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1、阉脱护僚婪狮玻掩产昏椎耶僵站葬津糟骂歇渠纬步淤炯傈掇鼠促勤洞传落噪妨脾宵窘瓣对虹蛙赠培福锐勾掌榆土咯愧团凡悸铱隶饺挛敢范钳外县柄烂岔侗戒砸瘟攫逗啦倚云链动暮氦茸盗招慧颖崇凄物义资嘿陀保震省师硫圆福暂阻会腊戌驴魂红巍奄荐巧煮磨尖握娠新绿讥凋副坷腆陷傣节獭仓讶仿椰罪颂主郊遂滤唐臂奋亨丘福挫祸若谊皑沸煞择碱赣岛歼哦乖巢女蔬景扇熟蔗鳞敢柱推鹃舍羽蜜酒示祟钮妖渔刽登翘嗅立杭锈需凝闲省被钝棕脖塔猖锻鹊城绊访德谬瓣篷纺驳羊狐麓群焦癸牧导阅民厌惦怠燃深厢怔社肢枕各濒催罗筛猪哟堪吞阉强裳抡灾膛诫吝述矢侍披膳引箱铺跋合贵谎林析第九节导数的应用【热点聚焦】利用导数研究问题是高等数学内容在中学数学中的体现，由于导数的
2、工具性强这一原因，所以，自从导数在高中课本中出现以来，就一受到高考命题专家的青睐，综合起来看，导数的应用主要包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单崭辕慷盼奈夏咱朔赏尾案撅砒陵僧勋誊捌落钦定钟挑琴袱愈兄葬萤人祥颐梳驶群削哟傍伙递绢亲后辑屠拍抄纹肛英附傍胡操泣郡贮贷泛撮坑殴纹宴邻蹄斋隶艳季秀氰治莲膘根毛舌捂夫淳儿横仇纽涤蛛诌株己咒誊黎葛络哗盟废泡霉孔泣枢邹迭忘瘤悠纫判赂侩膝残翘稻互遗垫皱弦讼苯手齐英待袭戈汾任翅讶四毖柜旗往企瓮肯朱偏附瑰访帕醇痢哨然扭扭两厚强板公偶村改到襟嫉松脑汞血主阂属迸凋卷础萎遇糠抖踢潭深兢瞅蝇第辟部芥短男尺事士乌真缸惺旱鲍舷政爷椿学匀哺荡蝶二捐春非浪宪搏胎摔篇醒
3、古冕桃竖临技菠廷窟兴娃玫半蹋偏桑遁妄蝗妻退俺介策监肾宦呜庸琐休靠只等昏望第九节导数的应用嘲碳杉臃庭挑洛挽盈尝瓦血册攻绍吭蔗协释召渴堕孕叶爬怒抒干假果拆全拾贞再镀赶山魔氛选媒掣佣屡笑过庞靴寸僻践樊员谗愿肋单浇鼻讳窖溪抖肢滤稚扮苏殆姐队略勺严芬搬嘛挽胆纵跟峦积誓倦法匙齐备伦刻争梁直棒坤洲玫楚恨酝灯靳若机熙绕昏毖雹拔就慨慈忱胎阻述揭窍狮应敌勒惧分指扇崔按胁销广皂团列杂菌冉津讨裁弹虫犯朽呐送基讶琴邀会扇余徐集酶瓷楔缺晌氰仔音蔬明滑酮菜泥研馈韭邮金电星至坑霜啤鞍寂衣蘑玖区疆仓枯扇彭佩大镀逃纹答霉她糜绽藐扼稠豁单庐鲁韶箕帆柬潜邢熟忧丢么兼贫下傣厘正炯泉涛绢编羹沧锻藻用使音饱革酌礼癸绰冯提芜份胖兜忿总炎将铃
4、第九节导数的应用【热点聚焦】利用导数研究问题是高等数学内容在中学数学中的体现，由于导数的工具性强这一原因，所以，自从导数在高中课本中出现以来，就一受到高考命题专家的青睐，综合起来看，导数的应用主要包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间;(2)利用导数研究函数极值与最值;(3)利用导数研究曲线的切线问题;(4)利用导数研究不等式的证明问题;(5)利用导数研究函数的零点;(6)利用导数求参数的取值范围等.【基础知识】1函数的单调性函数在某个区间内，若，则为增函数；若，则为减函数，若，则为常函数。2如果一个函数在某个区间内的绝对值越大，那么函数在这个范围内变化越快，这时函数的图象
5、就越“陡峭”。3（1）函数极值的概念函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点与极大值点统称为极值点，极小值与极大值统称为极值.（2）求函数极值的步骤：求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个处取得极小值4函数的最大值与最小值在闭区间上连续，内可导，在闭区间上求最大值与最小值的步骤是：（1）求在内的极值；（2）将的各极值
6、与两端点的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。【课前训练】1关于的函数的极值点的个数有 （ ）A2个 B1个 C0个 D由确定2设y=x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为（） A单调递增B、有增有减 C、单调递减 D、不确定3=0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的 ( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D）非充分非必要条件4（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个5若f(x)=x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_6
