奥数-整式的乘除-第3讲法师.docx

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1、第三讲 整式的乘法与除法一、 基础知识l 整式的加减 整式的加减涉及到许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点： 1透彻理解“三式”和“四数”的概念 “三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的次数、项数 2熟练掌握“两种排列”和“三个法则” “两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则 物以类聚，人以群分我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起称为合并同类

2、型这样，使得整式能大为简化，整式的加减实质就是合并同类项l 整式的乘法与除法指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：=学习指数运算律应注意：1运算律成立的条件；2运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；3运算律的正向运用、逆向运用、综合运用多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止二、 例题第一部分 基础概念与整式加减法例1. 若2x+5y-3=0,则 (2002年绍兴市竞赛题)

3、解：8例2. 已知单项式0.25xy与单项式-0125xy的和为0625axy，求abc的值解：12 提示：由题意得b=m-1=n,c=2n-1=m,0.625a=0.25+(-0.125)例3. 同时都含有字母a，b，c，且系数为1的7次单项式共有( )(A)4个 (B)12个 (D)25个(北京市竞赛题)解：C 提示：设满足条件的单项式为的形式，其中m、n、p为自然数，且m+n+p=7.例4. 把一个正方体的六个面分别标上字母A、B、C、D、E、F并展开如图 所示，已知：A=,C=,B=, E=B2C，若正方体相对的两个面上的多项式的和都相等，求D、F (第9题) 解：例5. 已知 .求A

4、、B的值.思路点拨 等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系数来解.解：A=-3，B=2。提示：展开比较对应项的系数，得到关于A、B的等式。第二部分 整式乘法与除法例6. 求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5) (3x5-x3+2x2+3x-8)展开式中x8的系数 解 x8的系数=22+(-3) (-1)+(-7) 3= -14 评注：只要求x8的系数，并不需要把展开式全部展开。例7. 多项式与多项式的乘积中，没有含的项， 也没有含的项，则解：26。提示：的系数分别为2b-5a=0，7a-5b+22=0，得到a=4，b=10。例8. 计算

5、多项式+cx+d的值时有以下3种算法，分别统计3种算法中乘法的次数直接计算：+cx+d时共有3+2+1：6(次)乘法；利用已有幂运算结果：x，计算+cx+d时共有2+2+1=5（次）乘法；逐项迭代：+cx+d=(ax+b)x+cx+d,其中等式右端运算中含有3次乘法，请问：(1)分别使用以上3种算法，统计算式 中乘法的次数，并比较3种算法的优劣 （2）对n次多项式(其中为系数，n1),分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣。解：（1）3种算法中乘法的次数分别为：1，10+9+8+2+1=55次；2，2*9+1=19次；3，10次。（2）乘法次数分别为：2（n-1）+1=2

6、n-1次；3，n次注：以上部分为整式乘法例9. 计算 (3x4-5x3+x2+2)(x2+3) 分析 整式除法可用竖式进行 解 3 x2 - 5x - 8 x2+3) 3x4 - 5x3 + x2 + 0x + 2 3x4 +9 x2 - 5x3 -8 x2+ 0x - 5x3 -15x -8 x2+15x+ 2 -8 x2 - 24 15x+ 26所以，商式为3 x2 - 5x - 8，余式为15x+ 26评注：用竖式进行整式除法要注意：(2) 被除式和除式要按同一字母的降幂排列；(3) 如被除式和除式中有缺项，要留有空位；(4) 余式的次数要低于除式的次数；(5) 被除式、除式、商式、余式

7、之间的关系是：被除式=除式商式+余式例10. 若的值等于( ) A1997 B1999 C2001 D2003 (北京市竞赛题)解：D 提示：原式= 例11. 是否存在常数p、q 使得整数？ 如果存在，求出p、q的值，否则请说明理由.思路点拨 由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数）.根据“被除式=除式商式”运用待定系数法求出p、q的值，所谓p、q是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解.解：可设，对应系数解之。故存在之。例12. 求证：(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3能被2x2+2y2整除 分析 如果将(x2-xy+y2)3与(x2+xy+y2)3直接展开，太繁，可

8、将两个式子整体处理，分别看作a和b，然后利用乘法公式展开，可将计算简化。 解 (x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3=(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)3 - 3(x2-xy+y2) (x2+xy+y2) (x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)=(2x2+2y2)3-3(x2-xy+y2) (x2+xy+y2) (2x2+2y2)所以原式能被2x2+2y2整除。评注：本题采用的是整体处理思想。例13. 当a、b为何值时，多项式2x4+6x3-3x2-ax+b能被多项式2x2-4x+1整除？例14. 一个关于x的二次多项式，它被(x-1)除余2，它被(x-3)除余28，它还可

