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1、初中数学,知识结构基本知识知识的运用四.思考题,第九讲 相似三角形和位似图形,一.知识结构:,平行线分线段成比例定理,两个推论,相似三角形,判定,性质,运用,相似的特例位似,判断,计算,证明,二.基本知识:,(一)平行线分线段成比例定理及其推论:,1.平行线分线段成比例定理,A,D,B,C,E,F,如图:若三条直线abc则:,a,b,c,2.平行线分线段成比例定理的推论:(1)”A字型”:如图若DEBC则:,A,B,C,D,E,A,B,C,D,O,(2)“8字型”,如图若ACBD则:,二.相似三角形,1.定义:三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角 形相似.,2.判定:,预备定理:平行于三
2、角形一边且与另两边或其延长线相交的直线所截得的三角形与原三角形相似,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,(2).两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,(3).三边对应成比例的两个三角形相似.,(4).斜边,直角边对应成比例的两个直角三角形相似,3.相似三角形的性质:,(1).相似三角形的对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比,周长的比都等于相似比.,(2).相似三角形的面积比等于相似比的平方.,(1).两个角对应相等的两个三角形相似.,(三).位似图形,两个相似多边形,如果对应顶点的连线相交于一点,这样的相似叫位似.交点叫位似中心.,位似图形的概念可用来画相似图形.,例1.如图具备
3、下列哪个条件可使ACDBCA（）,（A）,（B）,（C）,（D）,三.知识的运用:,分析：因为ACD与BCA有一个公共角C，所以要使它们相似，只须夹这个角的两边对应成比例，即：,答案（C）,注：解此题运用了相似三角形的判定。,2.如图，ABCD，AEFD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（）（A）4对（B）5对（C）6对（D）7对,分析：由已知得四个三角形：BFHBAG CEG CDH,所以共有 3+2+1=6对相似三角形,答案:C,注：解此题运用了数组合数的方法。,3.如图，在梯形ABCD中，ABCD，中位线EF与对角线AC、BD交于点M、N两点，EF=18cm，MN=8
4、cm，则AB的长等于（）,（A）10cm（B）13cm（C）20cm（D）26cm,H,分析：设,AB=a.DC=b因为EF为梯形的中位线，所以,答案:D,注：解此题运用了梯形中位线性质，梯形问题转化为三角形问题的方法,记住两个结论。,4.如图在ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,M,N分别是AB,AC边的中点，F,E是BC边上的点,且EF=5cm,则阴影部分的面积为,分析：首先ABC的面积可求：作ADBC于D，,D,连结MN，MN为三角形的中位线，所以MNBC，AMN ACB,O,设ME与NF交于O可证,30cm2,注：解此题运用了相似三角形面积比等于相似比的平方。,5.已知如图
5、，ABC中，D是AB中点，F在BC延长线上，连结DF交AC于E.求证：CFBF=CEAE.,G,H,证明:(证法一)过C作CGAB交DF于G,则:,证法二:过C作CHFD交AB于,则,注:解此题运用了平行线中8字型,A字型中的比例，此题还有四种证法,6.如图,在直角三角形ABC中，C=90,AC=8,BC=6,将AB十等分,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9为分点,分别连结C与各分点,请你在图中找出一对相似三角形,并说明理由.,解:BCP1 BCP6,BC2=36,BP1BP6=94=36BC2=BP1BP6,在BCP1和BCP6中B=B,证明:C=90,AC=8,BC=6,注:次题灵活运用了相似三角形的判定,BCP1 BCP6,练习三.,1.如图，DEBC，ADDB=2 3，则ADE 与ABC 的周长之比为；面积之比为；,2.如图在ABC中,AB=AC,A=90AB=10,(1)画出ABC的内接正方形DEFG,使EF在BC边上.(2)求出EF的长.,3,如图已知,在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,将矩形对折使点C与点A重合，EF为折痕,求EF的长.,祝大家学习愉快！,
