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1、初二数学尺规作图典型例题归纳典型例题一例已知线段a、b,画一条线段，使其等于a + 2b分析 所要画的线段等于，实质上就是；_画法：1 画线段AB = a.2 .在AB的延长线上截取BC = 2b.线段AC就是所画的线段.说明1 .尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去.2.其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括 叙述基本作图.典型例题二例 如下图，已知线段a和b,求作一条线段AD使它的长度等于2a b .I2I, H ,(?图(2)正解 如图(2),(1)作射线AM ( 2)在射线AM上，顺次截取 AB=BC=a(3) 在线段CA上截取CD=b则
2、线段AD就是所求作的线段.典型例题三例 求作一个角等于已知角/ MON如图1).图(1)图(2)正解 如图(2),(1) 作射线;(2)在图(1) 上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交 OM于点A,交ON于点 B;( 3)以a为圆心，OA的长为半径作弧，交于点C;(4) 以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点 D;( 5)过点D作射 线0.D则/CO.D就是所要求作的角.典型例题四例 如下图，已知/a及线段a,求作等腰三角形，使它的底角为 a,底边为a.分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角/ B=/ C=/a，底边BC=a故可以先作/ B=/a，或先作底边 BC=
3、a作法 如下图(1)/ MBN/ a;( 2)在射线BM上截取BC=a ( 3)以C为顶点作/ PCB/a，射线CP交BN于点A.A ABC就是所要求作的等腰三角形.说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草 图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤.典型例题五例如图(1)，已知直线AB及直线AB外一点C,过点C作CD/ AB (写出作 法，画出图形).分析根据两直线平行的性质，同位角相等或错角相等，故作一个角/ ECDM EFB即可.作法如图(2)图(1)图(2)(1) 过点C作直线EF,交AB于点F;(2) 以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交 FB于点P,交
4、EF于点Q;(3) 以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于 M点；(4) 以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点 D;(5) 过点D作直线CD CD就是所求的直线.说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由.典型例题六例如下图， ABC中，a=5cm b=3cm c=3.5cm,/ B=3孕，/ C= 44，请你从中选择适当的数据，画出与厶 ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部 画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）.分析本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与 ABC全等的各种情况，依据是SSS SAS AAS ASA解 与厶AB
5、C全等的三角形如下图所示.典型例题七例正在修建的北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化拟从点A出发，将ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）.（2003年，）分析这是尺规作图在生活中的具体应用要把 ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角 形的底边也相等，所以只要作出 BC边的三等分点即可.作法 如下图,C找三等分点的依据是平行线等分线段定理.典型例题八例已知/AOB求作/ AOB的平分线OC错解 如图（1）作法（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA OB于 D
6、 E两点;（2）分别以D E为圆心，以大于2DE的长为半径作弧，两弧相交于 C点；(3)连结0C则0C就是/ AOB勺平分线.错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误作法(3)中连结OC则OC是一条线段，而角平分线应是一条射线.图(2)图(1)正解 如图(2)(1) 以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA OB于 D E两点;(2) 分别以D E为圆心，以大于j_2DE的长为半径作弧，两弧交于 C点；(3) 作射线OC则OC为/ AOB的平分线.典型例题九例如图(1)所示，已知线段a、b、h (hv b).求作 ABC使BC=a AB=b BC边上的高 AD=hb h图(1)错解 如图
7、(2),(1) 作线段BC=a(2) 作线段 BA=b 使 ADL BC且 AD=h则厶ABC就是所求作的三角形.错解分析 不能先作BC第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉 毫无根据；未考虑到本题有两种情况对于这种作图题往往都是按照由里到外的 顺序依次作图，如本题先作高 AD再作AB,最后确定BC.t-f图(3)图(2)正解 如图(3).(1) 作直线PQ在直线PQ上任取一点D,作DML PQ(2) 在DM上截取线段DA=h(3) 以A为圆心，以b为半径画弧交射线DP于 B;(4) 以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线 BP和射线BQ于G和AC,gABC,(5) 连结、，则(或)都是所求作
