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1、形相似全章总复习夯实基础K 了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段：2、掌握黄金分割的定义、性质及应用：3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的槪念；熟练掌握三角形相似的判怎方法以及 相似三角形的性质，并能够运用性质与判定解决有关问题；4、了解位似的槪念，做的位似是特殊的相似变换，会利用位似的方法，讲一个图形放大 或缩小：5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质，能综合运用图形相似的知识解决一些简 单的实际问题要点一、比例线段及黄金分割1. 比例线段：对于四条线段心b、C CL如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如dd,我 们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.要点诠释：（1）
2、若a：b=c：d ,则ad=bc （d也叫第四比例项）（2）若a：b=b：C ,则b2=ac （b称为、C的比例中项）2. 黄金分割的定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB,若小段与大段的长度之比等于大PBAP段的长度与全长之比，即=r （此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB AP AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割. APB3. 黄金矩形与黄金三角形:黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618,这种矩形称为黄金矩形.黄金三角形：顶角为36的等腰三角形，它的底角为72 ,恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄 金三角形.黄金三角形
3、性质：底角平分线将其腰黄金分割要点二、相似图形1-相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形（SimiIar figures）要点诠释：（D相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2） “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等2.相似多边形各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形.要点诠释：（1）相似多边形的泄义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比.要点三、相似三角形1.相似三角形的判定：判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.判定方法（
4、二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：、要判泄两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判左两个三角形相似,应用时必须注意这个角必须是两边的夹 角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比：（3）相似三角形周长的比等于相似比：（4）相似三角形面积的比等
5、于相似比的平方.3. 相似多边形的性质：（1相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.（2）相似多边形的周长比等于相似比.（3）相似多边形的而积比等于相似比的平方.要点四、图形的位似及投影1. 位似多边形定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点0,且每组对应点与点0点的距 离之比都等于一个圧值k,例如，如下图，OAXkOA （k0）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形， 点0叫做位似中心.A1要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2. 位似图形的性质：（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心：（2）位似
6、图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比：（3位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3. 作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线：第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例：第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下而是位似中心不同的画法.DDAf O B9 B(4)4.平行投影在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.(2) 等长的物体平行于地而放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本 身的长度.(3) 在同一时刻，不同物体的物髙
7、与影长成正比例.甲物体的高甲物体的影长 乙物体的高一乙物体的影K 利用上而的关系式可以计算髙大物体的髙度，比如旗杆的髙度等 注意：利用影长计算物髙时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.5.中心投影在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.(1)等高的物体垂直地而放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远 的物体它的影子长.# I(2)等长的物体平行于地而放宜时，如图2所示一般情况下，离点光源越近，影子越长：离点光源越 远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.类型三、相似三角形的综合应用3如图，在AABC中（BCAC）, Z ACB=90o,点D在AB边上，D
8、EAC于点E（1）若型= AE=2,求EC的长；DB 3（2）设点F在线段EC ,点G在射线CB ,以F, C, G为顶点的三角形与AEDC有一个锐角相等,4. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C, ZDNE=ZA=ZB=O ,且DH交AC于F, ME交Be于 G.（1）写岀图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结 FG,如果 =45 , AB=42 AF=3,求 FG 的长.5. 如图，已知在梯形ABCD中，ADBC, AD二2, BOl,点M是AD的中点，ZiMBC是等边三角形.(1) 求证：梯形ABCD是等腰梯形.(2) 动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且ZMPQ
9、60o保持不变.设PC* MQ=v,求y与X的函数关 系式.举一反三【变式】如图所示，在RtABC中，ZA二90 , AB=8, Ae二6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度.过点D作DEBC交AC于点E,设动点D运动的时间为X秒，AE 的长为y.(1) 求岀y关于X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围：(2) 当X为何值时，ABDE的面积S有最大值，最大值为多少？类型四S图形的位似6. 如图，MBC中，A、B两点在X轴的上方，点C的坐标是(-1, 0).以点C为位似中心，在X轴的下 方作AABC的位似图形A,B,C,并把ABC的边长放大到原来的2倍.
