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1、第三讲 一次函数初步一、 变量与函数。1. 变量和常量。 我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量且这两个量之间相互依赖、密切相关例如：圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，S随着r的变化而变化我们称数值发生变化的量叫变量；数值始终不变的量为常量因此，上述问题中变量是S和r；常量是圆周率【例1】 请指出下列问题的常量与变量：（1） 运动员在400米一圈的跑道上训练，他跑一圈的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)之间的关系。（2） 用10米长的绳子围成一个长方形，试改变长方形的长度，长方
2、形的长x(m)与S（）之间的关系。2. 函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independent variable）,y是x的函数（function）.如果当x=a时y=b,那么b叫做自变量的值为a时的函数值.例如：在根据圆的半径求圆的面积问题上,面积S是r的函数关系式(函数表达式、函数解析式).“y有唯一值与之对应”是指在自变量的取值范围内,x每取一个确定值,y都唯一的值与之相对应,否则y不是x的函数.判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式,还要满足上述确定的对应关系.x取不同的值,y的取值可
3、以相同.例如:函数中,x=2 时, y=1;x=4时, y=1.函数不是数,它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系.函数的本质就是变量间的对应关系.关于函数的关系式的理解:(1) 函数关系式等式.例如y=4x就是一个函数关系式.(2) 函数关系式中指明了那个是自变量,哪个是函数.通常等式右边代数式中的变量是自变量,等式右边的一个字母表示函数.例如: 是自变量,y是x的函数.(3) 函数关系式在书写时有顺序性.例如: y=-3x+1是表示y是x的函数y是x的函数,若写成就表示x是y的函数.也就是说:求 y与x的函数关系时,必须是只用变量x的代数式表示 y ,即得到的等式左边只含x的代数式.【例
4、2】 已知函数关系式为,求下列函数值.(1) 当x=2时; （2）当时.3. 自变量的取值范围 很多函数中,自变量由于受到很多条件的限制,有自己的取值范围,例如中,自变量x受到开平方运算的限制,有, ;当汽车行进的速度为每小时80公里时,它行进的路程s与时间t的关系式为s=80t;这里t实际意义影响,t的取值范围应该为t 0.在初中阶段,自变量的取值范围考虑下面几个方面:(1) 根式:当根指数为偶数时,被开放式为非负数.(2) 分母中含有自变量:分母不为0.(3) 实际问题:符合实际意义. 【例3】 求下列函数中自变量 x的取值范围:(1) (2) (3) (4) (7) 4. 函数的图像 有
5、些问题中的函数关系式很难列式子表示,但是可以用图来直观地反映,即使对于能列式表示地函数关系,若能画图表示则会使得函数关系更加清晰.例如正方形的边长x与面积之间存在函数关系,其中自变量x的取值范围是x0.自变量x的一个确定的值与它所对应的惟一的函数值S,在平面直角坐标系中确定了一个点（x,S）,所有满足条件的点构成了（x0）的函数图像。一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么平面直角坐标系内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（praph）。【例4】 请分别画出（1）y=2x+3; （2）的图象。 练习： 1、 如果水的流速量是a m/min（一定量
6、）,那么每分钟的进水量Q（）与所选择的水管直径D（m）之间的函数关系是_；其中自变量是_,常量是_.2、 某种储蓄的月利率是0.2%,存入100元本金后,则利息和（y元）与所存月数x之间的函数关系是_.3、 函数中,自变量x的取值范围是_.4、 已知函数,当x=2+时,函数值y=_.5、 已知函数,当x=_,函数值y=.6、 如下图,某产品的生产流水线每小时可生产100件产品.生产前没有产品积压,生产3小时后安排工人装箱,若每小时装产品150件,未装箱的产品数量（y）是时间（t）的函数,那么,这个函数的大致图象只能是 （ ）7、 小红的爷爷饭后出去散步,从家中走20分钟到一个离家900米的街心
