[理学]经管学类线性代数练习册及答案.doc

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1、线性代数练习册 班级： 学号： 姓名：习题1-1 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换1.用消元法求解线性方程组 ：（1） （2） 2. 将下列矩阵化成最简形矩阵：（1） （2） （3） （4） 5）第一章 复习题1.选择题（1） 线性方程组 解的情况是（ ）A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解（2） 若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组无A B0 C1 D2（3）线性方程组满足结论（）(A) 有惟一解 (B) 有解(C) 有无穷多解 (D) 无解2. 解线性方程组 3.将下列矩阵化成最简形矩阵：（1）（2）(3) (4) 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名：

2、习题2-1 n阶行列式的定义一 填空题1 排列5317246的逆序数是，为排列2 排列n（n-1）（n-2）。321的逆序数为3 四阶行列式中项应带号4 五阶行列式中项应带号5 的代数余子式应表示为6 = 7 = 二利用定义计算下列行列式的值1 23已知4 . 5 习题2-2 行列式的性质（一）一 利用行列式的性质计算下列各题1 2 3 567 二 证明 习题2-2 行列式的性质（2）一 试将下列式化为三角形行列式求值1 3 二 计算下列行列式12计算n阶行列式3 4 习题2-3 Cramer 法则一 利用Cramer 法则解下列方程组1 2 3 如果齐次线性方程组有非零解, k应取什么值?4

3、 问, 取何值时, 齐次线性方程有非零解? 第二章 复习题一 选择题1 2 3 下列n阶行列式的值必为零的是 行列式主对角线的元素全为零 三角形行列式主对角线有一个元素为零 行列式零元素的个数多于n个 行列式非零元素的个数小于n个 4如果5二填空题12 若为五阶行列式中带正号的一项，则 3若均为整数，而45，三.计算下列行列式7 8 三 证明题1证明2. 证明3. 当为奇数时，证明D=0.4 证明n阶行列式习题3-1 矩阵的概念及运算一设矩阵， ，求。二计算下列矩阵的乘积1 23. 4. 5 6 三填空1两矩阵即可以相加又可以相乘的条件是_2若为同阶方阵，则的充分必要条件是 四设矩阵，讨论下列

4、哪些矩阵运算有意义：（1） （2） （3） （4） 五设均为阶方阵，且，证明：的充分必要条件是六某单位准备建一电脑机房，需要购买指定型号的计算机30台，激光打印机5台，电脑桌椅20套，已问得三家公司的报价：计算机（元/台）打印机（元/台）电脑桌椅（元/台）甲60003500420乙58004000500丙59003800450如果决定只在一家选购，应选哪家？习题3-2 特殊矩阵 方阵乘积的行列式一.选择题（1）对任意阶方阵总有（ ）A. B. C. D. （2）设是两个阶方阵，若则必有（ ）A且B或C且D或（3）设均为阶方阵，则必有（）ABCD（4）下列结论中，不正确的是 （ ）(A)设为阶矩

5、阵，则(B)设均为矩阵，则(C)设均为阶矩阵，且满足，则(D)设均为阶矩阵，且满足，则（5）设，则（ ） (A)32 (B)32 (C)10 (D)-10二.设，.求（1）；（2）.三设是31矩阵，是的转置，若,求。四（1）设为同阶对称矩阵，证明也为对称矩阵.（2）设是实对称矩阵，且，证明:习题3-3 逆矩阵一填空题（1）矩阵的伴随矩阵_.（2）设三阶方阵的行列式，则的伴随矩阵的行列式_。（3）若都是方阵，且，则_。（4）设是4阶方阵，则_。（5）已知，且，则_。（6）若，且不是单位阵，则_（7）设矩阵，则（）（8）设，为三阶非零矩阵，且,则 二选择题（1）设阶方阵满足，则必有（）ABCD（2

6、）设为阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（）ABCD（3）设，均为阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（）A. B. C. D. 三计算题（1）设是三阶方阵，且求.（2）设， ，矩阵满足方程，求.（3）已知矩阵满足，其中， ， ，求矩阵.（4）已知三阶方阵的逆矩阵为，试求伴随矩阵的逆矩阵。（5）设且，求四证明题（1）设方阵满足，证明可逆，并求其逆阵。（2）设是阶方阵，证明（3）若对称矩阵为非奇异矩阵，则也是对称矩阵.（4）已知，证明：可逆，且。（5）设是阶非零矩阵，是其伴随矩阵，且满足，证明可逆。习题3-4 分块矩阵 一填空题（1）设3阶矩阶且，则_.（2）设行矩阵，,且，则_.（3）若，则_（4）