10、设点B的对应点B，的横坐标是2,求 点B的横坐标.类型五.用相似三角形解决问题7. 某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的 情况下，先在河岸边选择了一点B （点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）. 小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这 时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米； 小明站在原地转动180。后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时 视线通过帽檐落在了 DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离
11、CB=1.2 米.根据以上测呈过程及测呈数据，请你求出河宽BD是多少米？二、巩固练习一、选择题f D1.如图所示，给出下列条件：= ZACD: ）ADC = ZACB;二三 CD BC（S）AC2 = ADAB 其中单独能够判定 ABCXACD的个数为（）D. 42在平面直角坐标系中，已知点Ar 2）, B （-6, -4）,以原点。为位似中心,相似比为寺把沁缩小，则点A的对应点A的坐标是（）A. （-2, 1） B. （-8, 4） C（一8, 4）或（8, -4） D（一2, 1）或（2, - 1）3如图，梯形ABCD中，ABCD, ZA二90 , E在AD上，且CE平分ZBCD, BE平
12、分ZABC,则下列关系 式中成立的有（）:CE2=CDXBC: BEJAEX BC.竺二空：竺羊竺二空AB AE AE AB E）E ABA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个D4如图，四边形如?的对角线EG助相交于Q且将这个四边形分成.、四个三角形 若OA ： OC= OB ： OD,则下列结论中一定正确的是（）A.和相似 B.和相似 C.和相似D.和相似5.如图，在正方形网格上有6个斜三角形：ZkABC,ABCD,ABDE,ABFG,ZkFGH, （6）EFK,其中中与三角形相似的是（）A.B.D.XXDJtiZBAZADC,2y2, 毎 J ,点P在四边形月万G?的边上.若P3到加的距
13、离为厂则点尸的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.如图，路灯距地而8米，身髙16米的小明从距离灯的底部（点0）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）A.增大15米B.减小15米第7题8. 已知矩形ABCD中，AB=I,在BC上取一点E, 若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（沿AE将AABE向上折叠，使B点落在AD上的F点. ）二、填空题9. 顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形.如图，AABC、BDC. DEC都是黄金三角形，已知AB=I,则DE=.A第9题第10题10. 如图，M是口ABCD的边AB的中点，CH交BD于E,则图中阴影部分的而积与
14、口ABCD的而积之比为11 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20Cnb 则它的宽约为.12.如图是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源距幻灯片30cm,幻灯片距屏幕1.5m,幻灯片 中的小树髙8cm,则屏幕上的小树髙是_13块直角三角板ABe按如图放置，顶点A的坐标为（0, 1）,直角顶点C的坐标为（-3, 0）, ZB二30 ,14. 如图，0为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON丄0H,若AB二6, ADM,设OH二x,ON=y,则y与X的函数关系式为.15. 如图，D ABCD , E是CD的延长线上一点，B
15、E与AD交于点F, CD=2DE.若ADEF的而积为G则 ABCD中的而积为（用U的代数式表示）第16题216. 如图，ABC 中，AB=AC, D 是 AB 上的一点，且 AD=-AB, DFBC, E 为 BD 的中点若 EF丄AC, BC二6 3则四边形DBCF的面积为三、解答题17. 如图，梯形ABCD中，ABZ/CD且AB二2CD, E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M. (1)求证：EDMFBM; (2)若 DB=9,求 BM.1&在RtABC中，ZACB=90o , BC=30, AB=50点P是AB边上任总一点，直线PE丄AB与边AC或 BC相交于E.点M在线段A
16、P上，点N在线段BP上，EM = EN, SinZWF = Il (注解 io EPSinZWP = - =)13 EM(1) 如图1，当点E与点C重合时，求CH的长；(2) 如图2,当点E在边Ae上时，点E不与点A、C重合，设AP=x, BN=y,求y关于X的函数关 系式，并写出函数的自变量取值范囤：(3) 若ZAMEsAENB (ZkAME的顶点A、M. E分别与AENB的顶点E. N、B对应)，求AP的长.19.求证:DP=PE(1)如图1,在ZkABC中，点D, E, Q分别在AB, AC, BC ,且DEBC,AQ交DE于点P(2)如图，在AABC中，ZBAC二90 ,正方形DEFG的四个顶点在AABC的边上，连接AG, AF分别交DE于M, N两点 如图2,若AB=AC=I,直接写出MN的长; 如图3,求证MNC=DM EN图1图2图320.在ZkAOB中，Cl D分别是OA, OB边上的点，将 OCD绕点O顺时针旋转到AOCD.(1) 如图h若Z AOB=90o, OA=OB, C, D分别为OA, OB的中点，证明：AoBDnAU丄BD;(2) 如图2,若AAOB为任意三角形且Z AOB=, CDIl ABl AC与BD咬于点E,猜想Z AEB=是否成立？ 请说明理由.图1