9、被(x+1)整除，求注：以上为整式除法三、 练习题1. 已知与是同类项，那么(2m一n)=_. (第12届江苏省竞赛题)解：12. 已知A=abc，B=4a2b3c，若A+B+C=0，则C=( ) (A)5a3b2c (B)5a3b4c (C)3a3b2c (D)3ab4c解：C3. 已知（2x-3y+b）(3x+y+c),试确定a、b、c的值.解：4，4，14. 若多项式能表示成a(x+1)+b(x+1)+c的形式，则a=_，b=_,c_解：3，-10，145. 如果多项式(x-a)(x+2)-1能够写成两个多项式(x+3)和(x+b)的乘积那么a=_,b=_解：-2，16. 若与是同类项，

10、=_. (第十一届“希望杯”邀请赛试题)解：297. 计算 (2x3-x+6)(3x2+5x-2) 分析 计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。解法1 原式=6x5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12 =6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 评注：对于项数多、次数高的整式乘法，可用分离系数法计算，用分离系数法计算时，多项式要按某一字母降幂排列，如遇缺项，用零补上。 解法2 2+0-1+6 ) 3+5-2 6+0-3+18 10+0-5+30 -4+0+2-12 6+10-7+13+32-12 所以

11、，原式=6x5+10x4-7x3+13x2+32x-128. 计算 (2x5-15x3+10x2-9) (x+3)分析 对于除式是一次项系数为1的一次多项式的整式除法可用综合除法进行。用综合除法进行计算，首先要将除式中的常数项改变符号，并用加法计算对应项的系数。解 -3 2 0 -15 10 0 -9 -6 18 -9 -3 9 2 -6 3 1 -3 0 商式=2x 4-6x3+3x2+x -3评注：用综合除法进行整式除法要注意：(4) 被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用0补上；(5) 把除式x-a的常数项的相反数a写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开；(6) 下移第

12、一个系数作为第三行的第一个数，用它乘以a，加上第二个系数，得到第三行的第二个数，再把这个数乘以a，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，依次进行运算，最后一个数即为余数，把它用竖线隔开，线外就是商式的多项式系数。(7) 如果除式是一次式，但一次项系数不是1，则应把它化到1才能用综合除法。9. 已知3x-x-1=0求的值解：2002 提示：原式=10. 若x+y-2是整式x2+axy+by2-5x+y+6的一个因式，则a+b= 补充题例2. 设x、y、z都是整数，且11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z例3. 计算：(8x 2-2x+x 4-14)(x+1)例4. x+2除

13、x4-x3+3x2-10所得的余数是 例5. 已知，求的值解：商为2x+3，余数为1990；所以答案为1990例6. 设(ax3-x+6)(3x2+5x+b)=6x5+10x 4-7x3+13x2+32x-12，则a= , b= 例7. 试求x285-x83+x71+x9-x3+x被x-1除所得的余数。解法1 x285-x83+x71+x9-x3+x=( x285-1) - (x83-1)+( x71-1)+( x9-1) - (x3-1)+( x -1)+2 因为x285-1、x83-1、x71-1、x9-1、x3-1、x -1均可被x-1整除， 所以，原式被x-1除所得的余数是2。 解法2

14、 由余数定理，余数等于x285-x83+x71+x9-x3+x在x=1时值，即 余数=1285-183+171+19-13+1=2 评注：本题两种解法中，解法1是通过恒等变形，将原式中能被x -1整除的部分分解出，剩下的就是余数。解法2是通过余数定理来求余数，这是这类问题的通法，要熟练掌握。 7已知a=2，b=3，则( ) (第十一届“希望杯”邀请赛试题) (A)axy和bmn是同类项 (B)3xy和bxy是同类项 (C)bxy和axy是同类项 (D)5mn和6am是同类项解：C例8. 若a、b均为整数，且a9b能被5整除，求证：8a+7b也能被5整除 (天津市竞赛题)解：提示：8a+7b=8

15、(a+9b)-65b课外小故事皮鞋的来历-改变别人不如改变自己 很久很久以前，人类都还赤着双脚走路。 有一次，一位国王忽然心血来潮，要到那些偏远的乡间旅行。结果因为道路崎岖不平，遍地碎石子，硌得国王双脚疼痛难忍，于是败兴而归。回宫后，气急败坏的国王一边揉着青紫的双脚，一边愤愤不平地下了一道圣旨：“把全国的道路都给我用牛皮铺起来!”而且他还颇有“人文关怀”，认为这样大动干戈绝不是为了自己，而是为了全国百姓的双脚着想于是越想越觉得应该铺路。 可问题是就算把全国的牛都杀掉，也不够用来铺路。然而圣旨如山倒，谁敢不从?于是百姓们只能摇头叹息。这时，有一位聪明的仆人斗胆向国王进言说：“与其劳师动众牺牲那么多牛，您何不只用两小片牛皮包住您的双脚呢?”国王如梦初醒。 据说，这就是皮鞋的来历。