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1、 质点动力学习题答案2-1一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标：取方向为轴，平行斜面与轴垂直方向为轴.如图2-1.图2-1 方向： 方向： 时 由、式消去，得2-2 质量为的物体被竖直上抛，初速度为，物体受到的空气阻力数值为，为常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度.解：研究对象：受力分析：受两个力，重力及空气阻力 牛顿第二定律：合力：y分量：即 时，物体达到了最高点，可有为 时，2-3 一条质量为，长为的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子
2、的一端由极小的一段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为，根据牛顿定律，有通过变量替换有 ，积分由上式可得链条刚离开桌面时的速度为2-5 升降机内有两物体，质量分别为和，且2用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速上升时，求：(1) 和相对升降机的加速度(2)在地面上观察和的加速度各为多少解: 分别以,为研究对象，其受力图如图所示(1)设相对滑轮(即升降机)的加速度为，则对地加速度；因绳不可伸长，故对滑轮的加速度亦为，又在水平方向上没有受牵连运动的影
3、响，所以在水平方向对地加速度亦为，由牛顿定律，有题2-5图联立，解得方向向下(2) 对地加速度为 方向向上在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即 ，左偏上2-6 一物体受合力为（SI），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少解：设物体沿+x方向运动，NS（沿方向）NS（沿方向）2-7 一弹性球，质量为kg，速率m/s，与墙壁碰撞后跳回. 设跳回时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为，求碰撞过程中小球受到的冲量设碰撞时间为s，求碰撞过程中小球 受到的平均冲力解:NS2-9 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合
4、力为 F =()N(为常数)，其中以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量(3)求子弹的质量解: (1)由题意，子弹到枪口时，有,得(2)子弹所受的冲量将代入，得(3)由动量定理可求得子弹的质量2-10 木块B静止置于水平台面上，小木块A放在B板的一端上，如图所示. 已知kg，0.75kg，小木块A与木块B之间的摩擦因数，木板B与台面间的摩擦因数. 现在给小木块A一向右的水平初速度40m/s，问经过多长时间A、B恰好具有相同的速度（设B板足够长）图2-10解：当小木块A以初速度向右开始运动时，它将受到木板B的摩擦阻力的作用，木板
5、B则在A给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动. 如果将木板B与小木块A视为一个系统，A、B之间的摩擦力是内力，不改变系统的总动量，只有台面与木板B之间的摩擦力才是系统所受的外力，改变系统的总动量. 设经过时间，A、B具有相同的速度，根据质点系的动量定理 再对小木块A单独予以考虑，A受到B给予的摩擦阻力，应用质点的动量定理 以及 解得 代入数据得 m/s =图2-112-11一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块，如图2-11所示. 已知两木块的质量分别为和，子弹穿过两木块的时间各为和，设子弹在木块中所受的阻力为恒力，求子弹穿过后，两木块各以多大速度运动. 解：子弹穿过
6、第一木块时，两木块速度相同，均为，初始两木块静止， 由动量定理，于是有设子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为，对第二块木块，由动量定理有 解以上方程可得 2-12一端均匀的软链铅直地挂着，链的下端刚好触到桌面. 如果把链的上端放开，证明在链下落的任一时刻，作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的重量.解：设开始下落时，在任意时刻落到桌面上的链长为，链未接触桌面的部分下落速度为，在时间内又有质量（为链的线密度）的链落到桌面上而静止. 根据动量定理，桌面给予的冲量等于的动量增量，即 所以 由自由落体的速度得这是时刻桌面给予链的冲力. 根据牛顿第三定律，链对桌面的冲力，方向向下，时刻桌面受的
7、总压力等于冲力和时刻已落到桌面上的那部分链的重力之和，所以 所以即链条作用于桌面上的压力3倍于落在桌面上那部分链条的重量.2-13一质量为50kg的人站在质量为100kg的停在静水中的小船上，船长为5m，问当人从船头走到船尾时，船头移动的距离. 解:以人和船为系统，整个系统水平方向上动量守恒 设人的质量为，船的质量为，应用动量守恒得 其中，分别为人和小船相对于静水的速度， 可得人相对于船的速度为 设人在时间内走完船长，则有 在这段时间内，人相对于地面走了 所以 船头移动的距离为2-14质量为的木块静止在光滑的水平桌面上，质量为，速度的子弹水平地射入木块，并陷在木块内与木块一起运动.求：(1)子
