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1、第二讲 一次不等式(组)一、基础知识 不等式和方程一样,也是代数里的一种重要模型.在概念方面,它与方程很类似,尤其重要的是不等式具有一系列基本性质,而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”.本讲是系统学习不等式的基础. 先介绍有关一次不等式的基本知识.1、不等式的基本性质:（1）（2）（3）（4）（5）（6） 这里特别强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘（或去除）不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘以（或除以）的数或式子大于零时，不等号方向不变（性质5）；当所乘以（或除以）的数或式子小于零时，不等号方向要改变（性质6）.2、一次不等式的一般解法： 一元一次不等式像
2、方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：axb或axb.（1）当a0时，解为，（2）当ab:(1)(2)(3).4、含绝对值的不等式的性质：（1） （2）（3） 由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算.通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝对值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式求解，常用分类讨论法.在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏.这种方法叫做“零点分段法”.二、 例题例1.()设分别表示不超过x,y,z的最大整数,设=5, = -3, = -1,则可以取值的个数是(
3、 A ).* B.4 C.5 D.6【分析与解答】：依题意得5x6，-3y-2,-1z05x6,2-y3,0-z-1.5+2+0x+(-y)+(-z)6+3+1.即7x-y-z10.故可取的值为7,8,9.例2.( 第11届“希望杯”竞赛题)在满足x+2y3,x0,y0的条件下,2x+y能达到的最大值是( B ).* B.6 C.4 D.7【分析与解答】:因为x+2y3,所以,进而,由y0,得即x3,故.例3.(2001,重庆市中考题)已知不等式组的解集为-1x1,则(a+1)(b-1)的值等于( B ).A.-5 B.-6 C.-7 D.-8【分析与解答】:不等式组得2b+3x,又不等式组的
4、解集为-1xbc，则M与P的大小关系是（ B ）AM=P BMP CMbc,=0.即M-P0,MP.例5()已知|x-a|e/2M,0|y-b|e/2|a|,0yM求证：|xy-ab|e【分析与解答】：|xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|y*|x-a|+|a|*|y-b|M*e/2M+|a|*e/2|a|=e例6.()要使不等式a成立，试求有理数a的取值范围.【分析与解答】:0,依据不等式的性质3得,即,又,即,结合得a0,由,a1,a1.7,解不等式得xc.(1)要使不等式组只有一个整数解,则不等式的解集为-1.7xc,且这个惟一的整数必为-1,故-1-
5、6时,原不等式组的解集为:0x;当即a-6时,两个不等式的解集无公共部分,即原不等式组无解,当时,a=-6时,两个不等式有惟一公共解x=0,即原不等式组有惟一解.例10（ 2001，徐州市中考题）某化工厂2001年12月在制定2002年某种化肥的生产计划时，收集了如下信息：（1） 生产该种化肥的工人数不能超过200人；（2） 每个工人全年工作时数不得多于2100个小时；（3） 预计2002年该化肥至少可销售80000袋；（4） 每生产一袋该化肥需要工时4个；（5） 每袋该化肥需要原料20千克；（6） 现存原料800吨，本月还需用200吨，2002年可以补充1200吨.根据以上数据，确定2002
6、年该种化肥的生产袋数的范围.【分析与解答】:设2002年生产该化肥x袋,从工时上,从原料上,从销售量上考虑有例11（ 第十三届“五羊杯” 竞赛题）阿龙4次测验都是80多分，阿海前3次测验分别比阿龙多出1分、2分和3分，那么，阿海第4次测验至少应得( )分，才能确保4次测验平均成绩高于阿龙至少4分.【分析与解答】:阿海总分高于阿龙至少44=16分,故阿海第4次测验高于阿龙至少16-(1+2+3)=10分.阿龙第4次测验最多考89分,故阿海第4次测验至少要考99分.例12（ 安徽省竞赛题）设,为自然数，且，又+=159,则+的最大值是多少?【分析与解答】:159=+(+1)+(+2)+(+6),解
7、得,即的最大值为19.同理,的最大值分别为20,22.所以19+20+22=61.例13（ 2000，河北省初中竞赛题）某企业人事招聘工作中，共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分，其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人?【分析与解答】:共有22人.设x人得3分,y人得4分,则得5分的共有26-x-y人,则可知即得5分的共有22人.例14（ 2001，全国初中竞赛题）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，第6，第7，第8，第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所
