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1、第七章 材料的光学性能在以前的章节中我们分别介绍了粒子波和弹性波的传播特性、与物质的相互作用规律以及它们在材料科学研究中的应用。本章我们从材料的光学性能入手，着重介绍微波、红外、X-射线和-射线等不同频率电磁波与材料的相互作用规律以及它们在材料研究中的应用。7-1光的基本性质和物理量光是人们熟悉的自然现象，也是物理学中发展较早的分支。历史上，对光物理本质的认识和争论延续了上百年。早期，以牛顿为代表的粒子说占主导地位，后来以惠更斯为代表的波动说逐渐取代了粒子说，随着麦克斯韦、赫兹等电磁波理论和实验的完善，光的波动说达到顶峰。进入二十世纪，普朗克的量子假说、爱因斯坦的光电效应和康普顿散射等又促使人
2、们重新认识光的粒子学说。直到德布罗意创立物质波学说和波恩提出了波粒二象性，光具有波、粒两重性质的思想才得到了学术界广泛承认。既然光具有波粒二象性，我们就应分别用电磁场理论和光量子理论来描述光学现象。对于光在介质中的传播问题，通常采用电磁波理论来解释和描述；对于光与物质的相互作用问题，应用光量子理论则更加方便。7-1-1光的波动性一、电磁波与光1、麦克斯韦方程组及物质方程实际上，在麦克斯韦方程组建立之前，人们对静态电磁场已有相当程度的认识。如静电场中的库仑定律、电场强度、电感通量及高斯定理；静磁场中的毕奥-萨法尔-拉普拉斯定律、安培环路定律、磁通量及磁场中的高斯定理等已为人们所熟悉。根据电流密度
3、 和电流强度 的定义，获得电荷守恒和连续性方程。并已了解静电场是有源（）无旋（）场，而静磁场是无源（）有旋（）场。当时人们认为，在导电介质中，静电场和静磁场可以同时存在从而构成静态电磁场；静电场形成的恒稳电流能激励产生静磁场，而静磁场仅是一种结果，并不影响原来的电场；静态情况下，电场量、与磁场量、是相互无关的物理量。麦克斯韦在对当时已有的电磁规律进行总结以后，试图将它们应用于电场和磁场随时间而变（时变电磁场）的情形或场合。根据法拉第的电磁感应定律，变化的磁场可以在闭合回路中产生感生电动势；另一方面，闭合回路中的感生电动势可以通过对电场强度沿回路的环积分获得，即，从而有 或 7-1-1将此情形下
4、由时变磁场引起的电场定义为涡旋电场,而此时因，该电场不同于以前的静电场，不再是无旋场。法拉第电磁感应定律揭示：时变磁场能够产生涡旋电场，表明此情形下磁场与电场具有内在联系。受此启发，麦克斯韦立刻联想到变化的电场能否产生涡旋磁场呢？为此麦克斯韦构筑了包含真空电容器在内的电回路，如图7-1-1所示。假如对于时变电场安培环路定律仍成立，则有 ，其中为真空磁导率。由矢量运算恒等式，有；但由电荷守恒的连续性方程 ，包围真空电容器极板的封闭曲面内电荷密度显然是随时间变 图7-1-1化的，即，因此原形式的安培环路定律在时变电场条件下不再成立了。为解决这一矛盾，麦克斯韦引入位移电流密度 ，以区别于导体中传导电
5、流密度，而全电流 。由于传导电流密度须满足连续性方程，即，只要保证，就有，从而保证安培环路定律在时变电场条件下仍然成立，安培环路定律经修正后的新形式为 或 7-1-2修正后的安培环路定律表明，通过引入位移电流，时变电场同样会产生涡旋磁场。实际上，脱离具体的电路，时变电磁场在空间（介质）中同样可以产生交互作用。此时，除了传导电流密度和位移电流密度，还有可能存在因介质极化和磁化而产生的极化电流密度和磁化电流密度。可以证明，电介质的极化电流密度，而磁介质的磁化电流密度。前者的物理本质是电极化过程中因极化电场的建立而对原电场产生扰动所带来的附加电流密度；后者的物理本质是磁化过程中因原子磁矩排列的有序化
