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1、2.3.4.A.4B. 6C. 8D.9如图是一个隧道的横截面，它的形状是以0为圆心的圆的一部 分，CM = DM = 2,直线Mo交圆于E, EM = 8,则圆的半径 为（）A. 4B. 3C.如图.将半径为&加的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心0.则折痕AB的长为（）A.B. 33cmC. 63*cm如图，CD为G）O的直径，AB为弦，CD丄43,CD = 10. AB = 8,则 CE的长是（）A. 1B. 2C. 3初中数学浙教版九年级上册第三章3.3垂径定理练习题一、选择题1.一个隧道的横截而如图所示，它的形状是以点O为圆心，5 为半径的圆的一部分，M是G）O中弦CD的中点，EM经过
2、 圆心0交OO于点ECD = 6,贝U隧道的髙（ME的长）为 （）5.如图所示，在半径为IOCm的G）O中,AB = 16cm. OC点G则OC等于（）A. 3cmB. 4c加C. 5cm6.如图,G 0的弦AB垂直平分半径OG垂足为D,若CD = M 27.B. oC.D. 6如图，C）O的半径为5,弦心距OC =3,则弦AB的长是（A. 4B. 6C. 8则AB的长为（）B8.如图，AB是G O的直径，弦CD丄力3于点E9 AB = IOcm,CD = 8cm,则BE的长为（）A. 5cmB. 3cmC. 2cm9.往直径为52（7的圆柱形容器内装入一些水以后，截而如图所示，若水面宽AB
3、= 48cm,则水的最大深度为（）A. SCmB. IOcnC. 16Cw10下列说法正确的是（）A. 弦是直径B. 平分弦的直径垂直弦C. 长度相等的两条弧是等弧D. 圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个 二、填空题11已知(Do的直径为 Io(M,AB, CD 是G O的两条弦.AB/CD ,AB = 3cm, CD = 6cm9则AB与CD之间的距离为w12. 在半径为苗的Oo中，弦AB垂直于弦CD,垂足为几AB = CD= 4.则ACP =13. 如图，AB是(Do的直径，弦CDJL佔于点E,若AB = 8.AE =1, 则弦CD的长是14. 如图，Oo的弦AB = 8, C是AB的
4、中点，OC = 3,则G)O的半径为15. 如图,AB为C)O的直径,朋=10, GD为G)O上两动点(CQ不与A，B重合)，且CD为定长，CE丄AB于E, M是CD的中点，则EM的最大值为.三、解答题16. 如图MOCD为等腰三角形，底边CD交Oo于儿B两点，求证：AC = BD第1页，共16贞答案和解析1.【答案】D【解析】解:-M是G)O眩 仞的中点，根据垂径泄理：EM丄CD,又CD = 6则有：CM = -CD = 3,2设OM是X米，在Rt COM中，有DC? = CM?+ GM?,即：52 = 32 +x2,解得：X = 4,所以 EM = 5 + 4 = 9.故选D.因为M是G)
5、O弦CD的中点，根据垂径左理，EM丄CD,则CM = DM = 3,在Rt COM 中，有OC2 = CM2 + OM2,可求得OM,进而就可求得EM.此题主要考查了垂径圮理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距 和弦长的一半为三边的直角三角形,若设圆的半径为,弦长为“,这条弦的弦心距为， 则有等jr2 = d2+2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个.2. 【答案】C【解析】解：连接OC,CMDM是C)O弦CD的中点， 根据垂径定理：EM丄CD, 设圆的半径是X米， 在& ZkCOM中，0C2 = CM2 + OM2, 即：X2 = 22 + (8-x)2, 解
6、得：x = ，4所以圆的半径长是?.4故选：C.因为M是Oo弦CD的中点，根据垂径泄理，EM丄CD,则CM = DM= 2,在Rt COM 中，有OC2 = CM2+ OM2,进而可求得半径OC.此题主要考查了垂径左理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距 和弦长的一半为三边的直角三角形,若设圆的半径为八弦长为,这条弦的弦心距为d， 则有等2 = d2+()2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个.3. 【答案】C【解析】解：过点0作OD丄力3交AB于点D连接O4, OA = 20D = 6cmt AD = yA2 OD2 = 62 32 = 3OD丄AB. AB