8、弹相对木块静止后，木块的速度和动量；(2)子弹相对木块静止后，子弹的动量；(3) 在这个过程中，子弹施于木块的冲量.解：子弹相对木块静止后，其共同速度设为，子弹和木块组成系统动量守恒（1） 所以 （2）子弹的动量（3）针对木块，由动量守恒知，子弹施于木块的冲量为2-15质量均为的两辆小车沿着一直线停在光滑的地面上，质量为的人自一辆车跳入另一辆车，接着又以相同的速率跳回来. 试求两辆车的速率之比.解： 质量为的人，以相对于地面的速度从车A跳到车B，此时车A得到速度，由于车是在光滑的地面上，沿水平方向不受外力，因此，由动量守恒得人到达车B时，共同得速度为，由动量守恒得人再由车B以相对于地面的速度跳
9、回到车A，则车B的速度为，而车A与人的共同速度为，如图所示，由动量守恒得联立方程解得： 所以车B和车A得速率之比为2-16体重为的人拿着重为的物体跳远，起跳仰角为，初速度为. 到达最高点时，该人将手中的物体以水平向后的相对速度抛出，问跳远成绩因此增加多少解：人和物体组成系统在最高点抛出物体前后沿水平方向动量守恒，注意到对地面这个惯性参考系 从最高点到落地，人做平抛运动所需时间跳远距离增加为 2-17铁路上有一平板车，其质量为，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动. 现有个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为，相对平板车的速度均为. 问在下述两种情况下，平板车的末速度是多少（1）个人同时跳离；（
10、2）一个人、一个人的跳离. 所得结果是否相同.解：取平板车和个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量守恒. 取平板车运动方向为坐标轴正方向，设最初平板车静止，则有所以个人同时跑步跳车时，车速为（2）若一个人、一个人地跳车，情况就不同了. 第一个跳车时，由动量守恒定律可得第二个人跳车时，有以此类推，第个人跳车时，有所以因为故2-18质量为的物体作直线运动，受力与坐标关系如图2-18所示。若时，试求时，图2-18 解：在到过程中，外力功为力曲线与轴所围的面积代数和40J 由动能定理为：即 2-19在光滑的水平桌面上，水平放置一固定的半圆形屏障. 有一质量为的滑块以初速度沿切
11、线方向进入屏障一端，如图2-19所示,设滑块与屏障间的摩擦因数为，试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力作功为 图2-19解：滑块做圆周运动，依牛顿定律，有： 法向： 切向：由以上两式，可得 对上式两边积分，有可得 由动能定理可得摩擦力做功为2-20质量为的木块静止于光滑水平面上，一质量为，速率为的子弹水平射入木块后嵌在木块内，并于木块一起运动，求：（1）木块施于子弹的力所做的功；（2）子弹施于木块的力所做的功；（3）木块和子弹系统耗散的机械能.解：把子弹和木块当作一个系统，动量守恒因而求得子弹和木块共同速度（1）（2）（3）2-21一质量kg的物体放在光滑的水平桌面上，并与一水平轻弹簧相连，
12、弹簧的劲度系数N/m. 今有一质量1kg的小球以水平速度4m/s飞来，与物体相撞后以2m/s 的速度弹回，试问：(1) 弹簧被压缩的长度为多少(2) 小球和物体的碰撞是完全弹性碰撞吗(3) 如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与粘在一起，则（1），（2）所问的结果又如何 解：碰撞过程中物体、弹簧、小球组成系统的动量守恒 m/s小球与弹簧碰撞，弹簧被压缩，对物体有作用力，对物体，由动能定理（1） 弹簧被压缩的长度 m（2）（3）小球与物体碰撞后粘在一起，设其共同速度为，根据动量守恒及动量定理 此时弹簧被压缩的长度m2-22 一根劲度系数为的轻弹簧的下端，挂一根劲度系数为的轻弹簧，的下端一重物，的质量
13、为，如2-22图求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比 图2-22 解: 弹簧及重物受力如2-22图所示平衡时，有 又 所以静止时两弹簧伸长量之比为弹性势能之比为2-23 如题2-23图所示，一物体质量为2kg，以初速度3ms-1从斜面点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度 图2-23解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有式中，再代入有关数据，解得 再次运用功能原理，求木块弹回的高度代入有关数据，得 ,则木块弹回高度2-24铅直平面内有一光滑的轨道，轨
14、道的部分是半径为的圆. 若物体从处由静止下滑，求应为多大才恰好能使物体沿圆周运动图2-25解：木块如能通过点，就可以绕整个圆周运动. 设木块质量为，它在点的法向运动方程为 式中为圆环给木块的法向推力. 显然0时，木块刚好能通过点，所以木块刚好能绕圆周运动的条件为选木块和地球为系统，系统的机械能守恒，所以可得 联立求解得即高度为时木块刚好能绕圆周运动2-25两个质量分别为和的木块和，用一个质量忽略不计、倔强系数为的弹簧连接起来，放置在光滑水平面上，是紧靠墙壁，如图示. 用力推木块使弹簧压缩，然后释放. 已知，求(1) 释放后，、两木块速度相等时的瞬时速度的大小；(2) 释放后，子弹的最大伸长量.