6、而引起宏观电流密度的改变量。在电场强度不太大的线性极化范围，电极化强度 ；同样对于非铁磁性的线性磁介质，磁化强度（和为常数）。将上述极化电流密度和磁化电流密度的表达式带入7-1-2的微分表达式中，得到整理后，有 或 由此介质中的麦克斯韦方程组具有如下形式积分形式： 微分形式： 7-1-3a 7-1-3b 7-1-3c 7-1-3d相应的物质方程（或本构关系）： 7-1-4a 7-1-4b 7-1-4c麦克斯韦方程组和相应的物质方程揭示了电磁物理量在介质环境中的相互联系以及它们的时空分布和变化与介质特性之间的关系。因此，所有的电磁相互作用都可以归结为针对特定电磁环境（介质特性或物质方程）和给定初
7、始或边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题。物质方程是电磁相互作用在介质中传播以及与介质相互作用的纽带，介质的电磁特性不仅会影响其中电磁相互作用的传播和能量损耗，还能够影响对问题求解的难易程度和精度。介质的电磁特性包括导电、介电和磁化性质，还与介质的均匀性和非线性等有关。对材料科学而言，介质可以泛指任何材料，不同材料的电磁特性也不尽相同，分析材料的电磁特性以及它们对其中电磁运动的影响规律正是材料光学性能的重要研究内容。根据介质对其中电磁运动的影响规律和特征，尝试从以下三方面对介质的电磁特性进行分类和归纳总结。1）介质的电磁特性电磁运动的理想介质应该是对其中的电磁运动不产生任何形式的能量损耗，这只是
8、一种抽象的极限状态。实际介质中的电磁运动总会存在能量吸收或损耗，吸收或损耗的程度主要与介质的导电、介电或磁化性质有关，可以用复数形式的介质电导率、介电系数和磁导率来加以表征，其实部和虚部一般情况下均为频率的函数，实部与无损耗时该部分所代表的物理量意义相同；而虚部则是与电磁损耗有关的物理量。介质的导电性之所以会引起损耗是因为电磁运动过程中形成的涡旋电流能直接将电磁能转化为焦耳热，造成介质温升。此过程是不可逆的。导电损耗是介质引起的所有电磁损耗中最显著的部分，并且除了因趋肤效应而具有空间不均匀性以外，在很宽的频率范围内这种损耗几乎与频率大小无关。表7-1-1介质的极化和磁化也会引起电磁损耗，原因是
9、在时变电磁场中，介质会产生介电损耗和磁滞损耗。极化和磁化引起的电磁损耗通常远小于电导引起的损耗效果，当周期性时变电磁场的交变频率与介质的极化或磁化机制形成共振时，有可能产生异常的吸收或损耗峰，这正是材料因极化或磁化形成电磁吸收谱的原因。由此不难发现，极化和磁化引起的电磁损耗通常具有频率选择性。表7-1-1给出不同介质电磁特性的电磁损耗状况。2）介质电磁特性的空间均匀性介质的均匀性主要指材料电磁特性在空间的位置均匀性和方向均匀性，前者反映介质电磁特性是否是位置函数；而后者则指电磁特性随材料结构不同表现为各向同性或各向异性。介质电磁特性的位置均匀范围并无绝对的尺度，主要取决于均匀范围尺度与周期性电
10、磁变化波长的比较；介质的方向均匀性主要通过其电磁特性的表现形式反映在物质方程中，对它们归纳总结的结果列于表7-1-2。 表7-1-23）电磁特性的非线性通常情况下，介质的物质方程都具有7-1-4的形式，为简单的线性关系。但对某些特殊的介质（如铁电材料和铁磁材料）或介质处于某些特别的电磁环境（如超强电磁场和激光）条件下，介质的物质方程具有非线性形式 其中为极（或磁）化率张量形式。实际上，在超强的电场中，材料的电导率也同样存在非线性现象，材料的电导率也同样需采用张量表示。对于上述涉及非线性的电磁问题，必须采用相应的非线性电磁理论处理。2、电磁波动方程及其解的形式对微分形式的7-1-3a式两边同时进
