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1、数学发展史及数学的价值,海王星的发现,海王星是太阳系最远的行星之一，是根据力学法则，通过数学计算，于1846年发现的天文学家阿达姆斯和勒未累分析天王星运功的不规律性，应该是受到另外一颗行星的引力作用而产生的，他们计算出这个行星所处的位置观察员果然从望远镜中发现了这颗新的行星，这颗新的行星就是海王星,电磁波的发现,英国物理学家麦克斯韦(Maxwell)概括了由实验建立起来的电磁现象规律，以方程的形式表述出来，通过纯数学的方法，推导出电磁波的存在，且以光速传播着这一学说奠定了全部无线电技术的基础,数学的本质,数学是反映现实世界的，产生于人类的实际需要数学最初概念与原理的建立，是以经验为基础的长期历
2、史发展的结果这深刻地道出了数学的本质 数学概念是从大量不同类型的实际问题中提炼概括出来的，它只保留了这些实际问题的共同的空间形式和量的关系，舍弃掉其他一切具体性质；是独立于这些实际问题的抽象概念这些实际问题只是纯数学概念的特例而已生产、科学、技术的进步促进了数学理论的发展，数学理论的发展又促进了生产、科学、技术的进步,数学的三个特性,数学的抽象性 数字是抽象的，量是抽象的，空间是抽象的，一切数学概念是抽象的，数学的方法也是抽象的抽象性在简单的数字运其中就己体现出来比如两个抽象数字相乘，我们并不关心是孩子的数目乘以苹果的数目，还是苹果的数目乘以水果的单价几何中的直线只留下在一定方向的延伸的意义，
3、而不是拉紧了的绳索,数学的精确性 数学的精确性，确切地说是指逻辑的严格性和结论的确定性数学推理和论断证明对于每个了解它的人来说，都是确定无疑和无可争辩的这点对于其他学科影响很大，以致有些学科中的理论，如果不能上升到用数学模型表达就不能令人信服,数学的广泛应用性 数学的广泛应用性是任何其他学科所不能比拟的几乎所有学科都或多或少地应用着数学天气预报、地震预报离不开数学；电影电视中引人入胜的动画制作，离不开数学；经济学离不开数学；力学、物理学以及天文学上的定律就是用数学公式的形式来描述的。过去化学和生物学与数学联系较少，现在也需要借助数学来发展自己农业方向要想提高农产品的产量和质量，就需要应用试验设
4、计和优选法；兴修水利，防止堤坝渗水则需用到更高深的数学知识没有数学的发展，卫星就上不了天；没有数学的发展，人类就不可能遨游太空,数学的发展史,数学萌芽时期(公元前6世纪以前)公元前一千多年，人类历史从铜器时代过渡到铁器时代，生产力大大提高了随着社会财富的增加，促进了商业贸易的发展出于社会经济生活的需要，人们越来越多地要计算产品的数量和劳动时间的长短，测量建筑物的大小，丈量土地的面积等人类在长期的生产实践中，逐渐形成了数的概念，产生了关于数的运算方法，几何学也有了初步发展 在这个阶段，人类虽然积累了许多数学知识，但这些知识只是片断的，零碎的，还没有形成严整的体系，缺乏逻辑推理，尚不见有命题的证明
5、,初等数学时期（公元前6世纪至17世纪中叶）公元前六七世纪，地中海一带成为文化昌盛地区，在生产、商业、航海以及社会政治生活发展的影响下，研究自然界的兴趣增加了，探索客观现实及其发展规律的愿望，逐渐代替了旧的宗教神话的世界观，这时在数学方面已积累了大量资料，有待进一步去整理和深刻化一些希腊学者开始尝试对命题加以证明，所谓证明，就是借助一些真实性已经确定的命题去论证某一命题真实性的逻辑推理过程 证明命题是希腊几何学的基本精神，是数学发展史上一件大事，从此，数学由具体的实验的阶段过渡到抽象的理论的阶段，数学经过这样根本性的变革，逐渐形成了一门独立的演绎的科学这便是数学发展第二个阶段的开始之后，初等几
6、何、算术、初等代数和三角学逐渐形成为相互独立的科目这些科目所研究的对象都是常量，称之为初等数学,亚历山大里亚的欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基人,阿基米德（公元前287年公元前212年），古希腊哲学家、数学家、物理学家。出生于西西里岛的叙拉古。他利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家依据这样的“逼近法”加以发展
7、成近代的微积分。他更研究出螺旋形曲线的性质，现今的“阿基米德螺线”曲线，就是为纪念他而命名。另外他在恒河沙数一书中，他创造了一套记大数的方法，简化了记数的方式。,变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）16至17世纪，欧洲封建社会开始解体，资本主义兴起，生产力大大解放工场手工业蓬勃发展且向机器生产过渡，促使科学技术和数学急速地向前发展例如在航海方面，为了确定船只的位置，要求更加精密的天文观测；在军事方面，弹道学成为研究的中心课题；准确的时计的制造，吸引着许多优秀的科学家；堤坝的修筑，行星的椭圆轨道理论等，都需要很多复杂的计算初等数学已经不能满足需要了，在数学研究中引入变量与函数的概念是很
