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1、习 题 六（A）1根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性（1） （2）（3） （3）解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确（2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在范围内对称，所以是正确的（3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确（4）原式等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在范围内关于轴对称，所以等式两边相等2不计算积分，比较下列积分值的大小（1）与 （2）与（2）与 （4）与解：（1）由定积分的比较性可知在范围内，所以前者大于后者（2）由定积分的比较性
2、可知在范围内，所以前者小于后者（3）由定积分的比较性可知在范围内，所以前者小于后者（4）由定积分的比较性可知在范围，所以前者小于后者3用定积分性质估计下列积分值（1） （2） （3） （4）解：（1）因为在范围内的最大值为1，最小值为所以由定积分的估值定理可知：（2）因为在的最大值为2，最小值为1。所以由定积分的估值定理可知： （3）设则令则解得：所以在上单调递增所以在的最小值为0，最大值是所以由定积分的估值定理可知：（4）由图中易知：其中，即：亦得到：，从中由定积分性质有：yx1BCDA0x4利用定积分的几何意义计算下列积分（1） （2）解：（1）该定积分的几何意义是以原点为圆心为半径的一个
3、圆面积的一半，且在x轴的上方所以原式（2）该定积分的几何意义是以为圆心，以1为半径的一个圆面积的一半且在x轴的上方所以原式 5求下列函数的导数（1） （2）（3） （4）解：（1）设则（2）设则（3）设则（4）设则6求下列极限（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9）解：（1）（2） （3） （4） （5）洛必达法则（6）（7）（8）（9）洛必达法则7设在上连续，且求证：（1）； （2）在内有且仅有一个实根解：证明：（1）设又因为（2）因为上单调增加，又因为又因为在区间上连续所以在区间内紧有一个实根8设为连续函数，且存在常数满足求及常数解：设则对等式两边求导，得：所以所以所
4、以9设，说明解： 即10用牛顿-莱布尼茨公式计算下列积分（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）（9） （10） （11） （12）（13） （14） （15） （16）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）11设，问取何值时，取极大值或极小值解：设 则 所以 因为在，上大于0，在内小于0 所以在上单调递增，在内单调递增 所以当时，取极大值，时，取极小值。12设比较的大小解： 13用换元积分法计算下列各定积分（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11） （12
5、）（13） （14）解：（1）（2）令则，时；，时（3）= （4） （5） （6） （7）令，则积分区域为到（）令（9）（10）令则（11）令,则积分上下限变为与1.令积分上下限为:（12）（13）令则（14）令14用分部积分法计算下列各定积分（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11） （12）（13） （14）解：（1） （2） （3）= （4） （5） （6） （7）（8）（9） （10） （11） （12）（13）（14）15利用函数奇偶性计算下列积分（1） （2） （3）解：（1）设则 所以为奇函数 因为）在（-3，3）上连续且为奇函数，所以原
6、式等于0；（2）设 所以为奇函数且在（-1，1）上连续。所以原式等于0；（3）设因为所以为偶函数。16求，其中是到离它最近的整数的距离解：17求，其中是不超过的最大整数，简称“取整”解： 18设函数，在上连续，且满足等式，求的极小值点解：令（C为常数）则 即：或当时当时当时取极小值。19求下列定积分（1） （2） （3）解：（1） （2）（3）20设，求解：21求下列无穷限积分（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22已知，求常数之值解：或23求下列瑕积分（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）解：（1