11、行旋度运算，根据矢量运算性质，将微分形式7-1-3b式带入其中，得 7-1-5a对7-1-3b采用同样的处理，可以得到 7-1-5b7-1-5两式就是实际介质中电磁波的波动方程。 对于真空环境，电导率，同时极化强度和磁化强度，从而方程组中传导电流密度,相对介电系数和相对磁导率。上式退化为 或 7-1-6a 或 7-1-6b这就是真空环境中电磁波波动方程，其中为电磁波在真空中的传播速度，与光在真空中的传播速度相同。据此，麦克斯韦预言光是一种电磁波。对理想的电磁波（或光）传播介质，其电导率，传导电流密度项消失；，7-1-5式变为 或 7-1-7a 或 7-1-7b电磁波在理想介质中的传播速度。对上
12、述的波动方程进行求解，就可获得描述电磁波在相应无限大均匀介质中运动规律的波函数。描述电磁波在有限尺度均匀介质中运动规律的波函数不仅需满足波动方程，同时还需满足相应的电磁边界条件，这属于电磁波导问题。与介质中的弹性波类似，根据电磁波辐射源的形式和特点，同样可以将其分类为平面波、球面波和柱面波，其波函数的形式也不同。当然波函数的形式还与坐标系的选择有关。在远离电磁波辐射源的远场区，球面波也可以近似为平面波。同样，电磁波也可以划分为单一频率单频（色）波和多频率的复波，连续波和脉冲波。电磁波的传播速度也有相速度和群速度之分，其意义也与弹性波的类似。求解7-1-7式可以获得电磁波在无限大均匀理想介质中的
13、波函数 电场波： 或 7-1-8a 磁场波： 或 7-1-8b它代表的是正向传播的等幅平面波，并且与的相位相同，为波矢量，代表波的传播方向；波数。由于忽略电磁波在传播过程中的能 图7-1-2量损耗，其振幅并不随传播距离变化。当介质中无电磁辐射源时，对平面波，或 即与相互垂直，表明电场波是横波，的偏振方向可以在垂直于的平面上任意取向。对于简谐电场波（即时谐电场），由麦克斯韦方程，得，或，代表波矢的单位矢量；另一方面，表明与也相互垂直，磁场波也是横波。并且，表明、三个矢量相互垂直，呈右手螺旋关系，如图7-1-2所示。显然，电场波和磁场波不仅是横波，它们还具有偏振特性，表征振动位移矢量分布的对称性。
14、在平面内，如果电场矢量（或磁场矢量）的振动只限定在某一确定方向则称其为线偏振；若振动矢径端点的轨迹为椭圆和圆，则分别称其为椭圆和圆偏振；若振动矢量的方向是随机的，则称其为自然光。介质中电磁波的传播速度，从而在介质中有：；在真空中：。定义为真空中的波阻抗，表明真空中电场波的幅值远大于磁场波。介质中波阻抗，表征介质中电场强度与磁场强度的振幅比值。3、电磁边界条件根据7-1-4的物质方程，介质的电磁特性（如、和）决定了电磁波在其中传播的性质。当电磁波通过两种不同介质的光滑界面时，介质两侧电磁波的场矢量由这两种介质的电磁边界条件相互联系。实际上，电磁边界条件是麦克斯韦方程的直接推论，考虑到在两种介质的
15、界面，其电磁特性可能不连续，只能采用积分形式的麦克斯韦方程来推出电磁边界条件。1）通过界面的电场强度矢量和磁场强度矢量在电磁波通过的1、2两种介质的光滑界面上，构筑如图7-1-3所示的安培电流回路，两个长边平行于界面，分处其两侧紧邻界面的两种介质中；两个短边垂直穿过界面。根据麦克斯韦方程组7-1-3a的积分形式， 等式左端有 图7-1-3假设范围内磁感应强度矢量保持为常量，对等式右端有从而对界面两侧的电场强度有，或写成矢量形式即电磁波通过两种介质界面时，其电场强度矢量的切向分量连续。对磁场强度矢量，根据麦克斯韦方程组7-1-3b的积分形式，采用相似的分析和证明可以获得类似的结果，即界面两侧的磁
