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1、初中数学解题教学 及案例分析,重庆市实验学校 孔原平,（一）知识性错误,知识性错误主要是由数学知识上的缺陷所造成的错误，如误解题意、概念不清、忽视公式、定理成立的条件、记错法则、用错定理等,一、解题中的常见错误及分析,1不能正确理解题意,例1 如图1，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为4cm，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A6cm B12cm C13cm D16cm,C,（一）知识性错误,知识性错误主要是由数学知识上的缺陷所造成的错误，如误解题意、概念不清、忽视公式、定理成立的条件、记错法则、用错定理等,一、解题中的常见错误及分析,1不能正确理解题意,例1
2、 如图1，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为4cm，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A6cm B12cm C13cm D16cm,B,2忽视公式、定理成立的条件,错误原因是忽视了等比定理成立的条件：分母之和不等于0,；,逻辑性错误主要是违反逻辑规则所产生的推理上或论证上的错误如循环论证、分类不全、充要条件错乱等,（二）逻辑性错误,1.不等价变换（充要条件错乱）,例3 解方程,例4 已知ABC中，AD为A的平分线，BDDC，求证：ABAC,2.循环论证,证明：如图，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE因为AD平分A，所以AEDACD，从而AED=C又因为AE
3、DB，所以CB故ABAC,分析：证明中在AB上取点E，使AE=AC，已经承认了ABAE=AC这相当于从ABAC出发，证明ABAC.,E,F,G,3.分类不当（分类有重复或遗漏）,错解：易找到满足条件P点的坐标为（1，0）和（2，0）,例5 平面直角坐标系内有点A（1，1），请在 轴上找一点P，使得AOP为等腰三角形，并求出点P的坐标,(2,0),(1,0),心理性错误是由于某些心理原因而产生的错误如负迁移、潜在假设，以及看错题、抄错题、丢三落四、慌乱急躁、紧张焦虑等,（三）心理性错误,1负迁移,例6 计算,错误原因：受解分式方程的影响，把分式运算当成了解方程,分析：将方程的解迁移到不等式上，导
4、致对条件“正整数解是1、2、3”理解的偏差，从而将另一层含义“大于或等于4的整数不是该不等式的解”忽视了,正解2：（“错”中找“对”）由已知x=3是不等式3xm0的正整数解，而x=4却不是，所以33m0，而43m0，解得9m12,2.忽视隐含条件,3.潜在假设,错误原因：这道题没有给图，学生解答默认了点D在BC上，若点D在BC外（如图1），则有BCD90.由于默认了“点D在BC上”得出一个假命题，有知识性错误；分类不全又有逻辑性错误；而“默认”本身又有心理性原因潜在假设,例10 在ABC中，AD是高，且AB=20cm，AD=12cm，AC=13cm，则BC=。,例11 有甲、乙、丙三种货物，若
5、购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.2元现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？,（四）策略性错误,策略性错误主要是解题方向上的偏差，造成思路受阻或解题长度过长，存在多余的思维回路,1缺乏整体观念,分析：若从正面考虑，要分一次向上，两次向上，三次向上，耗时、耗力，容易出错题设的反面是三次反面向上概率，,所以至少有一次正面向上的概率为,。,2不善于从反面思考,例12 把一枚均匀的硬币向上连续拋三次，则至少有一次正面向上的概率为多少？,3.不能恰当地转化问题,例13 若平行直线EF、MN与相交直线AB、CD相交成如图所示的图形，则共得同旁内角（）A.4对 B.