7、设3阶方阵按列分块为（其中是的第列），且，又设，则 （5）设为阶矩阵，为阶矩阵，且，若，则_ 二计算题（1）设，且,求，和矩阵。（2）设为阶矩阵，分别为对应的伴随矩阵，分块矩阵,求的伴随矩阵。（3）设是阶可逆矩阵，是矩阵，且，用分块矩阵的乘法，求一个矩阵，使得习题3-5 初等矩阵1设，将A表示成3个初等矩阵的乘积。2设，且，求。3设为阶方阵，满足，若，求矩阵。4 设矩阵。矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵。5 已知，其中，求矩阵。 习题3-6 矩阵的秩一填空题（1）设矩阵，且，为的一个阶子式，则_.（2）设矩阵，其中则_.（3）矩阵的秩等于_.（4）设3阶方阵的秩为2，矩阵，若矩阵，则 .（5

8、） 已知，且其秩为2，则_二选择题（1）设是阶阵，且，则由( )可得出.A. B. C. D. 为任意阶矩阵（2）设为34矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（ ）A1B2C3D4（3）已知有一个阶子式不等于零，则 ( )A. B. C. D. 三计算题（1）设矩阵，求矩阵的秩。（2）设矩阵的秩为2，求.（3）若，为使矩阵的秩有最小秩，则应为何值？（4）已知矩阵， ，求的值.四设为阶矩阵， ，求。第三章 复习题一选择题（1）设是阶方阵，是矩阵，则下列矩阵运算中正确的是( )A. B. C. D. （2）设矩阵，中，则有（ ）A.B. C.D. （3）设阶方阵，且，则 ( ).A. B. C.

9、D. （4）设，均为阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（）A. B. C. D. （5）设是方阵，如有矩阵关系式，则必有（ ） A. B. 时 C. 时D. 时（6）设，则（）AB CD（7）设矩阵的秩为2，则（ ）A.2B.1C.0D.-1（8）设均为3阶矩阵，若可逆， ，那么（）A0B1C2D3二填空题（1）设，为三阶非零矩阵，且。则 （2）设均为3阶方阵，且，则 .（3）设，则 .（4）设，为的伴随矩阵，则_.（5）设为阶方阵，且，则 (6)，则_三计算题(1)设矩阵其中，, .为的伴随矩阵.计算 (2)，求（3）设矩阵，求矩阵使其满足矩阵方程.（4）设矩阵，求矩阵方程的解.（5）试求矩

10、阵方程中的未知矩阵。（6）已知,其中,求及四阶方阵满足，其中给定，证明可逆，并求其逆矩阵。练习4-1 线性方程组有解的条件1若方程组有非零解，则方程组必（ ） （）有唯一解； （）不是唯一解； （）有无穷多解； （）无穷多解2线性方程组只有零解，则（ ）.A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解3.设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ ）A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定4非齐次线性方程有无穷多解的充要条件是（ ），其中A B秩C秩（A）=秩 D秩（A）=秩5.设线性方程组AX=b中，若R(A, b) = 4，R(A) = 3，则该线性方程组（ ） A有唯一

11、解 B无解 C有非零解 D有无穷多解6.若线性方程组有非零解，则7.设，且非齐次方程组有唯一解向量，则增广矩阵的秩_.8.已知的逆矩阵，那么方程组的解9.取什么值时，线性方程组有解？有解时，何时有唯一解？何时有无穷个解？10.已知线性方程组，为何值时，方程组有解；有解时，求出通解11. 已知齐次线性方程组( i ) 和( ii ) 同解，求a，b，c的值。练习4-2 向量组的线性相关性1.对任意的，下列向量组中一定线性无关的是（） (A)，； (B），； (C) ，； （D) ，2.向量组线性相关，则=（ ）A、-1 B、-2 C、0 D、13.向量组（ ）A、 B、中有两个向量的对应分量成比

12、例C、中每一个向量都可用其余个向量线性表示D、中至少有一个向量可由其余个向量线性表示4.向量组1=（1，0，0），2=（0，0，1），下列向量中可以由1，2线性表出的是（ ）A（2，0，0）B（-3，2，4）C（1，1，0） D（0，-1，0）5.设行向量组，线性相关，且，则= 6.证明：若维向量，不能由线性表示，不能由，线性表示，则，线性无关；7.已知，讨论是否可由线性表示8.判断下列向量组的线性相关性(1)(2) (3)练习4-3 向量组的秩1.设为矩阵，则有（ ）（）若，则有无穷多解； （）若，则有非零解； （）若有阶子式不为零，则有唯一解； （）若有阶子式不为零，则仅有零解2.的极大线