8、得的平均环数高于前5次射击的平均环数.如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击至少要得多少环（每次射击所得环数都精确到0.1环）？【分析与解答】:第6,7,8,9次射击的成绩和为:9.0+8.4+8.1+9.3=34.8.其平均值为.他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击的平均环数,前5次的平均成绩88-78.2,x9.8. 第10次射击至少得9.9环.例15（ 第12届“希望杯”邀请赛试题）一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊要使用15个工时，20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要使用10个工时，5个单位的原料，售价为
9、45元.在劳动和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数，可以使小熊和小猫总售价尽可能高.请你用你所学过的数学知识分析，总售价是否能达到2200元？【分析与解答】:设小熊和小猫的个数分别为,总售价为,则依题意可得当总售价z=2200时,即为也即,解得,故x=14.此时y=24,z=,元.故安排生产小熊14个,小猫24个可达到总售价2200元.三、练习题1.(1996,“希望杯”竞赛题)如果关于x的方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x的方程的解,那么( D ).*2 B.a2 C.a 【分析与解答】:关于x的方程3(x+4)=2a+5的解为,关于x的方程的解为.由题意,解得.2.(2000,
10、宜昌市中考题)若不等式(ax-1)(x+2)0的解集是-3x-2,那么a等于( B ).A. B. C.3 D.-3【分析与解答】:由已知得或,联系已知-3x0的解集为x-3,所以,a=.3.(2000,中学生数理化知识竞赛)不等式的正整数解为( 1,2,3 ).【分析与解答】:去分母得(y+1)-2(y-1)0,y3故正整数解为1,2,3.4.不等式组与不等式(x2)(x5)0同解，则a的取值范围是（ ）。【分析与解答】：第一个不等式的解集是2x5 第二个不等式的解集是（1）当a0时 x0或xa 此时a2 （2）a=0时 x取任意数，满足要求 （3）a1时，若x4,则原不等式变为2x-7ax
11、1,所以(a+7)/24因此该不等式有解综上所述，a的取值范围是a16.求不等式的解集【分析与解答】：x0时原不等式变为1-x20. -1x1故此时0=x1x0因此x不等于-1综上所述，该不等式的解集为x1且x不等于-17（2000，山东省竞赛题）甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ A ）Aab Bab Ca=b D与a和b的大小无关.【分析与解答】:由题意知,5条鱼的进价为(3a+2b)元,售价为,又0,ba.8.(2001,河北省初中竞赛题)在一次“人与自然”的知识竞赛中，竞赛试
12、题共有25道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么他至少是对了（ 19 ）道题.【分析与解答】:设他选对了x道题,则4x-2(25-x)60,6x110,x.x为大于18的整数.至少选对19道题.9（2000，黑龙江省初中竞赛题）严肃中学初三（1）班计划勤工俭学收入的66元钱，同时购买单价分别为3元，2元，1元的甲、乙、丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学，已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品费用
13、不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲、乙、丙三种纪念品各多少件？【分析与解答】:设购买的甲,乙,丙三种纪念品分别为x件,y件,z件,则依题意可得和,x为正整数, x=10或x=11,当x=10时,y=12,=62-510=12当x=11时,y=13,z=62-511=7.有两种购买方案:购买甲种纪念品10件,乙种12件,丙种12件;购买甲种纪念品11件,乙种13件,丙种7件.10（第十三届“五羊杯”竞赛题）花城中学初二（A）班的女同学计划制作200张贺年卡，如果每人做8张，任务尚未完成，如果每人做9张，则超额完成任务.后来决定增
14、派4位男同学参加制作，任务改为300张，结果每人做了11张，超额完成了任务，那么，初二（A）班女同学共有( 24 )人.【分析与解答】:设有x位女同学.题设条件相当于8x200300.因x为整数,由8x200300知x24,x=24.狮子和羚羊的家教 每天，当太阳升起来的时候，非洲大草原上的动物们就开始奔跑了.狮子妈妈在教育自己的孩子：“孩子，你必须跑得再快一点，再快一点，你要是跑不过最慢的羚羊，你就会活活地饿死.” 在另外一个场地上，羚羊妈妈也在教育自己的孩子：“孩子，你必须跑得再快一点，再快一点，如果你不能比跑得最快的狮子还要快，那你就肯定会被他们吃掉.” 记住你跑得快，别人跑得更快.补充题：1. 已知|x|a/3,|y|a/6.|z|a/9求证：|x+2y-3z|a【分析与解答】：|x+2y-3z|x|+2|y|+3|z|q)【分析与解答】：第一次和第二次最后是一样的，价格都是原来的(1-p%)(1-q%)=A第3次的价格是原来的(1-)(1-)=BB-A=(p%+q%)/22-p%q%=(p%-q%)/220所以A的价格比B便宜，而由于甲方案第一次降价比乙方案第一次降价的多所以相对来说甲方案最受欢迎.
