分数来描述：反映曲线的弯曲程度和填充能力,经典维数的观点是一种可操作观点,（苍蝇与羊毛球的例子）,分形维数,将单位边长的线段，正方形，立方体,分成边长为1/2的同样几何物体，得到21，22，23,个小线段，正方形，立方体,注意指数给出了几何物体的维数,若将几何物体的长度（线度）缩小为1/r，,定义分形维数,得到N个相似小几何物体，那么维数d满足,N=r d,d=logN/log r,Koch曲线的维数？,约1.2618,分形的数学实例,Cantor 集,Sierpinski集合,从单位区间0,1出发，三分去中段，得E1，,
5、E1两个区间三分去中得E2，极限集合为Cantor集,数学名例：完备，完全不连通，长度0,自相似，精细结构，简单定义,三角形四等分去中间小三角形所得极限图形,维数？,Sierpinski三角形,Sierpinski 海绵,Weierstrass 函数,W(x)=(s2)ksin(kx),1,1 s 2,数学分析中的著名例子：处处连续，但无处可微,对=2;取和的项20,使用Matlab,给s以不同的值，可以得到函数图像,的函数，图形自仿射,S=1.2,S=1.5,S=1.99,S=1.7,分形与艺术,分形几何是大自然的几何，从诞生起就与艺术联系在一起,一般说 分形艺术根据非线性原理，由计算产生,
6、事实上传统的分形艺术从文艺复兴时代的丢勒就开始了,(正五边形开始的制作),丢勒名画,复变函数的迭代,Julia集：固定,考虑 Zk+1=Zk2+,给定复数初值 Z0,，得到无穷复数序列Zk,J=Z0序列Zk有界,Mandelbrot 集：固定 Z0,MZ 序列Zk有界,若 Zk=xk+i yk,=p+iq,xk1xk2yk2,p,yk12xkyk,q,制作Mandelbrot集,设定最大迭代次数N，图形分辨率a,b,使用颜,色数 K,设定一个上界 M,设将矩形域M x,y M分成 ab 网格,以每个网格点作为（p,q）,以原点作初值作迭代,若对所有n N，有 xn2+yn2 M2,将迭代的所有,点用某色显示；而若从迭代某m步起 xn2+yn2 M2,则将迭代所有点用其它第m(modK)种颜色显示,选择一个局部,前面局部的放大,自相似性精细结构,实验任务,1.选择制作课程内介绍一个分形的图形,3.谈谈你所认识的分形,2.自己设计一个分形的图形的制作,(任务1，2，3均为必做),谢谢各位!,