13、性无关组是（ ）A B C D3.已知矩阵经初等行变换，化为，则必有（ ）（A） （B）（C） （D）线性无关4.求向量组，的所有极大线性无关组5.已知向量，求该向量组的秩；讨论它的线性相关性；求出它的所有极大线性无关组6.给定向量组 当为何值时，向量组线性相关？当线性组线性相关时，求出极大线性无关组，并将其们向量用极大线性无关组表出。7求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示。练习4-4 线性方程组解的结构1.已知方程组的两个不同解向量为且。如果为任意常数，则该方程组的通解为（） (A)； (B）； (C)； （D) 2.齐次线性方程组的基础解系中含有解向量的个数

14、是（ ）A、1 B、2 C、3 D、43.若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A的秩等于_.4.已知四阶方阵且线性无关，。则方程组的通解为 5.设齐次线性方程组，且秩(A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 6.线性方程组，为何值时，方程组有解；有解时，求出通解7. 求线性方程组的一般解8. 求线性方程组的一般解9h1,h2,h3是齐次线性方程组AX=0的三个不同的解，给出四个断言: 如果h1,h2,h3和AX=0的一个基础解系等价,则h1,h2,h3也是AX=0的基础解系. 如果h1,h2,h3是AX=0的一个基础解系,则AX=0的每个解都可以用h1,h2

15、,h3线性表示,并且表示方式唯一. 如果AX=0的每个解都可以用h1,h2,h3线性表示,并且表示方式唯一,则h1,h2,h3是AX=0的一个基础解系. 如果n-R(A)=3,则h1,h2,h3是AX=0的一个基础解系.判断他们中那些是正确的.第四章 总复习1（判断）若，则方程组一定有解 ( )2（判断）若线性无关，则也线性无关. ( )3（判断）若线性相关， 也线性相关 ( )4（判断）若向量组（）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合 （ ）5（判断）向量组的秩等于它的极大线性无关组的个数 ( )6（判断）非齐次方程组有无穷多个解的充分必要条件是它有两个不同的解。 ( )7（判断）

16、若是齐次方程组的基础解系，是非齐次方程组的一个解向量，则 一定线性无关.( )8（判断）对个未知量个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解 （ ）9（判断）齐次线性方程组解的线性组合还是它的解 （ ）10已知阶矩阵，且的每一列均为方程组的解向量，求及。11设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.12判断下列命题（或说法）是否正确，为什么？（1） 如果向量可由向量组线性表示，即，则表示系数不全为零。（2） 若向量组是线性相关的，则一定可由线性表示（3） 若向量组线性相关，向量组线性相关，则有不全为零的数使且，从而使故线性相关；（4） 如果存在不全为零的数

17、使则向量组线性无关。（5） 若线性无关，线性相关，则不可由线性表示13 证明：若向量线性无关，则也线性无关 14证明:如果维单位坐标向量组可以由维向量组线性表示,则向量组线性无关15设是一组维向量,证明它们线性无关的充要条件是任一维向量组都可由它们线性表示.16.向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 17.设向量组，试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出18求下列齐次线性方程组的一个基础解系及通解:(1) (2) 19设n阶矩阵A满足,E为n阶单位矩阵,证明.20求下列非齐次线性方程

18、组的通解,并写出它的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.(1) (2) 21.齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.22.方程组（i）与（ii）有公共的非零解，求的值和全部公共解习题5-1 预备知识1. 求下列向量的内积和夹角。（1）（2）2 把向量组正交化。3. 将向量正交单位化，并求向量用此正交单位向量线性表示的表达式。4已知，求一组非零向量，使得两两正交。5下列矩阵是不是正交矩阵，说明理由。（1） （2）6证明: 若A、B为n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵。习题5-2 特征值和特征向量1. 设分别是阶矩阵的属于特征值的两个的特征向量，则( ) A 时，一定成比

19、例 B 时，一定不成比例 C 时，一定成比例 D 时，一定不成比例2. 设分别是阶矩阵的属于不同特征值的两个的特征向量，则A 对任意的是的特征向量.B 存在使是的特征向量.C 当时, 不可能是的特征向量.D 存在唯一的数使是的特征向量. 3.“ 0不为的特征值”是“可逆”的( )A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 非充分非必要条件 4. 求下列矩阵的特征值和特征向量. (1) (2)5.设有四阶方阵满足条件求的一个特征值。6* 设有一个特征值为, 与对应的一个特征向量为,求和。习题5-3 相似矩阵1. 若n阶矩阵与相似，则（ ）A它们的特征值相同 B它们具有相同的特征向量C它们具

