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1、双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线-1的简单几何性质(1)范围：xa,yR.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a，虚轴长为2b，且c2a2+b2.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程yx，或令双曲线标准方程-1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2a2(a0),它的渐近线方程为yx,离心率e.(7)共轭双曲线：方程-1与-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表
2、达形式.注意：（1）与双曲线-1共渐近线的双曲线系方程可表示为-(0且为待定常数)（2）与椭圆+1(ab0)共焦点的曲线系方程可表示为-1(a2,其中b2-0时为椭圆， b2a2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x的距离之比等于常数e(ca0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p，与椭圆相同.1、写出双曲线方程的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程 2、已知双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率3、求以为渐近线，且过点（1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16
3、，离心率为，求双曲线的标准方程。5、求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率【知识点2】弦长与中点弦问题（1）直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想.（2）中点弦问题：处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（ab0）上不同的两点，M(x0，y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a0，b0），类似可得：KABKOM=；对于y2=2px（p0）抛物线有KAB；另外，也
4、可以用韦达定理来处理.【题型一】直线与双曲线的交点问题：过平面内任一点P作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线有几条？（几何角度）6、若y=kx-1与双曲线只有一个公共点,求k的范围.【变1】有两个公共点？【变2】无公共点？【变3】与右支有两个公共点？【变4】与右支只有一个公共点？7、过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率来解决。8、已知双曲线C：1 (a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C
5、的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为_9、已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为_二、直接求出a、c，求解e：已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来解决。10、点P（3，1）在椭圆（）的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【 】.A. B. C. D. 三、构造a，c齐次式，解出：根据题设条件关系式，借助之间的关系，沟通的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e。11、已知是双曲
6、线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是【 】.A. B. C. D. 12、过双曲线1的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_。四、寻找a与c的关系式：由于离心率是c与a的比值，故不必分别求出a、c的值，可寻找a与c的关系式，即a用c来表示即可解决。13、设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【 】.A. B. C. D. 五、统一定义法：由圆锥曲线的统一定义，知离心率e是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，特别适用于条件含有焦半
7、径的圆锥曲线问题，即。14、设椭圆的右焦点为F1，右准线为，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到的距离，则椭圆的离心率是_。【总结3】三种常见的解题方法 （1）转换法为解题化归立意15、直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是【 】A.e B.1e C.1e（2）几何法使数形结合带上灵性16、设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为【 】A B C. D（3）设而不求与借舟弃舟同理17、双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为【 】A. B. C. D. 18、在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？
8、如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由。高考题选1.（浙江卷）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是【 】 A B C D2.（浙江卷）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点若，则椭圆的离心率是【 】 A B C D 3.（全国卷）双曲线的渐近线与圆相切，则r=【 】.（A） （B）2 （C）3 （D）64.（江西卷）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为【 】. A B C D35.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为【 】.A B C D6. (湖北
9、卷)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是【 】.A. B. C. D. 7.（四川卷文）已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则【 】. A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【问题1】过平面内任一点P作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线有几条？（几何角度）【答案】P在双曲线内，有2条（分别与渐近线平行）； P在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；P在双曲线外，若P在渐近线上且P为原点时，0条；若P在渐近线上且P不为原点时，2条（与另一渐近线平行的一条，切线一条）；若P不在渐近线上，0条；有4条（与渐近线平行的有两
10、条，切线两条）；8答案解析取双曲线的渐近线yx，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y(xc)，可解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程1可得1，整理得c22a2，即可得e.9答案1解析双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3,0)又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.10解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则P（3，1）在左准线上，左焦点在反射光线上，有 解得 知，故选A。11解：如图1，的中点
11、为P，则点P的横坐标为。由， 焦半径公式 有， 即有 解得，故选D。12解：如图2，所给的语言可转化为通径， 即 得， 故 解得或（舍）故填13解：由题意，得。又由椭圆的定义，得，即，则得，故选D。14解：据椭圆的第二定义及题意，画出图3，观察线段的数量关系，得。故填。15【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线的倾斜角为，双曲线渐近线的
12、倾斜角为.显然。当时直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由. 双曲线中，故取e.选D.16【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知PF1F2是直角三角形，F1P F2=90.选B.【评注】解题中发现PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.17【解析】设弦的两端分别为.则有：.弦中点为（2，1），.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去
13、求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：18 如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.M（1，1）为弦AB的中点，故存在符合条件的直线AB，其方程为：.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述
14、解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线. 1【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有，因2D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用【解析】对于椭圆，因为，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为 6【答案】A【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是联立可得由可解得A7【答案】C【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.