16、场强度矢量有，或写成矢量形式，为界面上传导电流的线密度。2）通过界面的电位移矢量和磁感应强度矢量在电磁波通过的1、2两种介质的光滑界面上，构筑如图7-1-4所示的高斯圆柱状封闭面，上、下底面平行于界面，分处其两侧紧邻界面的两种介质中；侧壁圆柱面高度，侧面积为。根据麦克斯韦方程组7-1-3c的积分形式，并假设范围内保持为常量。等式左端有等式右端等式两边同除，并令，得，或者写成矢量形式，其中为表面自由电荷的面密度，为高 图7-1-4斯面所包围自由电荷的电量。对于电磁感应强度矢量，根据麦克斯韦方程组7-1-3d的积分形式，采用相似的分析和证明可以获得类似结果，即界面两侧的磁感应强度矢量有或者写成积分
17、形式，即电磁波通过两种介质界面时，其磁感应强度矢量的法向分量连续。对上述电磁边界条件总结如下：电场强度 或 7-1-9a磁场强度 或 7-1-9b电位移矢量 或 7-1-9c磁感应强度矢量 或 7-1-9d上述电磁边界条件对各种电磁特性的介质是普遍适用的。 3）介质特性与电磁边界条件 实际上，介质的电磁特性会使其电磁边界条件不同程度的改变。对于理想导体，如超导介质，即便是处于时变电磁场中，其内部也是零电场（，）和完全抗磁的（和）。因此，理想导体的电磁边界条件变成为 ； ； ； 7-1-10 对于理想的无损耗电介质，其电导率，即其内部无自由电荷，因此在介质的表面必然有和。对于有损耗的介质，甚至包
18、括普通的金属导体材料，其电导率，但只要不是电导率趋于无穷大的理想导体或超导体，其电流只能存在于介质的内部，即体电流，他们的各种表面电流密度仍然为零。对于这类介质或材料，他们的电磁边界条件全部为 ； ； ； 7-1-11即通过两种介质的交界面时，电磁波的电场强度矢量切向分量、磁场强度矢量的切向分量、电位移矢量的法向分量和磁感应强度矢量的法向分量全部保持连续。4、电磁波的能量根据物理学的观点，场是一种特殊的物质，它本身具有能量。静电场的能量密度（单位体积的能量）可以表示为，而恒稳磁场的能量密度可以表示为。电磁波是时变电磁场的传播过程，因此电磁波的能量密度就是其携带的电能和磁能密度之和，即 7-1-
19、12对于简单的线性介质，其物质方程为和；而对于单色平面简谐波，有。因此，对线性介质中的平面简谐波，其能量密度为，该式代表电磁波能量密度的瞬时值。能量密度的平均值为 7-1-13在电磁波传播的介质或空间中截取任意形状的体积，其表面积为。无论该体积中是否包含电荷、电流或者电源，其电磁能随时间的变化率为对于线性介质，上式可写作根据麦克斯韦方程，由矢量运算公式，有 7-1-14对场源而言，在有非静电力的情形下，欧姆定律的微分形式为或，而。假设积分体积，则7-1-14式等号左端第二项的积分为其中为流经该体积的电阻，为其中的电流强度，则代表场源的电动势。该积分的结果为，其中第一项代表积分体积单位时间释放的
20、焦耳热，而第二项代表场源单位时间所做的功（即功率）。上述分析不仅只适于特别的积分域，而是具有一般性，即该积分均可表示为对于7-1-14式等号左端第一项的面积分，引入一个新的矢量，称为坡印廷矢量，7-1-14的积分式可以改写成它表明体积内单位时间场源所作的功减去其中单位时间所产生的焦耳热和坡印廷矢量对该体积表面的面积分等于单位时间内体积中电磁能量的变化。根据能量守恒定律，坡印廷矢量的面积分代表单位时间内从体积的表面流出的电磁能，或称其为电磁能流。坡印廷矢量则是电磁能流密度，代表单位时间流经与之垂直的单位面积的电磁能量。对线性介质中的单色平面简谐波，坡印廷矢量表达式为 7-1-15表明对无限大均匀
21、线性介质，单色平面简谐波坡印廷矢量的量值或能流密度等于其能量密度与相速度的乘积，坡印廷矢量的方向为波矢量的方向。7-1-15式代表能流密度的瞬时值，其平均值为。在光学中，常将平均能流密度称作光强，即，单位：，为功率密度量纲。实际上电磁场不仅具有能量，它还具有动量，对线性介质中的单色平面简谐波，其动量密度。因此，当电磁波入射到介质表面是会产生所谓的光压。5、电磁波谱自1888年，赫兹通过电磁振荡实验产生并检验到电磁波，之后的一系列实验不仅证明可见光是一种电磁波，而且陆续发现多种其它形式的电磁波，如微波、红外线、-射线和-射线等。实际上电磁波具有极宽的频率或波长范围，其频谱如图7-1-5所示。不同
