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1、1填空题 函数 的单调减少区间_解答 ，令 ，可得 当 时， ， 单调递减. 所以 的单调递减区间是 或 . 曲线 与其在 处的切线所围成的部分被 轴分成两部分，这两部分面积之比是_ 解答 直线方程为 ，即 ，两直线的交点可求得 ，即求解 方法一：已知其一根为 ，设方程为 通过比较可得 ，可解得另外一根为 方法二：分解方程有 即 所以 则 设 在 上连续，当 时， 取最小值.解答 令 ，则 即 所以 绕 旋转所成旋转体体积_解答 令 ，则 当 时，当 时，所以 求心脏线 和直线 及 围成的图形绕极轴旋转所成旋转体体积_解答 将极坐标化为直角坐标形式为 ， 则 所以 2计算题 在直线 与抛物线
2、的交点上引抛物线的法线，求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.解答 由题意可计算两法线的方程为，即 ，即 两直线的交点为 ，则 过抛物线 上的一点 作切线，问 为何值时所作的切线与抛物线 所围成的面积最小.解答 直线的斜率 ，则直线方程为 ，与抛物线相交， 即 ，设方程的两根为 且 ，则 ， 从而 又 ，所以 求通过点 的直线 中使得 为最小的直线方程.解答 设 ，则 则 由 可得 即 可得 又 则当 时 为最小，此时 方程为 求函数 的最大值与最小值.解答 令 ，可得 当 时， ，即 在 取最小值，此时 当 时， ，即 在 取最大值 此时 . 求曲线 与 所围阴影部分面积 ，并将此
3、面积绕 轴旋转所构成的旋转体体积，如图所示.解答 已知圆 ，其中 ，求此圆绕 轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.解答 令 ，如图所示，则 设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中， 若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？ 解答 抛物线方程为 ，则在水下 到 这一小块所受的静压力为 所以整块薄板所受的静压力为 若下沉 ，此时受到的静压力为 要使 ，解得 . 若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？解答 建立如图坐标系，则抛物线方程为 ，则在水下 到 这一小块所受的静压力为 所以整块薄板所受的静压力为 若下沉 ，此时受到的静压力为 要使 ，解得 .?
