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1、三角函数最值问题的几种常见类型 湖北省襄樊市第八中学 曾凡成三角函数的最值问题是三角函数中较为重要的一个知识点.在高考中经常出现，其题型也是丰富多彩的，因此我们有必要对三角函数的最值问题进行归纳小结.本文举例介绍求三角函数的最值的一些常见方法. 一利用三角函数的有界性求最值对于或变形后可以化为此形式的，可以在进一步化为的形式，然后利用-，求出最值.例1.求函数的最值.解： 由知即 ， 例2.求函数的最小值，并写出函数取最小值时的集合. 解： = 又 当时，此时 即 ，此时的集合为二引入参数法（换元法）经转化，最后化归为二次函数的三角函数最值问题称为二次函数型.闭区间上的二次函数一定存在最大值、
2、最小值，并且最大值、最小值一定在极值点或区间端点处取得，这是求解二次函数型三角最值的主要依据.例3.求函数的最值.解：令则 说明：不是的二次函数，但通过换元后可化为的二次函数，但应注意换元后的新变量的取值范围.三判别式法. 例4.求的最值. 解： 原函数去分母，整理得 若. 若. 故.四、 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。例5. 求函数的最值。解：= =当且仅当即时，等号成立，故。五、 利用函数在区间内的单调性例6. 已知，求函数的最小值。分析 此题为型三角函数求最值问题，当sinx0,a1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。六、 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。例 7. 设，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx=t,则（1） 当，即在0，1上递增， （2） 当即时，在0，1上先增后减，（3） 当即在0，1上递减， 以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。4 第 页（共4页）