7、）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）24求由下列曲线和直线所围成的平面图形的面积（1）与； （2）与，；（3），； （4），；（5），与 （6），；（7）与，； （8），；（9），； （10），解：（1） （2） （3）令，则 （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 25求由抛物线及其在点和点处两条切线所围成图形的面积解：由抛物线及两点处的切线所围的图形如后图：yx0213-3处切线的斜率切线方程为：处切线的斜率切线方程为：则阴影部分面积26过原点作曲线的切线，求切线，轴及曲线所围平面图形的面积解：阴影部分如右图所示可求解直线方程为二曲线的交点为0lnx1xy从而面积
8、27.求过曲线上的点的法线与轴及曲线所围平面图形的面积.解：可求得法线方程为：与轴的交点为从而面积28设由抛物线、轴和直线所围图形的面积是仅由抛物线及直线所围图形面积的一半，求的值解：设，与抛物线的两个交点的轴坐标是，所以 又因为所以 图 6-29 解之得：29设，间取何值时，图6-29中阴影部分的面积与之和最大？何时最小？解：设 又因为 所以 所以在单调递减，在上单调递增。所以当时，最小。当时，时， 所以当时，最大。y0y=xy=lnxy=-ex+e2+1x30求由抛物线和与抛物线相切于的切线及轴所围图形的面积解：设，则所以切于的切线斜率为由点斜式可知切线的方程为：31求由下列已知曲线围成的
9、平面图形绕指定的坐标轴旋转而成的旋转体体积（1），绕轴（2）与直线，分别绕轴和轴（3），绕轴（4），分别绕轴和轴（5），绕轴（6），绕轴（7），绕轴（8）,解：（1） （2）绕轴的体积因为所以绕轴的体积是以轴为中心轴，以为半径的，高为1的圆柱体的体积。是绕轴旋转得到的旋转体的体积。（3）是绕轴旋转得到的旋转体体积。是绕轴旋转得到的旋转体体积。所以（4）是以为半径1为高，以轴为中心轴的圆柱体的体积。是绕轴旋转得到的旋转体体积。 所以（5）（6）令得：,是绕轴所得的旋转体体积。是绕轴所得的旋转体体积。 所以（7）是绕轴旋转所得旋转体的体积 是圆心为球心以2为半径的球体的体积。 所以(8)解：，yx
10、01-1沿轴旋转后,体积32过曲线某点处作切线，使之与曲线及轴所围图形的面积为（1）求切点的坐标及过的切线方程；（2）求上述切线、曲线轴所围图形绕轴旋转成的旋转体体积解：设切点直线斜率直线方程：与轴交点为：由题设有：且有解得：从而A点坐标（1，1），切线方程为：与轴交点所求的旋转体体积x0y=x2A33求曲线，所围成的平面图形的面积，并求该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积解： 是半径为3，以轴为中心，以3为高的圆柱体的体积。是半径为1，以轴为中心，以4为高的圆柱体的体积。是绕轴（轴的下方）所得旋转体体积。是绕轴（轴的下方）所得旋转体体积。 同理得： 令则当时，时，时所以原式34已知一抛物线过
11、轴上两点，（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于轴与该抛物线所围图形的面积（2）计算上述两个平面图形绕轴旋转一周产生的两个旋转体体积之比解：如右图所示，即要证y01A2S13BxS2抛物线方程可表示为：从而只需满足下式左边右边证毕（2）旋转后则：可求得35过原点作曲线的切线，求由切线，曲线及轴所围平面图形，分别绕轴和轴旋转所得旋转体的体积解：所图图形如右所图所示：y=xy1y=lnxe10x绕轴旋转所得的体积为，则绕轴旋转所得的体积为则从而，36设直线与抛物线所围图形的面积为，它们与直线所围成的图形面积为（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴
12、旋转一周所得旋转体的体积解：对求得可的：可知当时导数为0，此时取最小值，此时1y=x2y=axxya037某公司投资2000万元建成一条生产线，投产后，在时刻的追加成本和增加收益分别为（百万元/年），（百万元/年），试确定该生产线在何时停产可获得最大利润？最大利润是多少？解：由极值存在的必要条件可解得故而是最佳终止时间，此利润万元38现购买一栋别墅价值380万元，若首付50万元，以后分期付款，每年付款数目相同，10年付清，年利率为6%，按连续复利计算，问每年应付款是多少？解：总计利息为万元=8039设某产品的边际成本（万元/台）其中表示产量，固定成本（万元），边际收益（万元/台），求：（1）总