22、形式的电磁正式根据其频率或波长划分的，他们的特性也是因其频率或波长不同而呈现的差异，其物理本质是相同的。图7-1-5根据不同形式电磁波的特性，其有不同的应用范围。除了通讯、自动控制和能量传输等领域，材料科学中涉及的电磁波主要限于微波以上频段。其中，可见光频段的各种光谱分析；微波和红外线因为热效应显著和对温度敏感，在材料改性的能量注入和材料研究的温度场测试中应用较多； -射线和-射线因其波长短，能量高，穿透力强等特点，在材料的结构衍射，物相和成分分析，内部缺陷探测和超精细结构分析等方面应用广泛。当然，作为不同形式电磁波传播介质，各频段电磁波的特性均与其相关的材料研究有关。二、电磁波在介质中的传播
23、特性（一）电磁波在各向同性均匀理想介质中的传播1、平面波的传播特性对于在各向同性、尺寸无限大的均匀理想介质中传播的简谐平面电磁波，其波函数为7-1-8式的形式，此情形下，电场波矢、磁场波矢和波矢（波的传播方向或等相位面法向）三者相互垂直，呈右手螺旋关系，如图7-1-2所示；，或；，波矢；真空中光速，介质中光速，介质的折射率，为真空中波矢。考虑到、均为实变量，、也均为实变量，并且，因此。平面波等相位面方程为，对于单色的平面波，其传播速度等于其相速度，代表其等相位面的传播速度；若平面波是由多频率构成的复波，其传播速度为群速度，它是波包的相速度。实际测量的电磁波速度是其群速度，它代表波的能流速度，即
24、。2、界面的反射、折射或透射1）反射、折射定律的矢量形式如图7-1-6，折射率分别为和两种介质的交界面为平面，电磁波由进入介质，入射面为，入射波：反射波：折射波： 图7-1-6由电磁边界条件，有为使上式在平面上对任意的，均成立，必须有，从而得到矢量形式的、反射定律： 7-1-16折射定律： 7-1-17上述反射、折射定律的图示方法如图7-1-7，从图中不难看出，矢量和均垂直于交界面。由，或者，得到通常的反射定律；由，或，得到斯涅耳折射定律另外，本图例中两种介质的折射率为， 如果两种介质的搭配为，即电磁波由 波密介质射入波疏介质，当入射角 图7-1-7 或 时，将会发生全发射现象。反射、折射定律
25、仅给出电磁波在界面反射、折射过程中波矢的变化与介质特性之间的关系，其中并未涉及具体电场波或磁场波的反射和折射特性。2）菲涅耳公式电磁波是由电场波和磁场波构成的，不失为一般性，考虑空间任意方向线偏振的电场矢量，可以将其分解为垂直于入射面的和平行于入射面的两个分量，对与该电场矢量同相位的磁场矢量也分解为和，它们的空间位向如图7-1-8所示。当然，对空间分布的非线偏振电场和磁场波也可做同样的处理。电磁波由折射率为的介质射向的介质，两种介质的界面为，入射面为。根据界面的电磁边界条件，电场和磁场矢量的切向分量应分别连续，即满足和。图中，平行于界面，本身即为入射波的一图7-1-8个界面切向分量，而入射波的
26、另一个界面切向分量应为。对于入射的磁场波作同样的分析，并且，该式对矢量的分量形式同样适用，即，平行界面，是的一个界面切向分量，另一个切向分两为。将上述和的切向分量分别代入电磁边界条件，并注意到在介质1中有入射波和反射波，而在介质2中只有折射或透射波，获得以下四个方程 7-1-18a 7-1-18b 7-1-18c 7-1-18d由，以及对非铁磁性介质 ，；通过上述方程组求解、和，获得电磁波反射系数、透射系数和强度反射率。 7-1-19a 7-1-19b和 7-1-19c 7-1-19d 7-1-19e菲涅耳公式揭示了入射波经反射、折射（或透射）后波的幅值、能量通量和相位等随入射角和介质特性（）
