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1、第二章 模拟退火算法（Simulated Annealing）,搜索问题描述,除当前高度外，对环境没有任何感知,最优解位于海拔最高处,搜索问题描述,Landscape with various features,搜索算法,盲目搜索还是启发式搜索？按照预定的控制策略实行搜索，在搜索过程中获取的中间信息不用来改进控制策略，称为盲目搜索，反之，称为启发式搜索。关于“启发式”，可有两种看法：1)任何有助于找到问题的最优解，但不能保证找到最优解的方法均是启发式方法；2)有助于加速求解过程和找到较优解的方法是启发式方法。,搜索算法,盲目搜索深度优先、广度优先、代价优先、向前、向后、双向。启发式搜索爬山法、
2、模拟退火算法、遗传算法、粒子群算法、蚁群算法。,贪心算法,随机选定一个初始解x0；Do while（终止条件不满足）在某个邻域函数所定义的邻域范围内，按照某个（随机）扰动产生策略，得到一个新解xi；对新解进行评估，得f(xi)；如果f(xi)f(xi)（或者f(xi)f(xi)），即新解比老解好，则令xi1xi；否则，xi1xi。End Do,爬山法,随机选定一个初始解x0；Do while（中止条件不满足）在某个邻域函数所定义的邻域范围内，按照某个（随机）扰动产生策略，得到多个新解Xnew=xi1,xi2,xik；对这组新解进行评估，得f(xi1),f(xi2),f(xik)；xi1xi,x
3、i Xnew,xij,(i=1,2,n;j=1,2,k),f(xi)f(xi)且f(xi)f(xij)（或者f(xi)f(xij)（或者f(xi)f(xij)），则 xi1xi。End Do,特点,快速收敛于局部最优解,特点,遇到平台则无以事从,算法设计要素,编码策略（“个体表示”与“问题解”的映射关系）初始解的产生（从什么位置开始搜索）邻域函数的设计（下一个解的产生概率与当前解之间距离包括方向和步长的关系）新解产生策略（随机，确定）接受策略（贪心）,存在问题：,对初始解（状态）敏感容易陷入局部最优,模拟退火算法（起源）,物理退火原理,Real annealing:Sword,He heats
4、 the metal,then slowly cools it as he hammers the blade into shape.If he cools the blade too quickly the metal will form patches of different composition;If the metal is cooled slowly while it is shaped,the constituent metals will form a uniform alloy.,模拟退火算法（起源）,物理退火过程：加温过程等温过程冷却（退火）过程等温下热平衡过程可用Mon
5、te Carlo方法模拟，计算量大。1953年，Metropolis提出重要性采样法，即以概率接受新状态，称Metropolis准则，计算量相对Monte Carlo方法显著减少。1983年，Kirkpatrick等提出模拟退火算法，并将其应用于组合优化问题的求解。,模拟退火算法（Metropolis准则）,Metropolis准则假设在状态xold时，系统受到某种扰动而使其状态变为xnew。与此相对应，系统的能量也从E(xold)变成E(xnew)，系统由状态xold变为状态xnew的接受概率p：,模拟退火算法与物理退火过程的相似关系,模拟退火算法（流程）,随机产生一个初始解x0，令xbes
6、t x0，并计算目标函数值E(x0);设置初始温度T(0)=To;Do while T Tmin/降温过程for j=1k/等温过程对当前最优解xbest按照某一邻域函数，产生一新的解xnew。计算新的目标函数值E(xnew)，并计算目标函数值的增量E=E(xnew)-E(xbest)。如果E 0，则xbest=xnew；如果E 0，则p=exp(-E/T(i);如果c=random0,1 p，xbest=xnew;否则 xbest=xbest。End for按照温度控制策略更新T；End Do输出当前最优点，计算结束。,模拟退火算法（要素）,1、状态空间与状态产生函数（邻域函数）搜索空间也称
7、为状态空间，它由经过编码的可行解的集合所组成。状态产生函数(邻域函数)应尽可能保证产生的候选解能遍布全部解空间。通常由两部分组成，即产生候选解的方式和候选解产生的概率分布。候选解一般按照某一概率分布对解空间进行随机采样来获得。概率分布可以是均匀分布、正态分布、指数分布等等。,模拟退火算法（要素）,2、状态转移概率（接受概率）p状态转移概率是指从一个状态xold(一个可行解)向另一个状态xnew(另一个可行解)的转移概率;通俗的理解是接受一个新解为当前解的概率;它与当前的温度参数T有关，随温度下降而减小。一般采用Metropolis准则,模拟退火算法（要素）,3、冷却进度表T(t)冷却进度表是指
8、从某一高温状态To向低温状态冷却时的降温管理表。假设时刻t的温度用T(t)来表示，则经典模拟退火算法的降温方式为：而快速模拟退火算法的降温方式为：这两种方式都能够使得模拟退火算法收敛于全局最小点。,模拟退火算法（要素）,4、初始温度T0实验表明，初温越大，获得高质量解的几率越大，但花费的计算时间将增加。因此，初温的确定应折衷考虑优化质量和优化效率，常用方法包括：(1)均匀抽样一组状态，以各状态目标值的方差为初温。(2)随机产生一组状态，确定两两状态间的最大目标值差|max|，然后依据差值，利用一定的函数确定初温。比如，t0=max/pr，其中pr为初始接受概率。(3)利用经验公式给出。,模拟退
9、火算法（要素）,5、内循环终止准则或称Metropolis抽样稳定准则，用于决定在各温度下产生候选解的数目。常用的抽样稳定准则包括：(1)检验目标函数的均值是否稳定；(2)连续若干步的目标值变化较小；(3)按一定的步数抽样。,模拟退火算法（要素）,6、外循环终止准则即算法终止准则，常用的包括：(1)设置终止温度的阈值；(2)设置外循环迭代次数；(3)算法搜索到的最优值连续若干步保持不变；(4)检验系统熵是否稳定。,模拟退火算法的改进,(1)设计合适的状态产生函数，使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性。(2)设计高效的退火策略。(3)避免状态的迂回搜索。(4)采用并行搜索结
10、构。(5)为避免陷入局部极小，改进对温度的控制方式(6)选择合适的初始状态。(7)设计合适的算法终止准则。,模拟退火算法的改进,也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进。主要的改进方式包括：(1)增加升温或重升温过程。在算法进程的适当时机，将温度适当提高，从而可激活各状态的接受概率，以调整搜索进程中的当前状态，避免算法在局部极小解处停滞不前。(2)增加记忆功能。为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解，可通过增加存储环节，将“Best So Far”的状态记忆下来。(3)增加补充搜索过程。即在退火过程结束后，以搜索到的最优解为初始状态，再次执行模拟退火过程或局部性搜索。(4)对每一当前状态，采用多次搜索策略，以概率接受区域内的最优状态，而非标准SA的单次比较方式。(5)结合其他搜索机制的算法，如遗传算法、混沌搜索等。(6)上述各方法的综合应用。,算法实现与应用,TSP问题的求解编码（城市编号顺序编码）状态产生函数（逆转算子）状态接受函数初温与初始状态，T0=max/pr 降温函数设计温度修改准则和算法终止准则,结果（400个城市）,结果（400个城市）,