13、成本函数和总收益函数；（2）获得最大利润时的产量；（3）从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化解：总成本函数为总收益函数由故而为极大值点，即获大利润的产量为台（3）此时万元再追加4台后，故一共下降了24万元。（）选择题（1）下列积分中可直接用牛顿莱布尼茨公式计算的是（） B C D（2）设是上的连续函数,则下列论断不正确的是（C）A是的一个原函数B是的一个原函数C是的一个原函数D在上可积（3）设是奇函数时，是的原函数，则（A）A当是奇函数时，必为偶函数B当是偶函数时，必为奇函数C当是周期函数时，必为周期函数D当是单调增函数时，必为单调增函数（4）设在区间上，则下列不等式成立的是（C）AB
14、CD5设在内为连续可导的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（B）A B C D6设函数在内连续，且在时可导，县，则下列结论正确的是（C）A不存在 B存在且C存在且 D存在且7设函数有连续的导数，且当时，与为同阶无穷的，则（D）A B2 C3 D48已知，则为（）A正常数 B负常数 C值为零 D非常数9设则，为（A）A正常数 B负常数 C值为零 D非常数解：1（1）AAB积分下限不在定义域之中C积分下限不在定义域之中D积分下限不在定义域之中（2）C是一个常数，不可能为的原函数。（3）A（4）C为减函数,凹函数（5）B令由（3）知则（6）C（7）D（8）B（9）A2设具有一阶连续导数，且，求解：3求
15、证方程，在内有且仅有两个不同的实根解：证明：令当时，当时，又当时得证4设可导，且，求解：5求极限解：6设连续,且；已知，求的值解：令 对上式求导得令则7设函数在上连续，单调不减且，试证函数在上连续且单调不减（其中）解：证明：又当时，连续在上连续8计算下列定积分（1） （2）（3） （4）解：（1）（2）（3）令（4）令9设在上连续，且，求解：令 10设，计算解：11设，求.解：12设连续函数满足条件求解：令原式可化为13计算下列积分（1） （2） （3）解：（1）由于 为奇函数（2）又（3）原积分14设，求常数，使最小解： 当时，即时，最小15设，求解：16求下列定积分（1） （2）解：（1）
16、令（2）令17已知，求解： 令18计算下列无穷限积分（1） （2）（3） （4）（5）解：（1）（2）令（3）令（4）（5）19计算下列瑕积分（1） （2） （3） （4）解：（1）令则（2）（3）（4）又20曲线和轴围成一个平面图形，求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积解：21在第一象限内求曲线上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积最小，并求此最小面积解：设切点直线最小，即最小 切点为22设抛物线过原点，当时，又已知该抛物线与轴及直线所围成的图形面积为，试确定，使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体积最小解：抛物线过原点，当时，旋转体体积最小23求曲线的一条切线，使该曲线
17、与切线直线，所围成的平面图形面积最小，并求此最小面积图形绕轴旋转一周所得旋转体体积解：设切点坐标为，切线方程为由题意知切线方程为最小面积体积24设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形，问为何值时，该图形绕轴旋转一周所得旋转体积最大？最大体积是多少？解：的坐标为过，两点直线的斜率为该直线为当时，所得体积最大为25直线将椭圆分成两部分，求直线下方那一部分的面积解：26已知曲线与曲线在点处有分切线，求（1）常数及切点；（2）两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体体积解：（1）切点为（2）27已知抛物线（其中）在第一象限内与直线相切，且抛物线与轴所围成的平面图形的面积为（1）问和
18、为何值时，达到最大值？（2）求出此最大值；（3）抛物线与轴所围图形绕轴旋转得旋转体的体积解：设切点为28设曲线（1）把曲线轴，轴和直线所围成的平面图形绕轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体积，并求满足的（2）求此曲线上的一点，使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积解：（）（）设该点的坐标为切线方程为当当29假设函数在上连续，在内可导，且，记证明在内解：证明：又如30设函数在上连续，且试证明：在内至少存在两个不同的使31设在上连续，在内可导，且满足证明至少存在一点，使得解：略32设函数在上连续，且，利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点，使解：证明：在上连续在上有最大值和最小值又由介值定理知，存在一点使