15、图2-26解：释放后，子弹恢复到原长时将要离开墙壁，设此时的速度为，由机械能守恒，由 得离开墙壁后，系统在光滑水平面上运动，系统动量守恒，机械能守恒，有 （1）当时，求得： （2）（2）弹簧有最大伸长量时，由式（2）得 2-26两块质量各为和的木块，用劲度系数为的轻弹簧连在一起，放置在地面上，如图示，问至少要用多大的力压缩上面的木块，才能在该力撤去后因上面的木板升高而将下面的木板提起图2-27解： 将和弹簧和地球视为一个系统，该系统在压力撤离后，只有保守力作用，所以机械能守恒. 设压力撤离时刻为初态，恰好提离地面时为末态，初态、末态时动能均为零. 设弹簧原长时为坐标原点和势能零点， 则 式中为
16、压力作用时弹簧的压缩量，则式中为恰好能提离地面时弹簧的伸长量，此时要求联立以上几个方程解得故能使提离地面的最小压力为2-27一质量为的三角形木块放在光滑的水平面上，另一质量为的立方木块由斜面最低处沿斜面向上运动，相对于斜面的初速度为，如图所示，如果不考虑木块接触面上的摩擦，问立方木块能沿斜面上滑多高图2-28 解：三角形木块与立方木块组成的系统在水平方向不受外力作用， 水平方向动量守恒. 初始时，立方木块速度为，其水平方向分量为，三角形木块静止；当立方木块达最高点时，相对于三角形木块静止，设二者共同的速度为，则 在运动过程中，两木块和地球组成的系统只有重力做功，机械能守恒，得 由以上两式得立方
17、木块沿斜面上滑的高度为 2-28两个形状完全相同、质量都为M的弧形导轨A和B，放在地板上，今有一质量为的小物体，从静止状态由A的顶端下滑，A顶端的高度为，所有接触面均光滑. 试求小物体在B轨上上升的最大高度（设A、B导轨与地面相切）图2-29 解：设小物体沿A轨下滑至地板时的速度为，对小物体与A组成的系统，应用机械能守恒定律及沿水平方向动量守恒定律，有 （1） （2）解得 （3）当小物体以初速沿B轨上升到最大高度H时，此时小物体相对B的速度为零，设小物体与B相对地沿水平方向的共同速度为，根据动量守恒与机械能守恒，有 （4） （5）联立（3）（5）解得2-29 一质量为200g的砝码盘悬挂在劲度
18、系数N/m的弹簧下，现有质量为100g的砝码自30cm高处落入盘中，求盘向下移动的距离（假设砝码与盘的碰撞是完全非弹性碰撞）图2-30解：第一阶段：砝码落入盘中以前，由机械能守恒有 第二阶段：砝码与盘碰撞，因为完全非弹性碰撞，其共同速度设为，在垂直方向，砝码和盘组成系统之碰撞内力远大于重力、弹簧的弹性力，可认为在 垂直方向动量守恒，因而有 第三阶段：砝码和盘向下移动过程中机械能守恒，注意到弹性势能零点是选在弹簧的原长处解以上方程可得 向下移动的最大距离为2-30倔强系数为的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面上的质量为的小球B相连接. 推动小球，将弹簧压缩一端距离后放开，假定小球所受的滑动摩擦力大小
19、为且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等. 试求必须满足什么条件时，才能使小球在放开后就开始运动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态.图2-31解：取弹簧的自然长度处为坐标原点 在时，静止于的小球开始运动的条件是 (1)小球运动到处静止的条件，由功能原理得 (2)使小球继续保持静止的条件为 (3)所求同时满足(1)和(3)式，求得 2-31一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为及的物体，如图示，静止在桌面上（）.抬高, 使绳处于松弛状态. 当自由落下距离后, 绳才被拉紧，求此时两物体的速度及所能上升的最大高度.图2-32解：分三个阶段自由下落 相互作用（通过绳），在此阶段，绳中张力比物体所受重力大得多，此时可忽略重力，由动量定理对有 对有 下降，上升过程机械能守恒解以上方程可得