8、自然的发展趋势 从此，数学进入了第三个发展阶段变量数学时期这一时期和上一个时期的区别在于：上一个时期用静止的孤立的方法研究客观世界，这一时期则用运动的和变化的观点去探索事物的内在联系、变化和发展；辩证法进入了数学。,变量数学时期，以笛卡儿(Descartes，15961650)的解析几何学的建立为起点，接着牛顿(Newton，16421727)和莱布尼茨(Leibniz,16461716)创立了微积分学，亦称数学分析。微积分以汹涌澎湃之势向前发展，在18世纪达到辉煌；其内容之丰富，应用之广泛，盛况空前微积分的发明在科学史上具有决定性的意义。在这一时期还出现了概率论和射影几何等新的数学分支。,勒
9、内笛卡尔（Rene Descartes）,公元1596公元1650著名的法国哲学家、科学家和数学家。1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省笛卡尔-1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩）。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡尔致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。此外，现在使用的许
10、多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这包括了已知数a,b,c以及未知数x,y,z等，还有指数的表示方法。他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式。还有微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的。,牛顿（Sir Isaac Newton FRS,1643年1月4日1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会员，是一位英国物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为流数术。它所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等，在牛顿前已
11、经得到人们的研究了。但牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的结论加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。,戈特弗里德威廉凡莱布尼茨，德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿（1643年1月4日1727年3月31日）同为微积分的创建人。由于他创建了微积分，并精心设计了非常巧妙简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对
12、数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论，此外，莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念。,近代数学时期（19世纪20年代至二次大战）从19世纪20年代开始，在数学界又一次掀起了革命的浪潮，发生了一连串本质的变化首先是罗巴切夫斯基(Lobachevsky，17921856)创立门非欧几何非欧儿何是在否定欧几里得（Euclid，约公元前330前275）平行公理的基础上建立起来的一种新型几何学，其研究对象与使用范围迅速扩大其次是阿贝耳(Abel，180218
13、29)和伽罗华(Galois,18111832)开创了近世代数的研究近世代数是相对于古典代数而言的粗略地说，古典代数以讨论方程的解法为中心，近世代数是以一般代数方程的根式求解问题为基础，导致对于群的结构的研究随后，多种代数系统群、环、域、格、布尔代数、线性空间等被建立，代数学呈现出崭新的面貌。,在这个时期内，波尔察诺（Bolzano，17811848）和柯西(Cauchy，17891857)重新奠定了分析学的严格的逻辑基础；拓扑学、复变函数沦等崭新的数学分文相继涌现。19世纪70年代以后，康托尔(Cantor，18451918)的集合论开始发展。1901年，勒贝格（Lebesgue，18751
14、941）在点集测度理论的基础上给出了新的积分定义，奠定了实变函数论的基础。此外，微分方程、微分几何、数理逻辑、概率论以及20世纪初出现的泛函分析等，在这一时内都取得了长足的发展。,尼古拉斯伊万诺维奇罗巴切夫斯基（英文Nikolas lvanovich Lobachevsky）（1792年12月1日1856年2月24日），俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。主要作品非欧几何的论文：几何学原理及平行线定理严格证明的摘要 论文几何学原理 德文非欧几何著作平行线理论的几何研究 论几何学。非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天
