双曲线的画法和性质.doc

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1、几何画板简明教程第十章 双曲线的画法和性质一双曲线的定义: 1在平面内,到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距。 2双曲线的标准方程:设M(x, y)是双曲线是上任意一点,双曲线的焦距为2c (c0),则如图建立直角坐标系,又F1、F2的坐标分别是F1(c, 0), F2(c, 0),若M点与F1、F2两点的距离的差的绝对值等于2a (ca0),则 |MF1|MF2|2a, , 图101整理化简,并且设b2c2a2得双曲线的标准方程 .3双曲线的第二定义:设动点M(x, y)与定点F(c, 0)

2、的距离和它到定直线: x的距离的比是常数(ca0),则点M的轨迹是双曲线。点F是双曲线的一个焦点,直线是双曲线中对应于焦点F的准线。常数e (e1)是双曲线的离心率。 图1024双曲线的参数方程:以原点为圆心,分别以a、b (a, b0)为半径作两个圆,|OA|a, |OB|b, 点P是以a为半径的圆上的一个点,点C是OA与半径为bd 圆的交点,过点C作CNOx,交直线OP于N,过点N作OX轴的平行线,过点P作PROP,交Ox轴于R,过点R作直线RM交过点N的x轴的平行线于点M,当点P在圆上运动时,M点的轨迹是双曲线。设点M的坐标是(x, y),是以Ox为始边,OP为终边的正角,取为参数,那么

3、图103x|OR|OP|secasec, y|RM|CN|OC|tgbtg, 双曲线的参数方程是 (是参数).二双曲线的画法:画法1:图1041在x轴上取两点F1、F2,使|OF1|OF2|,用它们作为两个焦点;2在图形外作一条线段AB,使|AB|2a,(|AB|F1F2|);3以O为中心,在x轴上取两点A1、A2,使|A1A2|AB|;4在AB延长线上分别取C,使|BC|A1F1|;在ABC的延长线方向上作射线CC,并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在CC上作点C;5分别以F1、F2为圆心,用|BC|、|AC|为半径作圆,两圆相交于P1、P2两点;同样方法分别以F1、F2为圆心,用|AC

4、|、|BC|为半径作圆,两圆相交于P3、P4两点;并将这四个点定义为“追踪点”;6依次选中点C、点P1 (或点C、点P2 , 或点C、点P3, 或点C、点P3),用“作图”菜单中的“轨迹”功能,作出双曲线。理论根据:点P1是两圆的交点, 点P1到F1与F2的距离的差等于两圆的半径的差,即 |PF1|PF2|AC|BC|AB|2a.说明:点C不要直接在BC上取,那样画出来的双曲线将在x轴附近断开一段,因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的,这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的,当我们使点C在BC上运动时,当点C非常接近点B时,两圆没有交点,于是画出来的图形就不好看了。 画法2

5、:1在x轴上取两点F1、F2,使|OF1|OF2|,用它们作为两个焦点;2在图形外作一条线段,使它的长度为2a,(2a|F1F2|);图1053以F1为圆心,2a为半径作圆,在圆上任取一点P;4连接PF1、PF2,作PF2的中垂线与直线PF1交于点M,连接MF2;5将点M定义为“追踪点”,分别选中点M、点P,用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出双曲线。理论根据:点M在PF2的中垂线上, |MP|MF2|, |MF1|MF2|MF1|MP|F1P|2a. 即点M到两个定点F1和F2的距离的差等于定长2a。点M的轨迹是一个双曲线。画法3:1在平面直角坐标系中取点F1、F2,使|OF1|OF2|,把它

6、们作为焦点,在OF1上取一点A1,使它作为双曲线的顶点;2度量OF1、OA1,把它们的长分别作为c和a,使a0)为半径画两个圆;2圆OA与x轴的正方向交于点C,过C作x轴的垂线,3在圆OA上取一点P,连接OP,直线OP与过点C且和x轴垂直的直线交于点N,过点N作x轴的平行线NM;4过点P作PR垂直于OP,交x轴于点R;5过点R在x轴的垂线交直线NM于点M;6分别选中点M和点P,用“作图”菜单中的“轨迹”功能,画出双曲线。理论根据:设xOP,图107则|OR|OP|secasec, |RM|NC|OC|tgbtg, 根据双曲线的参数方程知,点M的轨迹是一个双曲线。 三双曲线中动弦的画法(一)双曲