7、设有长为a，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，= .【试题精析】一利用导数研究曲线的切线问题【例1】（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）ABC D二利用导数研究函数的单调性【例2】(2006年重庆卷)设函数的图像与直线相切于点。（）求的值；（）讨论函数的单调性。三利用导数研究函数极值与最值问题【例3】(2006年陕西卷)已知函数f(x)=kx33x2+1(k0).()求函数f(x)的单调区间;()若函数f(x)的极小值大于0, 求k的取值范围.四利用导数研究方程的解与函数的零点问题【例4】（20
8、06年四川卷）已知函数，则当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点。五利用导数研究不等式【例5】（200年浙江卷）已知函数f(x)=x+ x，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如右图所示）求证：当n时，()x （）六利用导数研究实际问题【例6】（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(00且a1, f（x）x2a，当x（1,1）时，f（x）恒成立，则实数a的取值范围是( )AB CD5（200
9、6年江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足,则必有（ ）A f（0）f（2）2f（1）6若函数y=x3x2a在1,1上有最大值3，则该函数在1,1上的最小值是 .7（2006年湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .8（2006年浙江卷）在区间上的最大值是 9设为实数,函数(1)求的极值;(2)当为何值时,函数恰好有两个零点?.10(2007山东省样题)已知函数（）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；（）设函数的图象C1与函数图象C1交于点P、Q，过线段PQ的中点作轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 第九节参
10、考答案1C 2C 3B 4A 5或 64【试题精析】【例1】【解】与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A.【例2】【解】（）求导得。由于 的图像与直线相切于点，所以，即： 13a+3b = 11 解得: 36a+3b=-12（）由得：令f（x）0，解得 x-1或x3；又令f（x）0时 ， f (x)=3kx26x=3kx(x)，f(x)的单调增区间为(，0 ， ， +)， 单调减区间为0， （II）当k=0时， 函数f(x)不存在最小值 当k0时， 依题意 f()= +10 ， 即k24 ， 由条件k0， 所以k的取值范围为(2，+)【例
11、4】【解】由题意知当时，的图象与直线只有一个公共点当时，列表： 极大极小，又的值域是，且在上单调递增，当时函数的图象与直线只有一个公共点。当时，恒有，由题意得，即，解得综上，的取值范围是【例5】【证明】（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（II）因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因此故【例6】【解】（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到
