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1、初中数学,圆的总复习,二、空间与图形,圆 理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。了解三角形的内心和外心。了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。,一、圆的概念1.平面上到定点的离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中,定点称为圆心,定长称为半径的长(通常也称为半径).以点O为圆心的圆记作O,读作“圆O”.2.圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大小.3.圆是轴对称图
2、形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.4.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.5.圆的旋转不变性.,6.圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距.7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.8.圆心相同,半径不同圆称为同心圆.9.半径相同,圆心不同的圆称为等圆.10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为等弧.11.顶点在圆心的角称为圆心角.12.顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.,二、点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系有三种：
3、点在圆外,点在圆上,点在圆内.2.点与圆的位置关系的数量点到圆心的距离(d)与半径(r)关系：,ABC中，C=90，AB=4cm，BC=2cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径画圆，则点C在A，点B在A；,三、垂径定理1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,AM=BM,重视：模型“垂径定理三角形”,若 CD是直径,CDAB,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,判断：垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧。（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。（）弦的垂直平分
4、线一定平分这条弦所对的弧。（）,如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H，EF=10，HG=6，AH=4，求BE的长。,M,N,5,3,4,已知：如图，直径CDAB，垂足为E.若半径R=2，AB=,求OE、DE 的长.若半径R=2，OE=1，求AB、DE 的长.由、两题的启发，你还能编出什么其他问题？,a/2,h,r,d,d+h=r,在a,d,r,h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量。,A,B,O,E,D,油的最大深度ED=ODOE=200(mm),或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).,(1),(2),在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽AB=600mm
5、,求油的最大深度.,OE=125(mm),如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？,四、圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.,2.推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,（一）、圆的中心对称性,（1）若将圆以圆心为旋转中心，旋转180，你能发现什么？,圆绕其圆心旋转180后能与原来图形相重合。因此，圆是中
6、心对称图形，对称中心是圆心。,圆绕圆心旋转任意角度，都能够与原来的图形重合。圆具有旋转不变性,如图，点O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于 点 A、B和C、D。求证：AB=CD,证明：作OMAB，ONCD，M，N为垂足。,推广：若将上题中的点O看作是沿着EPF的平分线运动的。在EPF的每边与圆O有两个交点的时候，是否都能够得到上题的结论？,证：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F、G A为CD中点，B为EF中点 OACD，OBEF 故AFC=BGE=90 又由OA=OB，OAB=OBA 且AM=BN AFMBGN AF=BG OF=OG DC=EF,如图：和 是两
7、个等圆，直线 平行于 分别交 于 点、，交 于点、。求证：,五、圆周角定理1.定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,2.推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.3.推论2:直径所对的圆周角是直角.4.推论3:90的圆周角所对的弦是直径.,即 ABC=AOC.,1 如图，以O的半径OA为直径作O1,O的弦AD交O1于C,则OC与AD的位置关系是_。,2 在上题中,若AC=2cm,则AD=_cm。,OC与BD的位置关系是_。,垂 直,平 行,4,六、直线与圆的位置关系1.相交、相切、相离.,2.直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共
8、点叫做切点.,3.直线与圆的位置关系量化揭密.,圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.,直线和圆相交,d r;,d r;,直线和圆相切,直线和圆相离,d r;,=,公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学。AP=160米。假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向匀速行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，那么学校受影响的时间为多少秒？（已知拖拉机的速度为18千米/时）,B,C,D,七、切线的性质和判定定理1.性质定理 圆切线垂直于过切点的半径(直径).,2.判定定理 经过半径(直径)的外端,并且垂直于这条半径(直径
9、)的直线是圆的切线.,例1、已知：直线AB经过O上的 点C，并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是O的切线。,证明：如图，连结OC.OA=OB,CA=CB OC是等腰OAB 底边BC上的中线 OCAB 又AB过半径OC的外端 AB是O的切线,O,A,C,B,A,O,T,C,B,练习：如图，AB是O的直径，ABT=45,AT=AB。求证：AT是O的切线。,八、三角形与圆1.定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆.2.三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的内接三角形.3.与三角形三边都相切的圆,叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.外接圆的圆心
10、是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心.5.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.,八、三角形与圆1.切线长定理及其推论:从圆外一点向圆面积所引的两条切线的长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.2.直角三角形的内切圆半径与三边关系.3.三角形的内切圆半径与圆面积.,在RtABC中，AB=6，BC=8，则这个三角形外接圆直径是。,九、四边形与圆1.如果四边形的四个顶点在一个圆,这圆叫做四边形的外接圆.这个四边形叫做圆的内接四边形.2.如果四边形的四条边都与一个圆相切,这圆叫做四边形的内切圆.这个四边形叫做圆的外切四边形.3.圆内接四边形对角互补.4.圆内
11、接四边形的一个外角等于它的内对角.5.对角互补的四边形内接于圆.6.圆外切四边形两组对边的和相等.,菱形ABCD中，周长为40，ABC=120，则内切圆的半径为（）,（A）（B）（C）（D）,如图，O是ABC的内切圆，D、E、F是切点，A=50，C=60，则DOE=（）,（A）70（B）110（C）120（D）130,十、圆与圆的位置关系,1.外离、外切、相交、内切、内含.,上述五种位置关系还可以分成:相交、相切、相离三类,相切,相交,相离,相交,3.圆与圆的位置关系量化揭密,已知O1与O2相切，且O1的半径6cm，两圆的圆心距为8cm，则O2的半径为。,十一、弧长与扇形面积1.半径为R的圆中
12、,n的圆心角所对的弧长的计算公式,2.半径为R的圆中,n的圆心角所对的扇形面积.,弓形的弦长24cm,圆弧半径为13cm,则弓形的高为,十二、圆锥的侧面积(扇形)1.如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,那么,这个扇形的半径(R)为圆锥的母线l,扇形的弧长(L)为圆锥底面的周长(L=2r),因此圆锥的侧面积(S侧)为圆锥的母线与扇形弧长积的一半;若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则它的侧面积(S侧)圆锥的母线与底面周长积的一半.,2.若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则它的侧面积(S侧)圆锥的母线与底面周长积的一半.,已知圆锥的轴截面是一等腰直角三角形，则其侧面展开图扇形的圆心角为（）,D,祝大家学习愉快！,