15、文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。,尼耳期亨利克阿贝尔（N.H.Abel，18021829）1802年8月出生于挪威西南城市斯塔万格附近的芬岛的一个农村。他很早便显示了数学方面的才华。他得出了椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的有相似作用的常数K，证明了椭圆函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至于阿贝尔积分的反演阿贝尔函数，则是不久后由
16、黎曼首先提出并加以深入研究的。,柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生生于巴黎，在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式.柯西的贡献几乎遍及数学的各个领域。在微积分学、级数理论、微分方程、复变函数论、数论、行列式理论、群论，以及天文学、光学、弹性力学方面都发表了大量论文。他具有非凡的创造力，在不到20年的时间内，在巴黎科学院主办的周刊Comptes Rendus发表了他的500多篇论文。他的全集共有26卷，在数量上仅次于欧拉。,格奥尔格康托尔,德国数学家，集合论的创始人。康托尔对数学的贡献是集合论
17、和超穷数理论。19世纪由于分析的严格化和函数论的发展，数学家们提出了一系列重要问题，并对无理数理论、不连续函数理论进行认真考察，这方面的研究成果为康托尔后来的工作奠定了必要的思想基础。对超穷数论基础的献文是康托尔最后一部重要的数学著作，经历了20年之久的艰苦探索，康托尓希望系统地总结一下超穷数理论严格的数学基础。献文分两部分，第一部分是“全序集合的研究”，于1895年5月在数学年鉴上发表。第二部分于1897年5月在数学年鉴上发表，是关于“良序集的研究”。献文的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，
18、所以康托尔的集合论通常成为古典集合论或朴素集合论。,现代数学时期（20世纪40年代以后）,20世纪中叶，世界科学史上，发生了几件惊天动地的大事：一是原子能的利用，以1945年7月16日，在美国新墨西哥州的洛斯阿尔莫沙漠中，第一颗原子弹爆炸为起点；二是电子计算机的出现，以1945年12月第一台电子计算机的制造成功为起点；三是空间技术的兴起，以1957年10月4日，前苏联发射第一颗人造地球卫星为起点。现代科学技术的研究对象，日益超出人类的感官范围，向高温、高压、高速、高强度、远距离和自动化方向发展，很多测量和研究都不能依赖于直接经验，必须以理论计算为指导。一些科学实验的规模空前巨大，要耗费大量的人
19、力和物力，例如，一个跨音速风洞，其耗电量就相当于一个中等城市的用电；人造卫星的发射与核武器的研制耗费更大；人类要在月球或别的星球上建立实验室，耗资之大可想而知。为了减少浪费，避免盲目性，迫切需要精确的理论分析和设计。此外，现代科学也日益趋向于定量化的研究。数学为了适应这些新情况，发生了急剧的变化，在短短的半个多世纪里，取得了丰硕的成果。,应用数学,应用数学枝繁叶茂，内容极其丰富。主要分支有对策论、规划论、排队论、运筹学、控制论、信息论和最优化方法等。对策论是由于经济与军事需要而产生的。由于物资运输的需要，产了规划论，它主要研究计划管理工作中的安排和估值问题。排队论主要是研究随机服务系统和公共事
20、业的合理设置的数学方法。信息论是利用数学方法研究信息的计量、传送、变换和储存等问题，所谓信息是指在接受之前不知内容的报道或情报。控制论是把现代各学科中的通讯及自动控制等基本问题综合而成的一门新的学科，对于现代计算、自动化技术、生物及医学等方面都有很大的影响。最优化方法就是在约定的条件下，如何充分利用现有的人力物力，使得完成某项工作最快最省或质量最好的数学方法；优选法和统筹法是最优化方法的一部分，在华罗庚教授的倡导下，我国在20世纪七八十年代曾大力推广利用这两种方法，取得了很大的成绩。运筹学的范围很广包括对策论、规划论、排队论、最优化方法，还有质量控制及抽样检验等分支。此外还有系统分析、可靠性理
21、论等新的科目出现。应用数学还在不断发展壮大之中。,计算机科学,计算机科学是对计算机体系，软件和某些特殊应用，进行探索性研究与理论分析的一门科学。软件就是解题的程序、程序语言、编制程序的方法等软件的开发研究，需要用到很多数学工具，如数理逻辑、代数、数理语言、组合数学以及图论等人工智能、机器翻译、机器证明、图形识别、图像处理等都属于计算机的特殊应用。计算机进入了数学领域，改变了整个数学的面貌和研究方向，使人类处于一个空前巨大的变革时期。中国科学院吴文俊院士，依据中国传统数学中的机械化思想，开创性地提出了用计算机证明几何定理的方法，被国际上称为“吴方法”，他也因其在数学领域的突出贡献，于2001年3