7、= 2AD = 63cm故选：C.通过作辅助线，过点0作OD丄力3交AB于点D,根据折叠的性质可知OA = 20D,根据勾股立理可将AD的长求岀，通过垂径定理可求岀AB的长.本题考査的是垂径定理，根据题总作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键4. 【答案】B=4izRt 04E中,OE = yj0A2 - AE2 = 52 - 42 = 3， CE = OC- OE = 5 3 = 2,故选:B. 连接OA,根据垂径龙理即可求得AE的长，然后利用勾股立理即可求得OE的长，即可 得岀答案.本题考査了勾股立理和垂径圧理，能根据垂径立理求岀AE的长是解此题的关键5. 【答案】D【解析】解：连接
8、Q4,如图： AB = 16cm, OC 丄 AB. AC = -AB = 8cm92在肮 6MC中，OC = yj0A2 -AC2 = 102 - 82 = 6(Cm), 故选：D.根据垂径泄理可知AC的长，再根据勾股立理即可求出OC的长.本题考査的是垂径泄理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键6. 【答案】D【解析】解：连接O4,VOO的弦M垂直平分半径OG CD=E2 OC = 2 OA = V2OC丄436AD = Y AB = 2tAD 9. AD = 故选：D.连接OG由题意即可推出OC的长度可得OA的长度，运用勾股左理即可推出AD的长 度，然后，通过垂径
9、左理即可推出AB的长度.本题主要考查垂径定理、勾股左理的应用，关键在于正确地作岀辅助线构建直角三角形, 认真地进行计算.7. 【答案】C【解析】解：连接OA,如图所示： OC 丄 AB. OC = 3, OA = 5, AB = 24C, AC = OA2-OC2 = 52 - 32 = 4 AB = 2AC = 8.故选：C.先根据垂径左理得出力8 = 2AC,再根据勾股左理求岀AD的长，进而得出AB的长.本题考査的是垂径泄理及勾股定理：熟练掌握垂径定理，由勾股左理求出AC是解决问 题的关键.8. 【答案】C【解析】解：弦CD丄朋,a CE = -CD = 4,2在肮 AOEC中，OE =
10、VoC2-CE2 = 3, BE = OB OE = 2(Cm)J故选：C.根据勾股定理求岀CE,根据勾股定理计算即可.本题考査的是垂径泄理，勾股立理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧是解题的关键.9. 【答案】C【解析】解：连接0B，过点0作OC丄于点D,交OO于 点G如图所示：AB = 48, BD = -AB = - X 48 = 24.2 2O0的直径为52,* OB = OC = 2 6 9Rt OBD 中，OD = B2 - BD2 = 262 - 242 = IOt CD = OC OD = 26 10 = 16(cm),故选：C.连接OB,过点O作OC丄力
11、B于点D,交Oo于点G先由垂径定理求出BD的长，再 第1页，共16贞根据勾股泄理求岀OD的长，进而可得出CD的长.本题考査了垂径立理、勾股定理等知识：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 答此题的关键.10. 【答案】D【解析】解：人、直径是弦，但弦不一左是直径，选项错误；B、平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，故选项错误；C、能重合的两个弧是等弧，选项错误；D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个，正确.故选D根据弦的泄义以及垂径左理、等弧的肚义即可作出判断.本题考査了垂径立理以及弦的定义，注意垂径左理中平分弦的直径垂直于弦，彼平分的 弦不是直径，理解宦理是关键.11. 【答案】1
12、或7【解析】解：作OE丄佔于E,延长Eo交CD于F,连接04、OCf如图，: ABHCD, OE 丄 AB,. OF 丄 CD,. AE= BE=-AB = 4, CF = DF =-CD = 3,2 2在M 04E中，OE = 52-42 = 3,Rt 0CF, OF = 52-32 = 4当点0在AB与CD之间时，EF = OF+OE = 4+3 = 7；当点0不在AB与CD之间时，EF = OF-OE = 4-3=综上所述，AB与CD之间的距离为1或7.故答案为1或7.作OE丄ABE,延长Eo交CD于F,连接OA、OC,如图，利用平行线的性质OF丄CD, 根据垂径泄理得到AE = BE=
13、4,CF = DF = 3,则利用勾股定理可计算出OE =3,OF =4,讨论：当点O在AB与CD之间时，EF = OF+ OEt当点O不在AB与CD之间时，EF = OF-OE 本题考査了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.注意分类讨论12. 【答案】扌或扌或专【解析】解：作OE丄力3于E； OF丄CD于F,连结OD. 0B.I则ME = BE = -AB =2, DF = CF = -CD = 2,(tRt 0BE, V OB = z5 BE = 2, OE = yjOB2-BE2 = 1同理可得OF= 1,力B丄CD、四边形OEPF为矩形，.PE = PF = 1
