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1、1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。3.正确运用正方形的性质解题。4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特
2、点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等。正方形四个角都是直角。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。例1如图，折叠正方形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，使，求【解析】：作GMBD，垂足为M 由题意可知ADG=GDM， 则ADGMDG DM=DA=2 AC=GM 又易知：GM=BM 而BM=BD-DM=2-2=2（-1）， AG=BM=2（-1）例2 如图，为正方形内一点，并且点到边的距离也等于，求正方形的面积？【解析】：过作于交于 设，则
3、， 由 可得： 故 例3. 如图，、分别为正方形的边、上的一点，垂足为，则有，为什么？【解析】：要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF只要能说明ABEAME，ADFAMF即可 理由：连结AE、AF 由AB=AM，ABBC，AMEF，AE公用， ABEAME BE=ME 同理可得，ADFAMF DF=MFEF=ME+MF=BE+DF例4如下图、分别在正方形的边、上，且，试说明。【解析】：将ADF旋转到ABC，则ADFABGAF=AG，ADF=BAG，DF=BGEAF=45且四边形是正方形，ADFBAE=45GABBAE=45即GAE=45AEFAEG（SAS
4、）EF=EG=EBBG=EBDF例5. 如图，在正方形的、边上取、两点，使，于. 求证： 【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证RtABE与RtAGE全等，但条件不够. EAF=45怎么用呢？显然12=45，若把它们拼在一起，问题就解决了. 【证明】：把 AFD绕A点旋转90至AHB. EAF=45，12=45. 2=3，13=45. 又由旋转所得 AH=AF，AE=AE. AEFAEH. 例6.(1) 如图1,在正方形中,点,分别在边,上,交于点,.求证：.图2(2) 如图2,在正方形中,点,分别在边,上,交于点,.求的长.1. 已知点,分别在矩形的边,上，,交于点,. 直接写出下
5、列两题的答案：如图3,矩形由个全等的正方形组成,求的长； 如图4,矩形由个全等的正方形组成,求的长(用的代数式表示).图4图3图1【解析】(1) 证明：如图1， 四边形ABCD为正方形， AB=BC,ABC=BCD=90， EAB+AEB=90. EOB=AOF90, FBC+AEB=90， EAB=FBC， 图2ONM ABEBCF ， BE=CF (2) 解：如图2,过点A作AM/GH交BC于M，过点B作BN/EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， EF=BN,GH=AM， FOH90, AM/GH，EF/BN, NO/A=90,故由(1)得
6、, ABMBCN， AM=BN， GH=EF=4 (3) 8 4n 【双基训练】1. 如图6，点在线段上，四边形与都是正方形，其边长分别为和，则的面积为_ (6) (7)2你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形如果你所拼得的图形中正方形的面积为1，且正方形与正方形的面积相等，那么正方形的面积为_3.如图9，已知正方形的面积为35平方厘米，、分别为边、上的点、相交于，并且的面积为14平方厘米，的面积为5平方厘米，那么四边形的面积是_4. 如图，、三点在同一条直线上，。分别以、为边作正方形和正方形，连接，。求证：。5.如图 ，是正方形是上的一点，于 ，于 （1）求证：； ADEFCGB（2
7、）求证：【纵向应用】6. 在正方形中，求证：7. 在正方形中，,求证： 8. 如图13，点为正方形对角线上一点, , AD 求证：BCF 13E G9.已知：点、分别正方形中和的中点，连接和相交于点,于点.一、 求证： ；二、 如果,求的长；三、 求证： 【练习题答案】16cm2 23634cm2（面积法）4.证明：FN=EC。证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，AB=BE=EF，BC=BN，FEN=EBC=90AB=2BCEN=BC FENEBC FN=EC。 5.略6.提示：注意到基本图形中的AE=AF.一. 两次应用内角平分线定理和CE=CF可证二. 过点O作OGDE和CO=CG,
8、CF=CE可证. 3， 过点O作OHBE, OF= OH=7.提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种8.提示：延长AE交GF于点M，DC,使CH=DG,连接HF,证四边形对角互补,法2：延长FE，AE证全等三角形9.（1)略（2）（3）作CMDG,证DM=AG=0.5DG（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（2）特征：边：两组对边分别平行；四条边都相等； 内角：四个角都是90； 对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。（3）主要识别方法： 1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形 3：四边相等，有一个
9、角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的平行四边形是正方形 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。例1. 已知：如图，是正方形内点， 求证：是正三角形APCDB【证明】：如下图做DGC使与ADP全等，可得PDG为等边，从而可得DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150所以DCP=300 ，从而得出PBC是正三角形PCGFBQADE例2. 如图，分别以的和为一边，在的外侧作正方形和正方形，点是的中点求证：点到边的距离
10、等于的一半【证明】：过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。由EGAAIC，可得EG=AI，由BFHCBI，可得FH=BI。从而可得PQ= = ，从而得证。例4. 如图，四边形为正方形，与相交于求证：【证明】：顺时针旋转ADE，到ABG，连接CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得B，G，D在一条直线上，可得AGBCGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得AGC为等边三角形。 AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。 又EFC=DFA=450+300=750.AFDECB 可证：CE=CF。例6. 设是正方形一边上的任一点，
11、平分求证：【证明】：作FGCD，FEBE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=，可得YZ=XY-X2+XZ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出ABPPEF ， 得到PAPF ，得证 。DFEPCBADACBPD例7. 已知：是边长为1的正方形内的一点，求的最小值【证明】：顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF= = = = = = 。例8. 为正方形内的一
12、点，并且，求正方形的边长【证明】顺时针旋转ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长L = = 。ACBPD【双基训练】1.如图，四边形是正方形，对角线、相交于，四边形是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为_2.如图，是正方形，为上一点，四边形恰是一个菱形，则=_【纵向应用】3.如图，四边形是边长为的正方形，点，分别是边，的中点，且交正方形外角的平分线于点 （1）证明：；（2）证明：；（3）求的面积【横向拓展】4.如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、. 求证：； 当点在何处时，的值最小；当点在何处时，的值最小，并说明理由； 当的
13、最小值为时，求正方形的边长.EA DB CNM【练习题答案】1362【解析】连结BD交AC于点O，作EMAC于点M 设正方形边长为a，则AC=BD=AE=a 又ACBF，BOAC，EMAC， BO=EM=BD=a 在RtAEM中，AE=a，EM=a CAE=30 则EAB=153.（1）证明：AEF=90o， FEC+AEB=90o在RtABE中，AEB+BAE=90o，BAE=FEC；（2）证明：G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，AG=GB=BE=EC，且AGE=180o45o=135o又CF是DCH的平分线， ECF=90o+45o=135o在AGE和ECF中， AGEECF
14、； （3）解：由AGEECF，得AE=EF又AEF=90o，AEF是等腰直角三角形由AB=a，BE=a，知AE=a，SAEF=a24.【解析】：ABE是等边三角形，FEA DB CNMBABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）. 5分当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小. 如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小. 理由如下：连接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长.过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF906030.设正方形的边长为x，则BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，x（舍去负值）.正方形的边长为.
