奥数-概率与统计师.docx

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1、考点1：频率与概率一、考点讲解：1频数、频率、概率：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试验次数的比（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小2概率的性质：P（必然事件）= 1，P（不可能事件）= 0，0P（不确定事件）13频率、概率的区别与联系：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概

2、率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率二、经典考题剖析： 【考题11】（2004、成都郸县，3分）某校九年级三班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表，那么该班共有_人，随机地抽取l人，恰好是获得30分的学生的概率是_，从表中你还能获取的信息是_ _ （写出一条即可） 解：65；如：随机抽了1人恰好获得2426分的学生的概率为 【考题12】（2004、贵阳，6分）质量检查员准备从一批产品中抽取10件进行检查，如果是随机抽取，为了保证每件产品被检的机会均等 （1）请采用计算器模拟实验的方法，帮质检员抽取被检产品； （2）如果没有计算器，你能用什么方法抽取被检产品 解：（1

3、）利用计算器模拟产生随机数与这批产品编 号相对应，产生10个号码即可；（3）利用摸球游戏或抽签等【考题13】（2004、鹿泉，2分）如图l6l是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个人球孔，如果一个球按图 中所示的方向被击出（球可以经过多次反射人那么该球最后将落人的球袋是（） A1号球袋B2号球袋 C3号球袋D4号球袋 解：B 点拨：球走的路径如图l6l虚线所示三、针对性训练： 1、在对某次实验次数整理过程中，某个事件出现的频 率随实验次数变化折线图如图l62，这个图中折线变化的特点是_，估计该事件发生的概率为_.2(2004，南山，3分) 如图l65的两个圆盘中，

4、指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）3(2004，南山，3分）掷2枚1元钱的硬币和3枚1角钱的硬币，1枚1元钱的硬币和至少1枚1角钱的硬币的正面朝上的概率是（ ）4(2004，汉中，3分)小红、小明、小芳在一起做游戏时需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定，问在一个回合中三个人都出包袱的概率是_5(2004，贵阳，3分）口袋中有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是_.6 (2004，南山，5分）周聪同学有红、黄、蓝三件T恤和黑、白、灰三条长裤，请你帮他搭配一下，看看有几种穿法考点2

5、：概率的应用与探究一、考点讲解：1计算简单事件发生的概率： 列举法： 2针对实际问题从多角度研究事件发生的概率，从而获给理的猜测二、经典考题剖析： 【考题21】（2004、南宁，3分）中央电视台的“幸运5 2”栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖参与这个游戏的观众有3次翻牌的机会（翻过的牌不能再翻）某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（ ） 解：C点拨：由于20个商标中共有5个商标注明奖金，翻2次均获奖金后，只剩下3个注明奖金的商标，又由于翻过的牌不

6、能再翻，所以剩余的商标总数为18个因此第三次翻牌获奖的概率为. 【考题22】（2004、四省区，6分）一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率解：列表如下：答：小亮两次都能摸到白球的概率为三、针对性训练： 1在100张奖券中，有4张中奖，某人从中任抽1张，则他中奖的概率是（ ） A、 B、 C、 D、2在一所有1000名学生的学校中随机调查了100人，其中有85人上学之前吃早餐，在这所学校里随便问1人，上学之前吃过早餐的概率是（ ） A0.8 5 B0.

7、085 C0.1 D8503有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，试利用树状图和列表法，求分别从两只口袋中各取一个球，两个球都是黄球的概率4为了估计鱼塘中有多少条鱼，先从塘中捞出100条做上标记，再放回塘中，待有标记的鱼完全混人鱼群后，再捞出200条鱼，其中有标记的有20条，问你能否估计出鱼塘中鱼的数量？若能，鱼塘中有多少条鱼？若不能，请说明理由5将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上 随机地抽取一张，求P（奇数） 随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回人再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少

8、？第1课时 随机事件的概率1随机事件及其概率(1) 必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件(2) 不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件(3) 随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件(4) 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作(5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是02等可能性事件的概率(1) 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件(2) 等可能性

9、事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率：典型例题例11) 一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；(2) 箱中有某种产品a个正品，b个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（ ）A B C D(3) 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？解：（1）从袋内8个球中任取两个球共有种不同结果，从5个白球中