14、,.PA = PC = I9 S3C = 11 = ;:9同理：SbAPC = -33 = -:如图3,同理：SbAPC = 2X X = 2：故答案为：扌或扌或专.如图1,作OE丄肋于E, OFjL CD于F,连结0D、OB9如图，根据垂径泄理得AE =BE = -AB = 2, DF = CF = -CD = 2,根据勾股定理在Rt OBE中计算出OE = I,同 2 2理可得OF = It接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到PA = PC = If根据三角形面积公式求得即可.本题考査了垂径立理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股疋理.13. 【答案】27【
15、解析】解：连接OC,由题意，得OE = OA -AE = 4 1 = 3.CE = ED = f0C2 -OE2 = 7CD = 2CE = 2Z故答案为27根据垂径泄理和勾股上理，即可得答案.本题考査了垂径龙理，利用勾股泄理，解题关键是学会添加常用辅助线而构造直角三角 形解决问题.14. 【答案】5G0的弦AB = 8, C是AB的中点，OC过0,. OC 丄朋，AC = BC=AB = 4t由勾股泄理得：OA = v4C2 + OC2 = 42 + 32 = 5即G)O的半径为5,故答案为：5.连接0A，根据垂径泄理求出OC丄佔，AC = BC = AB = 4,根据勾股泄理求出Q4即可.
16、本题考査了垂径左理和勾股左理，能根据垂径立理求岀AC的长是解此题的关键.15. 【答案】5【解析】解：如图，通过画图观察可知，当CD/AB9 EM的值最大.连接0M, CE. DM = MC, OM丄CD9V CDllAB, CE 丄 AB.乙OMC = M0B =厶CEo = 90%.四边形OMCE是矩形，.EM = OC = 5,. EM的最大值为5.故答案为5.如图，通过画图观察可知，当CD43时，EM的值最大.只要证明四边形OMCE是矩 形即可解决问题.本题考査圆的有关知识、垂径怎理、矩形的判立和性质等知识，解题的关键是发现CD/AB时EM的值最大，属于中考填空题中的压轴题16. 【答
17、案】证明：过点0作OE丄CD, OC = OD,CE = DE,又在G)O中, AE = BE 9AC = BD【解析】【分析】本题考查的是垂径左理，根据题意作岀辅助线，利用垂径上理求解是解答此题 的关键.过点。作OE丄CD,由等腰三角形的性质可知CE=DE,再由垂径定理可知AE=BE, 故可得出结论.17【答案】(-2,0)【解析】解：(1)分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是D点正好在X轴上，D点的坐标是(-2,0),故答案为：(2,0)；O D的半径长=22 + 42 = 25MC = 22 + 62 = 210, AD2 + CD2 = 20 + 20 = 4
18、0, AC2 = 40, AD2 +CD2 = AC2.LADC = 90.设圆锥的底而圆的半径长为几则2耐=叱迹，180解得：r =,2所以该圆锥底而圆的半径长为空.2(1)分别作AB. BC的垂直平分线，两直线交于点D,则点D即为该圆弧所在圆的圆心， 可知点D的坐标为(一2,0).连接AC、AD和CD,根据勾股左理的逆圧理求出乙CDA = 90。,根据弧长公式和圆 的周长求出答案即可.本题考査了坐标与图形的性质，垂径左理，圆锥的计算，勾股左理和勾股立理的逆左理 等知识点，能求出D点的坐标和求出乙CD4 = 90。是解此题的关键.18.【答案】（1）证明:VDF丄CG, CD丄/3,乙DEB
19、 = Z.BFG = 90%乙DBE =厶GBF, Z.D = L.G ZJl=Z-Gt A=D.(2)解：设G)O的半径为r.AG = OA+ 0G = r+ 10.CA = CG, CD丄力3,r+10 AE=EG =，EC = ED= 4, 210-rOE = AE-OA=兰一2在Rt ZEC中，V OC2 = OE2 +EC2.”2=(宁)2 +42,解得r =芈逮或芈空(舍弃), 0的半径为亜竺3【解析】想办法证明=M即可解决问题(2)设Oo的半径为r.则力G = 6M + 0G =r+ 10,在AOEC中，利用勾股左理构建方 程即可解决问题.本题考査垂径怎理，勾股左理，等腰三角形的判左和性质等知识，解题的关键是灵活运 用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.
