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1、2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,1,第四章 线性控制系统的稳定性,4.1 线性系统稳定性的基本概念 4.2 传递函数表示的系统稳定性判定 4.3 状态空间表示的系统稳定性判定 4.4 本章小结,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,2,稳定是控制系统能够正常运行的首要条件 对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的 前提下进行。自动控制理论的基本任务(之一)分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施,一、稳定性分析的重要性,4.1线性系统稳定性的基本概念,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,3,二、线性系统稳定性分析的理论框架,稳定性分析,
2、根据状态方程A阵判定系统的稳定性,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,4,A.Lyapunov(1857-1918)，俄国数学家（Chebyshev 的学生，Markov的同学），在他的博士论文中，Lyapunov系统地研究了由微分方程描述的一般运动的稳定性问题，建立了著名的Laypunov方法，他的工作为现代控制及非线性控制奠定科基础。,三、线性系统稳定性分析的划时代人物,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,5,4.2 传递函数表示的系统稳定性判定,本小节是本章的重点，主要介绍以下内容：4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性问题4.2.2 Routh稳定判据
3、4.2.3 Routh判据的两种特殊情况4.2.4 Routh判据的推广4.2.5 Routh判据的应用,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,6,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,7,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,8,一、稳定性基本概念 1、稳定性 任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。,4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性,2、平衡状态系统所受的作用力达到平衡，使系统处于稳定（不运动）的状态。称为平衡状态。,2023/4/26,北京科技大学自动
4、化学院自动化系,9,4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,10,4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,11,4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,12,4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性,临界稳定,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,13,4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性,李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原平衡工作点，则称系统渐进稳
5、定，简称稳定。反之，若初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。在古典控制理论中的稳定均指渐进稳定！,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,14,4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性,由稳定性定义可知：1）线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。2）若处于平衡状态的线性定常系统在脉冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则该线性定常系统稳定。,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,15,4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性,对于脉冲响应，我们有：,显然，系统是否稳定取决于G(s)极点在S
6、平面中的位置。,推论1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应函数趋于零，则该线性定常系统稳定。,系统是稳定的。,系统仍能回到原有的平衡状态,简证：,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,16,4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性,推论2：若系统闭环传递函数的所有极点全部 位于S左半平面，则系统稳定。,则脉冲响应为：,简证：令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数 极点：,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,17,4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,18,4.2.1 SISO线性定常系统的稳
7、定性,推论3：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶跃响应函数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。这个推论的证明请同学们自行完成。,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,19,二、SISO系统阶跃响应的稳定问题,实根情况：,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,20,虚根情况：,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,21,4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性,临界稳定：当系统的极点有在虚轴上时，系统的输出将会出现等幅振荡的状态，称之为临界稳定状态。稳定裕度的概念：,S平面,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,22,三、SISO线性
8、定常系统的稳定性分析方法：,求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根,不易求,其它简单的判定方法?,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,23,4.2.2 Routh稳定判据(Rouths stability criterion),Routh表,将闭环特征方程的各项系数，按右面的格式排成Routh表。,系统闭环特征方程,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,24,系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数均大于零。如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符号的变化次数等于该特征方程
9、式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。,劳斯稳定判据,表中,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,25,试用劳斯判据判别系统的稳定性。,由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。,已知某一调速系统的闭环特征方程式为：,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,26,4.2.3 Routh判据的两种特殊情况,劳斯表某一行中的第一项元素等于0，而该行的其余各项不等于0或没有其余项。,若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。,如果第一列 上面的系数与下面
10、的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳定。,1,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,27,已知系统的闭环特征方程式为,试判别相应系统的稳定性。,由于表中第一列 上面元素的符号与其下面元素的符号相同，所以该闭环特征方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳定系统(这在工业上属于不稳定的系统)。,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,28,劳斯表某一行元素全为0。这表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根(关于原点对称的根)。,2,利用系数全为0行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为
11、全0的行。从而完成劳斯表的排列。,解决办法,关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。,若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。,如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共轭纯虚根存在，相应的系统为临界稳定。,4.2.3 Routh判据的两种特殊情况,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,29,由于第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。,该系统处于临界稳定状态。,已知系统的闭环特征方程式为,试判别相应系统的稳定性。,令F(s)=0，求得：,2023/4/26,
12、北京科技大学自动化学院自动化系,30,4.2.4 Routh判据的推广,实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。这种系统在系统参数发生一定变化时仍能保持稳定。,此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠近虚轴的根离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”稳定裕度。,令s=s1-a，代入原系统的闭环特征方程中，得到以s1 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线s1=-a右侧。,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,31,用劳斯判据检验下列特征方程,是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在 的右方。,第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳
13、定。,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,32,令S=Z-1代入特征方程：,列劳斯表,第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线 的右方。,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,33,4.2.5 Routh判据的应用,1 系统参数稳定范围的确定,已知某调速系统的特征方程式为,求该系统稳定的K值范围。,由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值：,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,34,第一列均为正值，S全部位于左半平面，故系统稳定。,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,35,闭环特征方程为：,20
14、23/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,36,因此，利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。,欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,37,系统闭环特征方程为：,系统结构图如下所示，确定系统参数稳定的条件。,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,38,当K=2时，Routh表的第三、五行元素全为0。系统将有对称于原点的闭环特征根。,2 求特殊情况下系统的闭环特征根,已知某系统的闭环特征方程为：,试确定使系统有对称于原点的闭环特征根的K值，并求出此时系统的所有闭环特征根。,，进而得,2023/4/26
15、,北京科技大学自动化学院自动化系,39,4.3 状态空间表示的系统稳定性判定,定理5.1:线性定常系统,平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部.,必要性可以用反证法来完成，请同学们自己完成证明。,系统状态(内部)稳定条件,系统输出稳定：如果系统对于有界输入u 所引起的输出y是有 界的.则称系统为输出稳定.,定理5.2：线性定常系统 输出稳定的充要条件是传 函 的极点全部位于s的左半平面.,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,40,设系统的状态空间表达式为:,试分析系统的状态稳定性与输出稳定性.,1)有A的特征方程:,可知系统的状态是不稳定的.,2)由系统的
16、传递函数:,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,41,说明:1)这种系统在实际应用时是极不可靠的。若系统 参数发生变化,则零、极点就无法实现对消。这样输出就能表现出不稳定特性。,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,42,4.4 小结,线性系统稳定性分析的理论框架与方法,2023/4/26,北京科技大学自动化学院自动化系,43,稳定性的概念和定义 平衡点；稳定；大范围稳定；渐近稳定；一致稳定；渐近一致稳定Routh判据 适用于SISO系统，利用特征方程的系数Routh判据的应用 判定稳定性；确定系统稳定是参数的取值 范围；特殊情况下求系统的闭环特征根状态空间表示的系统的稳定性的判定注意系统内部稳定和输入输出稳定的不同与 联系。,
