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1、26.2.1 二次函数的图象与性质(一),二次函数的定义：函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)叫做x的二次函数,思考：你认为判断二次函数的关键是什么？,判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0,练习：若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m_,探究：二次函数的图象,1：画出 y=x2 的图象。,解：（1）列表,以0为中心选取7个x值列表,（2）描点,（3）连线,X,0,10,8,6,4,2,-5,5,Y,轴对称图形,这是一条抛物线,这是抛物线的顶点,对称轴是y轴,2：请同学们画出 y=-x2 的图象。,3.探究:观察y=x2,y=
2、-x2的图象,它们整体上给你一种什么感觉?,答:这两个图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形。两个图象关于x轴对称。,定义:函数y=x2,y=-x2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.,y轴是对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.,探究,观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和顶点坐标及其规律.,1.抛物线y=x2的图象开口向上,抛物线y=-x2的图象开口向下.,2.图象的顶点都在原点.y=x2的顶点是图象的最低点,y=-x2的顶点是图象的最高点.,结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质,1.顶点都在原点;,当a0时，开口向上；当a0时，开口向下,3.还可以发现
3、，a越大，则开口越小；a越小，则开口越大,探究4、观察图形，Y随X的变化如何变化？,y=-2x2,x,y=2x2,当a0时，对称轴的左侧:y随x的增大而减小；对称轴的右侧:y随x的增大而增大。当a0时，对称轴的左侧:y随x的 增大而增大；对称轴的右侧:y随x的增大而减小。,6请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。,(0,0)最低点(0,0)最高点,y轴y轴,向上向下,增大 增大,减小 增大,增大 减小,6,2,10,增大 增大,(2)、开口方向：当a大于0时，开口向上；当a小 于0时，开口向下。,二次函数y=ax2的图象的性质,(1)、顶点是原点，对称轴是y轴。,a0,ao,即:直线:x
4、=0,(3)、增减性,a0,a0,y随x的增大而增大。,在对称轴的左侧(x0):,y随x的增大而减小；,在对称轴的右侧(x0):,当a0时,当a0时，,在对称轴的左侧(x0):,y随x的增大而增大。,在对称轴的右侧(x0):,y随x的增大而减小。,当 x=0 时,y最小值=o.,当 x=0 时,y最大值=o.,试一试：,1、函数y=2x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；,2、函数y=-3x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；,3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确
5、的是（）A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。C 对任一个实数y，有两个x和它对应。D 对任意实数x，都有y0,x,y,o,A,例1、已知y=(m+1)x 是二次函数且其 图象开口向下（1）求m的值和函数解析式。（2）x在何范围内，y随x的增大而增大?y随x的增大而减小?,练习一,2、已知函数是二次函数，且开口向上。求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律,例2、函数y=ax2(a0)与直线y=2x-3交于点(1,b).求：(1)a与b的值；(2)求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；(3)x取何值时，二次函数
6、y=ax2的 y随x增大而增大？(4)求抛物线与直线y=-2的两交点与顶点构成的三角形 的面积。,O,A,B,x,y,y=-2,先代入直线，得到交点再代入二次函数,例3、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的 交点坐标,y,x,O,求抛物线与直线的交点坐标的方法：两解析式联列方程组,回顾练习及提高：,1、二次函数的顶点坐标是，对称轴是，图像在轴的（顶点除外），开口方向向，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大。,2、抛物线，当时，随着的增大而减小，当时，函数有最值，此时。,3、根据二次函数的图像的性质，回答下列问题：（1）如果点P在抛物线上，那么点Q也在这条抛物线上吗？为什么？,（2）当时，设自变量，的对应值分别为，当时，必有吗？为什么？,小结：,（1）顶点都在原点;对称轴是y轴,（）当a0时，开口向上；当a0时，开口向下,（）当a0时，在对称轴的左侧:y随x的增大而减小；在对称轴的右侧:y随x的增大而增大。当a0时，在对称轴的左侧:y随x的 增大而增大；在对称轴的右侧:y随x的增大而减小。,二次函数y=ax2的图象性质与特点：,函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)叫做x的二次函数,
