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1、第四讲 一元二次方程5：高次、分式方程解法一、 解方程的基础知识1整式方程一般通过消元、降次等方法求解；在处理二元二次方程时，还常把方程看作关于一个未知数的含字母的一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式及其它基本知识来各个击破。特别地，对二元二次方程组，求解基本方法是“加减消元法”何“代入消元法”，在解二元二次方程组或特殊的方程组时，常把它们转化为对称方程组求解；2分式方程一般通过去分母、换元法等，化分式方程为整式方程；3无理方程一般通过两边平方、根式的定义性质、换元、构造等方法，化无理方程为有理方程.二、 例题部分1高次方程例1（，1994年兰州初中数学竞赛）解方程【解】即亦即，分解例2
2、（，1957年北京数学竞赛题）解方程【解】设yx2，则原方程化为展开可得，即，例3（，96年竞赛）解方程【解】设，则上两式相减，得，即或当时，即，解得；当时，即，解得例4（）解方程2分式方程例5（）解方程【解】去分母，方程两边同时乘以，得整理得，解得原方程的解为x1例6（，94年四川竞赛）解方程【解】去分母，得即，令,则有解得当时，解得；当时，解得经检验可知，都是原方程的解.例7（，2003年广西赛题）解方程例8（）解分式方程例9（）解分式方程【解】原式乘以3，得上式左边配方，得，即设，则，解得当时，得,；当时，得,经检验，均为原方程的根.例10（）解分式方程【解】直接去分母计算过于繁琐，换元
3、，设，原方程化为，去分母，得即，分解得当时，解得；当时，解得；经检验可知，均为原方程的根.例11（）解分式方程【解法1】方程变形为即；，设，则，解得当时，解得当时，解得经检验可知，均是原方程的解【解法2】方程变形为设，则解得当时，解得当时，解得3无理方程例12（）解方程例13（）【方法1】：换元法【方法2】巧用韦达定理例14（，99年江苏）解方程【解】，原方程化为解得，但y0，故y45，两边平方，得解得，经检验均是原方程的根.例15（）解方程【解】原方程化为即，设，则，分解得当时，解得；当时，解得；经检验可知，是原方程的根例16（）在实数范围内，分别求解下面的三个方程：（1）（2）（3）【解】
4、，为使根式有意义，（1）方程化为，易得；（2），时，无解；（3），解得4二元二次方程组例17（）解方程组【解】由（1）得， ，代入(2)得，即解得，对应可解得y原方程得解为，例18（）解方程组【解】由（1）得，代入（2）可得整理，得显然x1,z0,则y1例19（）解方程组【解】，得或代入（1）式，得或解方程组得，例20（）解方程组【解】观察知，设，则，解得，由，得，解得，由，得，解得，5综合运用例21（，2004年黑龙江中考）已知方程组有两个不相等的实数解；（1）求k的取值范围；（2）若方程组的两个实数解为和是否存在实数k，使，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.例22（，2003年山东
5、省中考题）已知方程组的两个解为和，且和是两个不相等的实数，若；（1）求a的值；（2）不解方程组，判断方程组的两个解能否都是正数，为什么？例23（，2001年江苏省中考题）已知方程组（1）求证：不论k为何值时，此方程组一定有实数解；（2）设等腰三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其中c4，且和是该方程组的两个解，求三角形ABC的周长.三、 练习题1、 填空题（1） （）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为_；【答案】（2） （，2001年北京市东城区中考）若，则的值为_；【答案】0或2（3） （，2001年辽宁中考）方程组的解是_；【答案】2、 选择题（1）（）解方程组时，将x、y看成是一个一元二次方程的根，则这个一元二次方程是（ ）ABCD【答案】C（2）（，安徽中考题）解方程时，设，则原方程化为（ ）ABCD【答案】D（3）（，广州中考题）方程组的解是（ ）A，B，C，D，【答案】A3、 解方程（组）（1）（，2001年北京市西城区中考）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）【答案】：4、 解答题（）已知方程组（1） 求证：不论k取何值，此方程组一定有实数解；（2） 设等腰三角形的三边长分别为a、b、c，其中c4，且和是该方程组的两组解，求这个三角形的周长.