22、月荣获国家最高科技奖。吴老的数学机械化方法已经在许多高科技领域得到应用。我国正在进行的全世界最大的500米射电望远镜的研究中就采用了数学机械化方法，机器人、智能计算机辅助设计、信息传输中的图像压缩、新型数控机床的研制等也都应用了吴老的成果。应用数学机械化方法，可以将一份机密的图像文件隐藏在一首歌里或电影里，甚至可以将其伪装成一张普通的图片，通过网络传送出去，骗过网络上的窃取者,纯数学理论,20世纪40年代以后，纯数学基础理论与应用数学和计算机科学一样，也有了飞速的发展，取得了许多突破性的成绩，解决了不少带有根本性质的问题，引入了一些新的概念、新的方法，推动了整个数学的前进例如“连续统假设”问题
23、的突破，相应地促进了整个数理逻辑的发展；指标定理综合了拓扑学、函数论和偏微分方程等不同领域的最新理论与方法，揭露了这些分支之间的本质联系，对各个领域产生了深远的影响，广义函数概念的引人，使得广义函数成为数学的一个独立分支，在偏微分方程论、群表示论、随机过程论、理论物理以及很多工程技术中，都有着大量的应用。,数学的文化价值,数学的这种公众形象从发展现代教育与科学的角度看是堪忧的.数学是一门基础学科,数学教育是基础教育.对于现代化社会而言,数学素质应该是公民所必须具备的一种基本素质.为了切实地将我国的教育提高到现代的先进的水准,使人们树立起正确的数学价值观,具有十分重要的意义.数学是人类文化的重要
24、组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。,数学为人类提供精密思维的模式,一个人不管将来从事何种职业，思维能力都可说是无形的财富，而这种能力的培养又不是一朝一夕之功，必须有长时期的磨练。数学，正像人们常说的那样，是训练思维的体操。那么什么是数学思维或精密思维呢？数学思维包括很多方面。我想概括地和通俗地说，数学思维最基本的两大方面应该是“证”和“算”,“证”就是逻辑推理与演绎证明；“算”就是算法构造与计算，二者对人类精密思维的发展都不可或缺。对“算”大家可能
25、比较容易感受。我们在生活或工作中遇到问题常常会说需要“算一算”，数学家则更是追求解决问题的一般模式或者说一般算法。从简单的三角形面积算法到描述各种自然和社会现象的复杂的方程的解算，定量化的方法已经渗透到各行各业。这里主要说一说“证”。从几条不言自明的公理出发，通过逻辑的链条，推导出成百上千条定理。这种演绎论证的思维模式是古希腊欧几里得的几何原本首先开创树立的，其影响所及远远超出了数学乃至科学的领域，对人类社会的进步和发展有不可估量的作用。,法国大革命形成两部基础文献人权宣言和法国宪法，是资产阶级民主革命思想的结晶。人权宣言开宗明义说：“组成国民议会的法国人民的代表们,决定把自然的、不可剥夺的和
26、神圣的人权阐明于庄严的宣言之中，以便公民们今后以简单而无可争辩的原则为根据的那些要求能经常针对着宪法与全体幸福之维护。”而后来(1791年)公布的法国宪法又将人权宣言置于篇首作为整部宪法的出发点。把大家认为“简单而无可争辩的原则”和“不言而喻的真理”作为出发点，按照数学的语言这就是从公理出发。显然，领导法国大革命的思想家、政治家们都接受了欧几里得数学思维的影响。上述例子是很有代表性的，说明了数学公理化思维、逻辑论证思维对人类文化和社会进步的影响。,数学是其它科学的工具和语言,德国大数学家、号称“数学王子”的高斯有句名言：“数学是科学的皇后”这句话几乎可以说家喻户晓，但许多人可能不知道，高斯跟这
27、句话一起说了一段话，高斯这段原话的意思可以概括为两句话，“数学是科学的皇后，数学也是科学的女仆。”两句话，“数学是科学的皇后，数学也是科学的女仆.”我理解，前一句话突出数学是精密思维的典范，后一句则强调数学为其它科学服务，是其它科学的工具.非常形象和恰当地反映了数学的价值和作用.德国哲学家康德曾经这样说道：“我坚决认为，任何一门自然科学，只有当它数学化之后，才能称得上是真正的科学。”无产阶级革命家马克思也说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”,在20世纪初相对论的创立过程中，数学就建有奇功。1907年，德国数学家闵可夫斯基提出“闵可夫斯基空间”，为爱因斯坦狭义相对
28、论提供了合适的数学模型。有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。1912年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，一个很重要的要求是使引力定律在一定的坐标变换下保持不变(即所谓协变)。爱因斯坦为此徘徊徬徨了3年时间，最后在他的大学同学数学家格罗斯曼（M.Grossman）介绍下学习掌握了意大利数学家勒维-奇维塔等在黎曼几何基础上发展起来的绝对微分学，亦即爱因斯坦后来所称的张量分析，并很快发现这正是建立广义相对论引力理论的合适的数学工具。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出广义协变的引