7、花园,与朋友聊天10分钟后,用15分钟返回家里.图11-7中表示小红爷爷离家的时间与外出的距离之间的关系是 （ ）二、 正比例函数1. 正比例函数一般地,形如y=kx（k为常数，k0）的函数，叫做正比例函数（proportional function），其中k叫做比例系数.如y=3x，y=3x，y=-x.【例1】 已知函数y=（k-2）（k为常数）是正比例函数,则k= _.【例2】 已知正比例函数的图象经过点（-4,3）,求它的解析式.【例3】 已知正比例函数（m为常数）是正比例函数，且函数图像经过二、四象限，求m的值.练习1. 下列哪个函数是正比例函数 （ ）A. B. C. D. 2. 下
8、面哪个正比例函数的图象经过一、三象限 （ ）A. B. C. D.3. 已知正比例函数y=kx（k0,k为常数），经过点（2，4），则下面哪个点不是该正比例函数图上的点 （ ）A（-2，-4） B（0，0） C（1，2） D（1，-1）2. 一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k0）的函数，叫做一次函数（linear function）.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.【例4】已知一次函数y=（m-2）x+（m-3）（m为常数）,（1） 当m取何值时,该函数是一次函数？（2） 当m取何值时,该函数是正比例函数？3. 一次函数y=kx
9、+b与正比例函数y=kx图象之间的关系一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移个单位得到（当b0时,向上平移;当b0时,直线y=kx+b由左至右上升,y随x的增大而增大;当k0 B. k0 C. k0 , b0 D. k0,bc0或ax+b0； (2) 当x为何值时，kx+b=0；(3)当x为何值时，kx+bmx+n (3) 解关于x的不等式ax+bmx+n 3 一次函数与二元一次方程(组) 一般地，每一个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个
10、函数值相等，以及这两个函数值是何值，如【例3】，我们就可以说方程组的解集为从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标 【例4】 求直线y=3x-2与直线y=2x的交点坐标【例5】 求直线y=-2x+4，y=2x-2及y轴围成的三角形的面积 练习1 一次函数y=3x-4与x轴交于A，则A点的横坐标就是一元一次方程_ _ 的解2 一元一次方程2x-3=3x-2的解可以看成是直线_ _与直线_ _的交点的横坐标3 直线y=x与直线y=2x-3的交点坐标是_ _4 已知直线y=ax-2与直线y=4x-b交于(-1，4)点，则a= _ _；b= _.5 已知一次函数y=2x-3，当lx2时，
11、函数值y的取值范围是_ _6 已知函数y=3x+2与y=2x-l的图象交于P，则点P的坐标是 ( ) A(-7，-3) B(3，-7) C(-3，-7)D(-3，7) 7 已知一次函数y=kx+b的图象(如图11-33)，当x0 By0 C-2y0 Dy0时，函数图象由左至右上升 D当k0时，函数图象由左至右下降4 下面哪个函数的图象不经过第三象限 ( )Ay=2x-3 By=-2x-3 Cy=2x+3 Dy=-2x+35 下面哪个函数经过点(1，1) ( ) 6 如果函数是一次函数，则k= （ ） A.2 B.2或0 C. 0 D.17 函数的图象与y轴交点的坐标是 （ ）A(0，3) B(
12、3，0) C(0，5) D(5，0)8 已知一次函数y=(m-2)x+m-4不经过第二象限，则m的取值范围是 ( ) 9 已知一支蜡烛长20 cm，每小时燃烧4 cm，设剩下的蜡烛的长度为ycm，蜡烛燃烧了x小时，则 y与x的函数关系是_ _，自变量x的取值范围是_ _.10 已知x+2y=1，把y写成x的函数为_ _11 如果一次函数y=kx+(k-1)的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是_ _12 已知一次函数与y=2x-m交于点(2，n)，则_13 把-次函数y=2x-1沿着x轴向左平移1个单位，得到的直线的解析式为_ _.14 已知与x+1成正比例，与x-1成正比例，当x=2时，y=9，当x=3时，y=14，求y与x的函数关系式