6、8对 C.12对 D.16对,解：分别取出AB、CD，得出2个“三线八角”基本图形；再取出EF，可得到3个“三线八角”基本图形，同样取出MN也得到3个“三线八角”基本图形一共有8个基本图形，而每个基本图形都有2对同旁内角，因而共有16对同旁内角，选D,（一）配方法配方法的立足点在于利用完全平方式的非负性，是代数变形的重要手段.,二、初中数学解题基本方法,换元法是一种重要的数学方法，灵活的运用换元法（整体换元、倒数换元、比值换元），可以化繁为简，化难为易，加快解题速度，达到事半功倍的效果.,(二)换元法,待定系数法与配方法、换元法是初中代数中三种基本方法.待定系数法在因式分解、证明恒等式、函数的
7、性质及解析式等方面都应用广泛.,（三）待定系数法,1.求面积 求面积是初中几何中经常遇到的问题，常见图形的面积一般可以用公式求出，但有的图形很难直接套用公式求解，这就要依靠思维上的技巧，灵活巧妙地求解.,例20 如图10，ABC的面积是1，E为AC的中点，O为BE的中点，AO交 BC于D，CO交AB于F，求四边形BDOF的面积.,（四）面积法,例21 如图11，在RtABC中，BCA=90，BAC=30，AB=6cm,把ABC以点B为中心逆时针旋转120，求AC扫过的面积（图中阴影部分）.,2.等积变形 把不规则的图形变为规则图形或者用不同的方法计算同一个图形的面积，这种方法就是等积变形.,例
8、22 n边形的内角和=(n-2)180.,(五)归纳法 归纳法就是从个别的、特殊的情形作出判断，扩大到对一般情形的判断的一种推理方法。按归纳出的结论的真实性是否确定或是否需要再作证明，而分为完全归纳法和不完全归纳法。,（六）反证法 反证法是一种间接证法，它的逻辑根据是“排中律”：对于同一种思维对象，所作的两种相互对立的判断只能是一真一假.,例如：ABC中，至少有一个内角不小于60,就可用反证法.,（一）函数与方程的思想 函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而
9、所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。（如例20）,三、数学思想方法数学思想方法在解题中有不可忽视的作用.教师在教学设计中要让解学生好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。,（三）数形结合思想 数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。,（二）分类讨论思想 分类讨论实际上是一种化整
10、为零，分别对待，各个击破的思维策略在数学解题中的具体表现.分类关键：标准统一.原则：（1）分类中的每一部分相互独立；（2）分类讨论应逐级进行.(如例10),（四）转化与化归的思想 转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的思想体现了数与形的转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的；不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已
11、经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为特殊的问题；将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。,四、解题技巧训练（一）认真分析问题，找解题准切入点,例23：已知：AB=DC，AC=DB,求证:A=D.,G,E,F,H,中点四边形：,破题点：关键看原四边形的对角线的关系,任中平；等中菱；垂中矩；又垂又等就是正.,（二）巧取特殊值，以简代繁.,例24（2011重庆）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花
12、搭配而成。这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，由黄花一共用了 朵.,1.方程（组）,2.数与式,3.函数,无对称轴,（三）几何问题代数化,例27.ABC中，AB=AC,点D、E分别在BC、AC上，且AD=AE，若BAD=20,求EDC的度数.,（四）巧添辅助线，转换求解.在解数学题时，即要对已知的条件进行全面分析，还要善于将题目中的隐性条件挖掘出来，将数学中各知识之间的联系巧妙的运用起来，用全面、全新的视角来解决问题。,四、教学建议,1.重视对概念、定理的教学,关键词,定理与图形相结合,如：在同一平面内，两条永不相交的直线叫做平行线.,80%,直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一
13、半.,图形,文字,在RtABC中，ACB=90，若AD=BD,则CD=,AB,符号,图形特点：,两个等腰，三线等,思考：,1.如果在一个三角形中，一边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形吗？,2.如果在RtABC中，ACB=90，点D是AB边上一点，如果AD=CD,那么点D会是斜边AB的中点吗？,2.培养读题、审题习惯,在ABC中，M是BC的中点，AN平分BAC，BNAN，若AB=12，AC=16，求MN的长.,读题标图+联想,1,2,等腰三角形三线合一,三角形的中位线,3.重视对常用辅助线的提炼,过拐点作平行线,E,F,三角形中与中点有关的辅助线往往是倍长中线或中位线,特殊三角形中与中点有关的辅助线,G,见直径，想直角,4.重视对基本图形的教学,小结论,6.一题多解，一题多变，一图多变,D,E,如果ABCADE,求证：EF=CF,ABC=90,AB=BC,AF平分BAC,CEAF于点E.求证：AF=2CE,2.连接EC,用等腰三角形的知识,1.证ABDADC,得EB=CD,再证EFBCFD,得EF=CF,3.连接AF,问AF与EC有何位置关系？,谢谢！,
