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1、等差数列及其通项公式,一般地，如果一个数列 a1,a2,a3，an 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，a2 a1=a3-a2=an-an-1=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。,知识回顾,an+1-an=d(nN*),通 项 公 式 的 推 导1（归纳猜想）,设一个等差数列an的首项是a1,公差是d,则有：a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,所以有：,an=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。,所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d（nN*）,问an=?通过观察：a2，a3，a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数
2、有什么特点？,a1、an、n、d知三求一,a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,an=a1+(n-1)d,a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,叠加得,等差数列的通项公式推导2（叠加）,例第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？,解:（1）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列。这个数列的通项公式为 an=1
3、896+4(n-1)=1892+4n(nN*)(2)假设an=2008,由 2008=1892+4n,得 n=29.假设an=2050,2050=1892+4n 无正整数解答：所求通项公式为 an=1892+4n(nN*)，2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会,例.在等差数列an中,已知a3=10,a9=28,求a12。,推广：等差数列an中，am,an(nm)等差数列的通项公式一般形式:an=am+(nm)d.,解：由题意得,a1+2d=10a1+8d=28,所以a12=4+(12-1)3=37,注:a12=a1+11d=a1+2d+(12-3)d=a3+(12-3)d=a
4、1+8d+(12-9)d=a9+(12-9)d,解得：a1=4 d=3,练一练：已知a5=11,a8=5,求等差数列an的通项公式.,练习,1、填空题：(1)已知等差数列3，7，11，则a11=(2)已知等差数列11，6，1，则an=(3)已知等差数列10，8，6，中，-10是第（）项,43,-5n+16,11,练习,2.已知等差数列an的通项公式为an=2n 1.求首项a1和公差d.,变式引申:如果一个数列an的通项公式an=kn+d,其中k,b都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗?语言描述这种现象,想一想！,在等差数列,中，,为公差，若,且,求证：,证明：设首项为,，则,例2.,等差数列
5、的性质,若p=q呢?,练习.在等差数列an中(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8,分析：由 a1+a20=a6+a15=a9+a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10,分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知 a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=15,例题分析,1.等差数列an的前三项依次为 a-6，2a-5，-3a+2，则 a 等于（)A.-1 B.1 C.-2 D.2,B,2.在数列an中a1=1，an=an+1+4，则a10=,2(2a-5)=(-3a+2)
6、+(a-6),提示1:,提示：,d=an+1an=4,-35,3.在等差数列an中(1)若a59=70，a80=112，求a101；(2)若ap=q，aq=p(pq)，求ap+q,d=2,a101=154,d=-1,ap+q=0,课堂练习,(4),例3,练习,已知，求 的值。,解:,小结,掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的问题,an=a1+(n1)d,提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力,am+an=ap+aq,上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？,【说明】3.更一般的情形，an=，d=,1.an为等差数列,2.a、b、c成等差数列,an+1-an=d,an+1=an+d,an=a1+(n-1)d,an=kn+b,（k、b为常数）,am+(n-m)d,b为a、c 的等差中项,2b=a+c,4.在等差数列an中，由 m+n=p+q,注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；,等差数列的性质,5.在等差数列an中a1+an a2+an-1 a3+an-2,=,=,=,作业,书上39页，第3题（2），第4题,谢 谢！,