8、的三角形.典型例题十例 如下图，已知线段 a, b,求作Rt ABC使/ ACB=90 , BC=a AC=b(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)分析 本题解答的关键在于作出/ ACB=90，然后确定A、B两点的位置,作出 ABC作法 如下图(1)作直线MN(2) 在 皿叶任取一点C,过点C作CE!MN(3) 在CE上截取CA=b在CM截取CB=a(4) 连结AB ABC就是所求作的直角三角形.说明 禾I用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺 序若把握不好作图顺序，要先画出假设图形.典型例题十例 如下图，已知钝角 ABC /B是钝角.求作：(1) BC边上的高；(2) BC边
9、上的中线(写出作法，画出图形).分析(1)作BC边上的高，就是过已知点 A作BC边所在直线的垂线；(2)作BC边上的中线，要先确定出 BC边的中点，即作出BC边的垂直平分线.作法 如下图(1)在直线CB外取一点P,使A、P在直线CB的两旁； 以点A为圆心，AP为半径画弧，交直线CB于 G H两点; 分别以G H为圆心，以大于12GH的长为半径画弧，两弧交于 E点； 作射线AE交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的厶ABC中 BC边上 的高.(2)分别以B、C为圆心，以大于1BC的长为半径画弧，两弧分别交于2M N两点;作直线MN交BC于点F;连结AF,则线段AF就是所要求作的厶ABC中边B
10、C上的中线.说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握 好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形 中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点.典型例题十二例 如图（1）所示，在图中作出点c,使得c是/MOF平分线上的点，且AC=OC图（1）A H分析 由题意知，点C不仅要在/ MON勺平分线上，且点C到O A两点的 距离要相等，所以点C应是/ MON勺平分线与线段OA的垂直平分线的交点.作法 如图（2）所示（1）作/ MON勺平分线OP（2）作线段OA的垂直平分线EF,交OP于点C,则点C就是所要求作的点.说明（1）根据题意弄清要求作的点的
11、特征是到各直线距离相等，还是到各端 点距离相等.（2）两条直线交于一点.典型例题十三例如下图，已知线段a、b、/a、/B求作梯形 ABCD 使 AD=a BC=b AD/ BC / B=Za;Z C=Zp.分析假定梯形已经作出，作 AE/ DC交BC于E,则AE将梯形分割为两部分，一部分是 ABE另一部分是AECD在厶ABE中，已知/ B=Za,Z AEBB, BE=b-a,所以，可以首先把它作 出来，而后作出AECD作法 如下图.(1)作线段BC=b(2) 在BC上截取BE=b-a ;(3) 分别以B、E为顶点，在BE同侧作/ EBA=a，Z AEBB，BA EA 交于A;(4) 以EA E
12、C为邻边作AECD四边形ABCE就是所求作的梯形.说明 基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许 多复杂图形的基础因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三 角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形.典型例题十四例 如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处 B点700米，如果你是红方的指挥 员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置.（2002年，）分析 依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在 A区两条路所夹角的 平分线上，然后由蓝方指挥部距 B点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为 3.5
13、cm,就可以确定出蓝方指挥部的位置.解 如下图，图中C点就是蓝方指挥部的位置.(1:20000)典型例题十五例如图（1），已知有公共端点的线段 AB BC求作。O,使它经过点A、B、C （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.（2002年，）AC图（2）图（1）分析 因为A、B、C三点在。0上，所以OA=OB=OC.=Rg据到线段AB BC 各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段 AB BC垂直平分线即 可.解 如图（2）说明 角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中 考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起.典型例题十六例 如图，是一块直角三角形余料，ZC= 90.工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使 C为正方形的一个顶点，其余三个顶 点分别在AB BC AC边上.试协助工人师傅用尺规画出裁割线.分析要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为 90的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可.作法 如图.1作的角平分线CD交AB于点G;过G点分别作AC BC的垂线，垂足为E、F.贝U四边形ECFG就是所要求作 的正方形.