7、线焦点弦的画法:图1081在坐标系中作出两个焦点F1、F2,在图形外作一条线段,使它的长等于2a(2a|F1F2|);2以F1为圆心,2a为半径作圆,在圆上任取一点P,连接PF2,作PF2的中垂线交直线PF1于点M;选中点M和点P,用“轨迹”功能作出双曲线;3连接PF1延长与圆交于点Q;4同样方法作出点Q在双曲线上的对应点N;5连接MN,则线段MN一定过焦点F1,且点M、N都在双曲线上;6保留坐标系、双曲线、焦点和焦点弦MN,隐藏其它的内容,这时选中点M,在双曲线上拖动它,则点N相应在双曲线上移动,且MN始终经过点F1.理论根据:双曲线上的点M、N是由圆上的点P、Q得到的,线段PQ在大圆上经过

8、定点F1,则相应的线段MN在双曲线上也经过定点F1.(二) 双曲线中过定点M的弦:图1091用参数方程的画法画出一个双曲线,标出定点D;2在以a为半径的圆上取一点M,作出它在双曲线上的相应点P;3作DEOx轴,垂足是E,过点E作以a为半径的圆的切线ER、ES,连接RS;4过点D作RS的垂线,垂足是D;5连接MS,延长与圆交于N,作出点N在双曲线上的对应点Q;6连接PQ,则PQ始终经过点D,且P、Q都在双曲线上;7保留坐标系、双曲线、定点D和过定点D的弦PQ,隐藏其它的内容,这时选中点P,在双曲线上拖动它,则点Q相应在双曲线上移动,且PQ始终经过点D;.理论根据:双曲线上的点P、Q是由大圆上的点

9、M、N得到的,线段MN在大圆上经过定点D,则相应的线段PQ在双曲线上也经过定点MD。问题的关键是怎样由点D得到点D,我们看到,点D和点D的纵坐标是一样的,另外在双曲线中过点D且垂直于x的弦的两个端点在圆上的对应点恰好是R、S,所以点D.一定在RS上,这样就得到了点D.(三) 双曲线中平行弦的画法:图10101用参数方程的画法画出一条双曲线,计算两圆半径的比a, b,在双曲线上取一点P;2在图形外画一条斜率为k的线段,过点P作斜率为k的线段的平行线;3选中a, b, k, 用“计算”算出的值;4过原点O作斜率为的直线,与过点P斜率为k的直线相交于点M;5以点M为中心,将点P旋转180,得到点Q,

10、则点Q在双曲线上;6连接PQ,则PQ就是斜率为k的双曲线中的平行弦;7保留坐标系、双曲线、斜率k和PQ,隐藏其它的内容;选中点P在双曲线上拖动点P,则弦PQ始终与AC平行,且点P、Q在双曲线上;8作PQ的中点,标记为“追踪点”,则点P运动时,就可以得到中点的轨迹。理论根据:设P(x1, y1), Q(x2, y2)都在双曲线上,且PQ的斜率为k,若PQ的中点为M(x0, y0), 有,两式相减得。, 中点M在过原点且斜率为的直线上。 四双曲线切线的画法: (一) 过双曲线上一个定点P的切线: 1在直角坐标系中画一条双曲线,同时标出它的两个焦点F1、F2;2在双曲线上标出定点P;图10113以F

11、1为圆心,双曲线的实轴2a为半径作圆;4连接F1P交圆于点M;5连接F2M,作F2M的中垂线,这条中垂线过点P,并且是双曲线的切线。理论根据: 点P在双曲线上, |PF1|PF2|2a, 又|F1M|2a, |PF2|MP|, 点P在F2M的中垂线上,直线MP经过点M且与双曲线有且仅有一个交点,所以直线MP是双曲线过点P的切线。(二) 过双曲线外一点作双曲线的切线:1在直角坐标系中画一条双曲线,同时标出它的两个焦点F1、F2;2在双曲线外标出定点T;3以点F1为圆心,双曲线的实轴2a为半径作圆;4以点T为圆心,|TF2|为半径作圆,交圆F1于点M、N;5连接MF2,作MF2的中垂线TCP,同样连接NF2,作NF2的中垂线TDQ;6直线TCP、TDQ都是过点T的椭圆的切线。理论根据:图1012点M、N在以点T为圆心,|TF2|为半径作圆上, |TF2|TM|TN|,MF2的中垂线一定经过定点T,且中垂线上一定有一点P,满足|PF1|PF2|PF1|PM|2a, 点P在双曲线上, PT是双曲线的切线且PT经过点T;同理QT也是椭圆的切线且QT经过点T。55

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