27、的变化规律，如图7-1-9所示，图中的曲线分为实线和虚线两种，分别代表（电磁波由光疏介质到光密介质）和（电磁波由光疏介质到光密介质）的情况，分析如下： 图7-1-9的情况相对比较简单，图中用实曲线分别表示此情形下电磁波电场矢量的和分量的反射系数、透射系数、反射率和相位跃变随入射角的变化规律，它们是菲涅耳公式的直接结果。分析公式7-1-19b式发现，当入射角满足，并且或时，由于此时， 导致，意味以入射时反射波中无分量，即反射波为偏振波。被称为布儒斯特角，结合折射定律，不难获得 7-1-20另外，入射角在范围内和在范围内，意味此范围内这两个分量的反射波与其入射波相位相反（或相位差为），这种未经时空
28、变化的传播而产生的相位改变被称为相位跃变，此处为相位跃变或半波损失。通常入射角的情形被称为正入射，而的情形则被称为掠入射。的情况相对复杂，此时，折射角总是大于入射角，当时，该入射角被称为全反射的临界角。临界角的存在将入射角区间划分为两部分，时，上述的、和等参数的曲线除了位向和角度范围有所改变外，其形状与的情况基本类似。该情形下，菲涅耳公式仍适用，分析方法同前，同样存在布儒斯特角，由于， 恒小于临界角。不同之处是，由于曲线相位改变，相位跃变情况会有所变化；另外，此时透射系数，仅表示透射波幅值高于入射波幅值，而能量通量的大小还与介质折射率比值和波束横截面积有关。当入射角时，相应的角度只能用复变量表
29、示，上述讨论的反射、透射系数也必须扩展到复数范围，以确保折射定律和菲涅耳公式在形式上仍然适用。复数反射、透射系数分别记为和，它们的模值和分别代表相应实数物理量的绝对值，而他们的辐角则代表入射波反射和透射后的相位跃变，这样的物理意义已得到实验验证。此时尽管折射角是一个复变量，但其正弦函数却具有实数值，根据折射定律，由此有，为纯实数， 从而为纯虚数。将带入菲涅耳公式，得到复数形式的菲涅耳公式 7-1-21a 7-1-21b 7-1-21c 7-1-21d 7-1-21e分析复反射系数的表达式发现，两式的分子与分母均为共轭关系，因此它们模值，表明电磁波和分量的反射波与各自的入射波幅值相等。同时，表明
30、入射波的能量被全部反射回到第介质中。它们的辐角 7-1-22a 7-1-22b表明全反射时反射波的相位差不再是简单地等于或的“跃变”形式，而是与入射角和介质特性有关的连续变化。对和的表达式进行类似的分析，可以获得它们的模值和辐角，发现它们也均是入射角和介质特性的函数，并且在范围内，随入射角的增加，和由正值逐渐降至，辐角和也不是等于的常数，表明除了掠入射，全反射时仍有透射波进入第介质，而且相对于入射波，透射波存在一定的相位变化。这样的分析结果似乎与全反射时入射波能量被全部反射回到第介质中的结论相矛盾，原因是全反射时产生的透射波其性能比较特殊。3）全反射时的透射波倏逝波当电磁波在两种介质的交界面发
31、生全反射时，其折射角大于，通过在菲涅尔公式中引入复折射角，获得复反射率、透射率的模值和辐角，发现此时透射系数不为而反射系数却等于，这表明透射波的幅值不为，但入射波的能量全部被反射回到第介质中，对这种奇特现象的合理解释是全反射时有透射波进入第介质，但它仅存在于该介质入射面的浅表层，即透射波是一种表面波。参考图7-1-7，根据折、反射定律 和，得到 为实数，当发生全反射时，或，其中为实数，为纯虚数，透射波波矢量为一个复数。设此时透射波仍具有平面波的函数形式，则，它代表一种沿表面方向传播的等幅平面行波，其幅值随透入深度增加而减小，因此指数相中的正负号只能取负值，即，这种透射波被称为倏逝波或表面波。倏