29、力方程,数学是推动生产发展、影响人类物质生活方式的杠杆,数学从它萌芽之日起，就表现出与人类物质生产活动的紧密联系。数学对人类生产的影响，最突出地反映在它与历次产业革命的关系上。人类历史上迄今发生的三次产业革命，其主体技术都与数学新理论、新方法的应用有直接或间接的关联。这里仅以第二次产业革命为例。第二次产业革命的主体技术之一是无线电通讯，然而可以说没有数学就没有无线电通讯，那是因为无线电通讯的物理载体电磁波的存在，最初并不是通过实验或观察，而是基于严密的数学方法作出的预言，具体地说是依据所谓麦克斯韦方程推导而得的结果。,他在其中将全部电磁现象规律归结表述为两组方程，即麦克斯韦方程，并根据对这两组
30、方程的推导结果大胆地预言了一种以光速传播着的波也就是电磁波的存在。麦克斯韦的理论当时只有少数几个犹豫不决的支持者。24年后，德国物理学家赫兹在振盪放电实验中证明了麦克斯韦的预言。这样，麦克斯韦方程不仅实现了自牛顿以来物理学的又一次伟大综合，而且为日后风靡全球的无线电技术奠定了基础，从此电磁波走进了千家万户的生活。,数学是人类思想革命的有力武器,数学对于人类精神文明的影响同样也很深刻。数学本身就是一种精神，一种探索精神。这种精神的两个要素，即对理性与完美的追求，千百年来对人们的世界观的革命性影响不容低估。数学由于其不可抗拒的逻辑说服力和无可争辩的计算精确性而往往成为思想解放的决定性武器。,太阳是
31、宇宙的中心，但在他之前，从古希腊开始一直是地心说占统治地位，中世纪的教会为了宗教的利益更是把地心说作为教义固定下来。哥白尼之后的许多科学家和思想家为了维护宣传日心说不惜付出巨大的代价。著名的伽利略曾因此被宗教裁判所判终身监禁，还有一位意大利人布鲁诺也因宣传日心说和反宗教的罪名被活活烧死在罗马的鲜花广场，很多人为哥白尼的日心说抛头颅撒热血，但是宗教并没有因此而让步。日心说地位的真正确立是在牛顿从万有引力定律出发，利用微积分等先进数学工具将太阳系的运动严格地推演出来之后。而海王星的发现，则给顽固维护地心说的宗教势力以最后的致命的一击。在数学的计算与逻辑面前，宗教也终于被迫让步，近年来梵蒂冈甚至还要
32、给伽利略平反。所以，数学在推动人类思想革命过程中有时起着决定性的作用，哥白尼的日心说可以说是很有说服力的例子。,数学是促进艺术发展的文化激素,先看两幅画，一幅是中世纪的油画(图15)，明显没有远近空间的感觉，显得笔法幼稚，象幼儿园孩子们的作品。另一幅是文艺复兴时代的油画(图16)，同样有船、人，但远近分明，立体感很强。,数学，这中间数学进入了绘画艺术。我们知道，中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性，而到文艺复兴时期，描绘现实世界成为画家的重要目标。如何在平面画布上真实地表现三维世界的事物，是这个时代艺术家们的基本课题。我们不妨再欣赏一幅：达芬奇的最后的晚餐。鲜明的立体感，平面传递空间的概念。在达
33、芬奇的草稿中可以看到画布上放射的虚线及没影点(正好在耶稣头部中央)。由这些画可以看出从中世纪到文艺复兴中间绘画艺术的变革，可以说是自觉地应用数学的过程。,我们从五个方面简要分析了数学的文化价值。这里需要声明的是，我的意思决不是要说数学是万能的。数学是人类博大浩瀚的文化宝库的一个组成部分，其发展是在人类整个文化的总背景下进行的，它影响别种文化领域的发展，同时也必然受着其它文化的影响。不过从上述提纲挈领的介绍可以知道，数学是人类历史上最古老的一种文化，数学作为一种文化所具有的特点，决定了其在整个人类文化中的特殊地位，也就是特殊的文化价值。,每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性
34、又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领域中的研究热点，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究，并善于从历史素材中汲取养分，做到古为今用，推陈出新。,科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，以使我们明确科学研究的方向以少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定提供依据，也是我们预见科学未来的依据。多了解一些数学史知识，也不会致使我们出现诸如解决三等分角作图等荒唐事，避免我们在这样的问题上白废时间和精力。同时，总结我国数学发展史上的经验教训，对我国当今数学发展不无益处。,