10、取出2个白球有种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为（2） （3）例2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球.(1) 若n3，求取到的4个球全是红球的概率；(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为，求n.解：（1）记“取到的4个球全是红球”为事件.（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2，由题意，得所以，化简，得7n211n60，解得n2，或（舍去），故n2. 小结归纳1实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事

11、件随机事件在现实世界中是广泛存在的在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率2如果一次试验中共有种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I，其中事件A包含的结果组成I的一个子集A，因此从排列、组合的角度看，m、n实际上是某些事件的排列数或组合数因此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事3利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数基础过关第2课时 互斥事件有

12、一个发生的概率1 不能同时发生的事件 的两个事件叫做互斥事件2 必有一个发 的两个互斥事件叫做对立事件3从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此 不相交 事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集4由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算设A、B是两个事件，那么A+B表示这样一个事件：在同一试验中，A或B中 至少一个发生 就表示A+B发生我们称事件A+B为事件A、B的和它可以推广如下：“”表示这样一个事件，在同一试验中，中 即表示发生，事实上，也只有其中的某一个会发生5如果事件A、B互斥，那么事件A+B

13、发生的概率，等于 即P(A+B) P(A)+P(B) 6.由于是一个必然事件，再加上，故，于是 1-P(A) ，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率典型例题例1. 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21, 0.23, 0.25, 0.28，计算这个射手在一次射击中：射中10环或7环的概率；不够7环的概率.解： 0.49； 0.03例2. 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率（2）3只颜色全相同的概率（3）3只颜色不全相同的概率（4）3

14、只颜色全不相同的概率解：(1)记“3只全是红球”为事件A从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A的概率为(2) “3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C)故“3只颜色全相同”这个事件为A+B+C，由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件再由于红、黄、白球个数一样，故不难得，故(3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全

15、相同”为事件D，则事件为“3只颜色全相同”，显然事件D与是对立事件(4) 要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有种，故3只颜色全不相同的概率为 小结归纳1互斥事件概率的加法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用2要搞清两个重要公式：的运用前提3在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率第3课时 相互独立事件同时发生的概率基础过关1事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率 没有影响 ，这样的两个事件叫独立事件2设

16、A，B是两个事件，则AB表示这样一个事件：它的发生，表示事件A，B 同时发生 ，类似地可以定义事件A1A2An.3两个相互独立事件A，B同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB) P(A)P(B) 一般地，如果事件相互独立，那么：P(A1A2An) .4n次独立重复试验中恰好发生次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是典型例题例1. 如图所示，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统、，当元件A、B、C都正常工作时，系统正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有1个正常工作时系统正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依

17、次为0.8、0.9、0.9，分别求系统、正常工作时的概率解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件()因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统正常工作的概率 故系统正常工作的概率为0.648.()系统正常工作的概率 故系统正常工作的概率为0.792例2. 箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：求事件A：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率；求事件B：“三次中恰有一次取出红球”的概率.解：（ ； 1当且仅当事件与事件互相独立时

18、，才有 ，故首先要搞清两个事件的独立性2独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在n次独立重复试验中某事件发生k次的概率：，其中P是1 次试验中某事件发生的概率，其实正好是二项式的展开式中的第k+1项，很自然地联想起二项式定理1本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系例如，若独立重复试验的结果只有两种（即与，是必然事件），在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率就是二项式展开式中的第项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件的概率均不为0，1时，“若互斥，则一定不相互独立”、“若相互独立，则一定不互斥

19、”等体现了不同概念、公式之间的内在联系2运用 P(AB)P(A)P(B)等概率公式时，应特别注意各自成立的前提条件，切勿混淆不清例如，当为相互独立事件时，运用公式便错3独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样4解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”：（1）求概

20、率的步骤是：和事件积事件第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件第三步，运用公式求得等可能事件：互斥事件：P(AB)P(A)P(B)，P(AB)0 独立事件：P(AB)P(A)P(B)等 n 次独立重复试验：（2）概率问题常常与排列组合问题相结合例1. 袋子中有1个白球和2个红球 每次取1个球，不放回，直到取到白球为止求取球次数的分布列 每次取1个球，放回，直到取到白球为止求取球次数的分布列 每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次求取球次数的分布列 每次取1个球，放回，共取5次求取到白球次数的分布列解： 所求的分布列是123每次取到白球的概率是，不取到白球的概率是，所求的分布列是123P12345P P(k)C5k()k()5k，其中所求的分布列是012345P