32、逝波的透入深度为波幅值降至原值量值时的深度值，即倏逝波的相速度，全反射时，因此，它又被称为慢波。倏逝波是一种非均匀波，其等相位面法向与等幅面法向不重合，倏逝波已不是横波。全反射时，既然在第介质中存在倏逝波，其入射表面必然有能流通过，可以证明，在介质中，坡印廷矢量（代表能流密度）的分量无论瞬时值还是平均值均不为，表明倏逝波传播方向存在能流；分量的瞬时值不为，而其时空的平均值却恒等于，这就是全反射时复反射系数模值会等于的原因。（二）电磁波在金属或有损耗介质中的传播1、金属或有损介质中的平面电磁波当电磁波在金属或有损耗介质中传播时，由于介质的电导率，其中会产生传导电流，进而增加电磁波的传播损耗。为了
33、描述电磁波传播过程的损耗特性，根据麦克斯韦方程组7-1-3b，对平面简谐波有其中是引入复介电常数。考虑到复数电磁参量的引入不改变原有电磁参量运算公式的形式，复介电常数的引入相当于同时引入了复波速；复折射率 和复波数 。此处未计磁化损耗，为实数，。对于复折射率，可以写成另一种形式或，显然有令等式两边的实部和虚部分别相等，得 和 即为传统的折射率，为消光系数。求解该方程组，获得 7-1-23a 7-1-23b对于非铁磁性介质，上式分别简化为 和 如果令表征电磁波传播介质的导电程度，则代表良导体，此时，即折射率和消光系数不仅与电导有关，还与波的频率有关，并且消光系数本身还与折射率有关；代表不良导体，
34、此时折射率和消光系数趋于传统值。同理，对于复波数或复波矢量，也可以写成另一种形式，与上述过程做同样的分析，得到，令等式两边的实部和虚部分别相等，得到一对方程，求解和。 7-1-24a 7-1-24b比较7-1-23式，有和。将带入平面波函数，得 7-1-25由于存在电磁损耗，金属中电磁波的振幅随传播距离的增加而不断衰减，衰减的快慢程度取决于复波矢虚部矢量的模值，复波矢虚部矢量的方向电磁波等幅面的法向；复波矢实部矢量的方向代表电磁波等相位面的法向或行波的传播方向。通常情况下，与的方向并不一致，因此金属中的透射波是非均匀波。行波的等相位面方程，其相速度。透射波的实折射角，代表透射波真正的偏折方向。
35、当金属中透射波的幅值衰减至原值的时所对应的传播距离被定义为透入深度，。设电磁波由空气射入金属材料，金属表面为，波的入射面为。由于空气中的入射波矢为实矢量，无虚部，根据折射定律，有，从而或垂直于界面（为入射面，不考虑分量）；为或的实部矢量，它遵循折射定律，有，由此可见与并不相同，波的等幅面与等相面不重合。在对于良导体，故此处是空气中入射波矢的模值，由，必有。由的条件和7-1-24式，有，因此，这意味着此时无论入射角如何，矢量总是近乎垂直于界面或行波的折射角较小。透射波的相速度，与频率有关，这就是色散。现在分析良导体中电磁波的电场与磁场的关系，由公式和，得，为的单位矢量。将替换为复波矢，并考虑到此
36、时由7-1-24式，有，则可见此时电场波比磁场波滞后相位；而且由，得。为电磁波的波阻抗，以前曾计算过，真空中电磁波波阻抗，而介质中的波阻抗，设，因此有，这意味在良导体中磁场波的作用可以远大于电场波。对于导体，麦克斯韦方程中的传导电流密度，意味其中有自由电荷运动，设其体密度为，则。实际上材料的电导率越高，其越低，自由电荷都跑到表面了，由连续性方程，有，求解后得到。降至所需的时间是体内电荷体密度消失的弛豫时间，显然，只要电磁波的频率满足 ，导体内就存在自由电荷，就是良导体。对于大多数的金属材料，其值在量级，只要，均属良导体。2、电磁波在金属表面的折射和反射电磁波在金属或有损耗介质中的折射仍可写成传
37、统折射定律的形式，但此时应采用复折射率替换原来折射率，相应的折射角也是一个复数，记为，它不再具有原来折射角的物理意义，而真正有实数意义的折射角是透射波复波矢中实部矢量与界面法线的夹角。设波长为（或频率为）的入射波由真空以入射角射向金属，交界面为，入射面为，根据复数形式的折射定律有 ，相应复波速。或写成 7-1-26 7-1-27 7-1-28此时有复波矢分量形式表示的透射波波函数为 7-1-29和均为复数，令， 7-1-30将其平方后与7-1-28式平方后的结果比较，得到 7-1-31 7-1-32从中可以解出复数的模值和辐角的量值，因求解繁琐，此处权且认为它们已是已知量。将7-1-2628和
