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1、高等数学背景下的导数问题随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。导数部分内容就丰富了很多。如指数函数、对数函数及分是函数的求导就使得我们的研究范围不仅仅局限在多项式函数主要是三次函数的系列问题。我们还要指导学生通过类比的手段利用导数研究函数的单调性、极值点，作出函数的示意图，通过直观化解决超越函数的有关问题。另外，随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学
2、背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件虽然高考考试没有要求学生掌握但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。一、函数的拐点问题例1（2007湖南文21）已知函数在区间，内各有一个极值点（I）略；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式解析：（II）思路一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所
3、以在两边附近的函数值异号，于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故点评 本题中“在点处穿过函数的图象”实际上是指点A处是函数的拐点。有关拐点的问题，在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数。在处虽然导函数值为0，但不是极值点，左右两边的单调性相同。从数来看，使导函数所对应方程的偶次重根。所以本例中可知是重根。二、函数的凸凹性例2.若对所有的都有成立，则实数的取值范围是_.解析：,设则 , 由得。注意到F(0)=0，若在定义域有极值则比在区间(0,+)外.即另解： f(x)的示意图如图，由图可知直线y=ax在区间(0,+
4、)上恒在y=f(x)图像下方，所以a1.点评：本题注意的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带来一个问题：虽然可以证明函数是单调递增函数，但是递增的形式是类似还是类似即函数的凸凹性。我们也可以通过再求导，探讨切线斜率的增减性来确定函数图像递增的趋势即凸凹性。三、拉格朗日中值定理例3.(南通2008第二次调研考试.19)已知函数如果是增函数，且存在零点（为的导函数。（1）求a的值； （2）设是函数的图像上两点，的导函数。证明：解析：（1）略。a=e。 （2）由（1）得 即.将换成构造函数，定义域为则，即在定义域上单调增，。即同理可证点评：本道题目背景是拉格朗日中值定理中值定理：若函数是在闭区间a
5、,b上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则(a,b)至少存在一点，使得。而我们解决这一问题的手段是通过构造函数，利用导数证明单调性，从而求证不等式。我们学过的指数、对数函数，正弦、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理。仿照例3，请尝试证明下面题目。1、 证明:当0a1.点评：注意到割线的表示形式， 定义域D，联系拉格朗日定理，易证若.可将本题推广到任意曲线割线斜率的范围组成的集合B是切线范围组成集合A 的子集这一结论。下面一题就很容易了。已知函数，求证：若图像上任意不同两点连线的斜率都不大于1，则4已知定义在实数集上的函数，其导函数记为，且满足，为常数，（1）试求的值；（2）记函数，若的最小值为6，求实数的值；（3）对于（2）中的，设函数，（）是函数图象上两点，若，试判断的大小，并加以证明解：（1），依题意，得（2）,，若，在上单调递减，的最小值是，由得，（舍去）； 若，令得，当时,在上单调递减;当时,在上单调递增; 所以的最小值是，由得， （3），结合图象猜测只需证，故只需证，即证：，且， 设，当时，在上是增函数，即，设，则，当时，在上是减函数，即综上所述，