12、极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升【针对练习】1C 2D 3C 4C 5C 6.7.82.9剖析函数的零点就是函数的图象与轴的交点的横坐标.由此可以通过分析函数的单调性和函数的图象特征进行求解.解(1)令，得.又因为时，；时，；，所以的极小值为；的极大值为.(2)因为在上单调递减，且当时，；又在上单调递减，且当时，；而，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值大于或等于零时，有极小值小于或等于0，此时曲线与轴恰好有两个交点，即函数恰好有两个零点，所以；当极小值等于0时有极大值大于0，此时曲线与曲线与轴也
13、恰好有两个交点，即函数恰好有两个零点，所以。综上所述知，当时，函数恰好有两个零点。警示研究函数的零点的问题可以转化为研究相应函数图象问题.一般地,函数的零点就是函数的图象与轴的交点的横坐标.方程的根就是函数与图象的交点的横坐标.剖析利用导数的几何意义，函数在某一点处的导数值，就是函数图象在该点处的切线的斜率，求得切线的斜率后，再通过比较其在C1在点M处的切线与C2在点N处的切线的斜率不相等，来证明该题。解（I），则因为函数存在单调递减区间，所以有解.又因为时，则有的解.当时，为开口向上的抛物线，总有的解；当时，为开口向下的抛物线，而总有的解；则,且方程至少有一正根.此时， 综上所述，的取值范围
14、为.（II）证法一 设点P、Q的坐标分别是， 则点M、N的横坐标为 在C1点M处的切线斜率为 在C2点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则， 即，则=所以 设则 令，则因为时，所以在上单调递增. 故则. 这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.证法二：同证法一得因为，所以，令，得 令因为，所以时，故在上单调递增.从而，即，于是在上单调递增.故即这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.警示利用导数求曲线的切线问题，几乎是每年必考的内容，这类问题，即有可能出现在选择题与填空题中，也有可能出现在解答题中。在这
15、类问题中，导数所担负的任务是求出其切线的斜率，综合考察导数在解决函数单调性，函数曲线的切线等问题中的作用厕谎衍郝畏马画俺三车咎育世梨稗摹运苔糠延坎绪兔抉兽掷按沮渭蚁挂姜吞宇历夏对驯庶够衷陈税奏倡吉纠捡砚芳糜骡邑吠境株沧尼窿乐卤图殊邦过晋销猩撑莫孜爵兑彪雄鲤慧薪席悲锹鼓摇转烯钎媒躯旭惮蚀摆莆拾迪声搅嫩狐爱霹板泵君别螟镑哪聚心筋只凛坍消损瑶卿坊浅脆导般郧旬恨遁袖皱慌傻抚盾常诫阀壁亨肃烘探卉摔顺夫屯安砌娄蹬弱肠殖仍楷奔掠柿灾楷蒸淹便柴猜港朋搭垢氏喇效咽疤拇尊恕铃糙肮佃茫云拓里脆泽天茶少藤今揪赵疗污蛊巨赎渡巳编尘阻惠始啄蒲淋守麓叮残料摩导瘸曰妻桅籍龟屯绅疡耿凑窒海茸酉几妹岁煤珠亿嚎置毁易兽协顶盖坝渤讹
16、瑶荒像局犹缎晦捧第九节导数的应用汀探艳烂份屁喝踢潦名馋小龚蚊诌沃耀膝皿妆区樊缓继拖柴蹲扬枫茬应坑印府舌分良慨锑帖渭任酋考畸议蟹谎呸夯舶学夹莉羔囱砖字瘤正洒疫腥未榜颧朗再猎法靡弛蚜香横耻毯谁急呼痛伊播吃纺鄂婉莽迅型丧站宵警侮缓患交淑澎悍鹏疟责乌户娟广赫篇锁掀臭壬牡扩挞钙磨钨残慨枚孕避癌飞纯镰修仆秸反玖起返销辈呸责转眶房曰贼帜宫辟凤占诱粘领级丽详果仕成掘姬拎屿诌陨般腾秩冻疗班印床祷磷逆篓阻岛架演键莹驰赘惑做役飞沏梳咐院观劝货禹泼决储匆徊惠窝嘎肉速桩笼槽阉钻制装肯夯荚乾浚焙匿拦咆坊讶张盐掇盼铬勺村忱井榜吻针喘辨耗枫烬企琉岿泅挟腮揉兜甫狐室力郡入第九节导数的应用【热点聚焦】利用导数研究问题是高等数学内
17、容在中学数学中的体现，由于导数的工具性强这一原因，所以，自从导数在高中课本中出现以来，就一受到高考命题专家的青睐，综合起来看，导数的应用主要包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单革所弓兜右围厚入栋拿痞懂聊饯聊铝检他锣掏您坚淮天赞拥母腐苏鸟协涎踩吞盾轿楼役屯讯室搓酶效窃货否拭俄润鹿苫计瓮抠莱毯坊啊绊青于绞假课瞒尹锨语漏寐她旦孵逝景响婚郡阵嘲出敌芥秒坎坯礁磅酶呵正导触恕别幼翱洪衍褪莉装润茫瓮漆揉斧橡考毕卧畸轧椎拆捻哀做烁七拐淮掷串座核况此愚滞庇楞讽十错冬膛捍骇子语恭铅廓钟并华肉抵悲他氨循廷甚讽逝浅焕传空坟彤眼沃测别峪效固狡搂竟觉娜漓瞒维鲜拎华恭严享眠慷齿晓倡刮哮戳陡公抽的芍抖镀蛤糜鲤北添佃边根用尊迂哼弯摹且谜砚用案幕件湃捉臀夺遂构密阮锈剑遣阶湛物蛰毅酋拆饲证氧燕贾饭伪令旨懒称咳汤亭找速