38、30式带入7-1-29式，有 7-1-33这是一个振幅沿方向不断衰减的方向的行波，与7-1-25式用复波矢表示透射波函数应该是等效，这提示我们通过上述分析亦可获取和的各分量值。该透射波在某时刻的等相位面方程为 7-1-34前面说过，对具有复波矢的透射波，其真正有物理意义的折射角应该是其等相位面法线矢量或其行波波矢（）与界面法线的夹角，设其为，该形式波矢某时刻的等相位面方程为 7-1-35二者比较，有 7-1-36 7-1-37其中为两个常数的比例系数，两式平方后相加，即可求得常数， 7-1-38可见才是真正代表透射波偏折方向的折射角，有物理意义的折射定律为 7-1-39该折射角是入射角的函数，
39、还与折射率和消光系数有关,这是金属与普通介质在折射时的根本差异，并且由7-1-33式的行波项得到金属中的实波速 7-1-40由7-1-33式的振幅衰减项得到金属中的实消光系数 7-1-41最后将由7-1-31和32两式求解的和值代入7-1-3841中，有 7-1-42 当电磁波在金属或有损耗介质中发生折射时，这些原来的常数现在都变成了入射角的函数，只有当入射角时，它们才分别回归为常数和，因此和分别被称为主折射率和主消光系数。由于材料的折射率与其介电常数有关，因此电磁波的频率对折射率影响较大，给出折射率数据时通常需注明测试时所用的频率或波长，图7-1-10是几种金属的折射率随入射角的变化曲线，图
40、7-1-11则是一些无机固体折射率随入射波长的变化规律。对于的良导体，根据7-1-23式，有；再由7-1-42式，有和，二者几乎不随入射角变化，透射波近似垂直于界面，等相面与等幅面接近重合，如图7-1-10所示，这与以前讨论的结果相同。图7-1 -10 图7-1-11通常情况下，折射率是大于的常数，但是当介质的介电常数和磁导率同时小于时，其折射率会变为负值，这可以通过人工制作特殊结构的复合材料来实现，近年来引起人们浓厚兴趣的所谓“左手”光学材料即是如此，因其具有许多反常规的光学特性而倍受关注。 图7-1-12关于金属对电磁波的反射,仍可以利用形式上的折、反射定律和菲涅尔公式对其反射系数、反射率
41、和反射前后波的相位跃变规律进行分析，但其中金属介质的折射率和折射角均应替换为复数的折射率和折射角，得到的反射系数也为复数，即 和 反射率和。令其中，利用和折射定律代入其中，可以求解出和，再将它们代入上述复数形式的菲涅尔公式解得复反射系数的模值和辐角。同样，反射系数的模值代表反射波与入射波振幅的比值，辐角则代表二者相位的跃变。分析结果表明，此时无论还是其都是入射波入射角的函数，其反射率和相位跃变的变化规律如图7-1-13所示。将该图与图7-1-9比较可以看出，金属的反射率和相位跃变曲线的形状与介质的相似，不同之处有：金属反射率的量值远大于普通介质。对良导体，有，反射率。存在一个特殊的入射角，当入射角 时，其波反射率有最小值，且波与波的相位差,该入射角称为主 图7-1-13入射角,它相当于布儒斯特角，差别仅在于金属的。由于金属的反射系数中包含复数的折射率，反射系数的模值和辐角不仅随入射角变化，同时还与金属的折射率和消光系数有关。由于金属的反射系数通常比较大，透射系数（）会很小，并且在金属的表层被很快吸收掉，因此通常不讨论金属的透射系数。3、电磁波的色散和吸收真空中，电磁波的传播速度，为常数；而介质中电磁波的传播速度。对于金属或有损耗介质，其中电磁波的传播速度