20、有相同的特征矩阵 D存在可逆矩阵，使2n阶矩阵可与对角矩阵相似的充分必要条件是（ ）A 有n个线性无关的特征向量B 有n个不同的特征值C 的n个列向量线性无关D 有n个非零的特征值3. 设均为n阶方阵，则下列结论中不正确的是（ ）A 若相似于，则相似于 B 若相似于，且可逆，则相似于C 若相似于，且可逆，则都相似于单位矩阵 D 若等价于，则相似于，4. 三阶矩阵的特征值为，它们对应的特征向量分 令，则( )A B C D 5. 则( ) A 与一对角阵相似. B 不能与一对角阵相似 C不能确定能否与一对角阵相似 D 6. n阶矩阵A与B相似，E为单位矩阵,则（ ）A ； B ；C A与B有相同

21、的特征向量； D A与B都相似于一个对角矩阵.7已知矩阵与相似,求（1）x (2)求可逆矩阵,使8.设三阶矩阵的三个特征值为，对应的特征向量依次为 求矩阵以及。习题5-4 实对称矩阵的相似矩阵1. 设矩阵 ，求一个正交矩阵，使得.2. 设矩阵 ，求一个正交矩阵，使得 3. 设为三阶实对称矩阵，且满足 已知向量, ,是对应特征值的特征向量，求，其中为自然数。4*. 设为阶实对称矩阵，且，是的一重特征值，计算行列式 第五章 复习题1已知实对称矩阵，求正交矩阵,使,为对角矩阵。2设方阵A有特征值和分别是对应 的特征向量，试将表示成的线性组合，并求.3若 是 正 交 阵， 证 明： 可 逆 且 也 是

22、 正 交 矩 阵。4*.设三阶方阵的特征值为对应的特征向量依次为，又向量（1）将用线性表示；（2）求（为正整数）6-1一、写出下列二次型的矩阵，并求二次型的秩（1） (2)（）二、写出下列各对称矩阵所对应的二次型（1）（2）三、已知二次型的秩为2，求的值 四、设二次型，分别作下列两个满秩变换，求新二次型（1） （2） （）6-2一 求一个正交变换将下列二次型化成标准形 (1) （2） 二用配方法化下列二次形成标准形, 并写出所用变换的矩阵. (1) (2) (3) （）四 已知在直角坐标系 o x1 x2中, 二次曲线的方程为试确定其形状6-3一、填空题1二次型是正定的充要条件是存在_的线性变

23、换，使得 ，。2二次型是正定的充要条件是实对称矩阵的特征值都是_。3实对称矩阵是正定的，则行列式必 _ 。4如果实对称矩阵有一个偶数阶的主子式，那么 _ 。5判定一个二次型是否正定的，主要可用 _ _等方法。 二选择题1个变量的实二次型为正定的充要条件是正惯性指数（ ） A B C D2若二次型负定，则（ ） A顺序主子式小于0 B奇阶顺序主子式大于0，偶阶顺序主子式小于0C顺序主子式大于0 D奇阶顺序主子式小于0，偶阶顺序主子式大于03二次型的符号差为（ ） A0 B1 C1 D24不能说明是正定矩阵的是（ ） A的个特征值全为正 B的标准形的个系数全为正C与单位矩阵合同 D的正惯性指数大于

24、05二次型是（ ） A正定二次型 B半正定二次型 C负定二次型 D不定二次型二. 判别下列二次型的正定性 (1) (2) 三 设,证明：时，为正定二次型；时，为负定二次型 四、证明下列各题1. 设是正定矩阵，证明 、，也是正定矩阵。2设对称矩阵为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵，使五用正交变换化二次曲面方程为标准形，并指出它表示何种二次曲面。第六章总习题一、 判断题1 若实对称矩阵的特征值全大于零，则二次型是正定的。 （ ） 2 若有非零向量使得，则为正定矩阵。 （ ） 3 二次型是正定的。 （ ） 4 正定，则的行列式。 （ ） 5 实对称矩阵与合同，则必相似。 （ ）二、选择题1阶实对称矩阵正定的充要条件是（ ） A对于任意非零实数，有B C的各阶顺序主子式全大于0。D的特征值非负。2设是正交矩阵的一个实特征值，则（ ） A B C D设为正定矩阵，则（ ） A B C D二次型的正惯性指数为（ ） A1 B2 C3 D4二次型的秩为（ ） A0 B1 C2 D36若矩阵与合同，则它们有相同的（