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1、第一讲 直线型面积（一）教学目标1. 熟练运用直线型面积的最大体性质等积变形；2. 熟练掌握直线型面积模型：（1）等积变形 （2）鸟头模型（3）任意四边形模型（4）梯形“蝴蝶”模型（5）相似模型（6）燕尾定理模型知识精讲直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。最大体的思想是等积变形。一、等积变形等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，若是，则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形能够看做特殊的平行四边形)；
2、三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在中，别离是上的点如图 (或在的延长线上，在上)，则 三、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：或蝴蝶定理为咱们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面能够使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也能够取得与面积对应的对角线的比例关系板块一、等积变形【例 1】 (三帆中学)长方形
3、的面积为36，、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部份面积是多少？ 【解析】 解法一：寻觅可利用的条件，连接、，如下图： 可得：、，而 即； 而， 所以阴影部份的面积是： 解法二：特殊点法找的特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成下图： 如此阴影部份的面积就是的面积，按照鸟头定理，则有： 解法三：能够找到长方形的特殊状态正方形，然后就和上面的特殊点法一样【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，别离与点连接,求阴影部份面积 【解析】 （法1）特殊点法由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部份变成如上中图所示，图中的两个阴影三
4、角形的面积别离占正方形面积的和，所以阴影部份的面积为平方厘米（法2）连接、由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部份的面积为平方厘米【巩固】(2007首届全国资优生思维能力测试)是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部份的面积是_ 【解析】 寻觅能够利用的条件，连接、可得右图所示： 则有: 同理可得：; 而,即； 同理：,; 所以： 而； ； 所以阴影部份的面积是： 即为： 那个题一样能够用特殊点法来做，点与点重合【例 2】 (人大附中入学试题)在长方形中，
5、四边形的面积是，求阴影总面积【解析】 将那个复杂的图形分解成简单的图形来试探 仔细分析一下的面积可得，如下面左图： 按照等积转变，能够取得,同理由右图能够取得； 所以阴影部份的面积和是：, 而,所以阴影总面积是：【巩固】如右图，长方形的长是8厘米，宽是5厘米，阴影部份的面积和是12平方厘米，求四边形的面积是多少平方厘米？【解析】 按照例1，可得、，而 可得：(平方厘米)【例 3】 (华杯2004年试题)如图，有三个正方形的极点、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部份的面积【解析】 连接、(在上图上已经标出)，则，按照等积转变，可得、,所以阴影部份的面积就等于正方形的面积，即
6、为100平方厘米【巩固】两个正方形如右图表示，大正方形的边长是10，求图中 阴影的面积是多少？【解析】 连接(如下面的左图)，则有,可得 ,从而可得，如下面的右图： 从而可得阴影的面积与的面积相等 也可直接用特殊点法做那个题，将正方形的边长视为0，这、四点合一，如上面的右图或直接考虑小正方形的边长也是10 另外无论小正方形怎么小，结果是一样的【例 4】 (2007年湖北省“创新杯”数学邀请赛决赛试题)如下图，是平行四边形，三角形是直角三角形，长8厘米，长7厘米，阴影部份面积比三角形的面积大于12平方厘米，则_厘米【解析】 实际上是平行四边形的高，求出平行四边形的面积就可以求出的长度 阴影部份面
7、积比三角形的面积大于12平方厘米，可将其替换成平行四边形的面积比三角形的面积大12平方厘米 (平方厘米)，所以(平方厘米) 故的长度是：(厘米)【巩固】是长方形内一点，已知的面积是5，的面积是2，求的面积是多少？ 【解析】 设,因为, 所以可得：，即 还有 所以,可得()【例 5】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他明白,且则两块地和的面积比是_【解析】 连接，如下图表示设的面积为1， 的面积，则按照题上说给出的条件，由得，即的面积为、;又有，、，而；得，所以【巩固】如图，已知长方形的面积是16，三角形的面积是3，三角形的面积是
8、4，那么三角形的面积是_【解析】 连结对角线，如右图：的面积是；而的面积也是4，而且有相同的高和相同的边()，所以同理，的面积是，所以,即所以的面积是,而长方形的面积是，所以的面积从而的面积等于【例 6】 (2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)如图所示，长方形的长是12厘米，宽是8厘米，三角形的面积是32平方厘米，则_厘米【解析】 解法一:能够从图上得出,连接、如下图所示： 因此,也就有(平方厘米),而(平方厘米)所以 (平方厘米) 故(厘米) 解法二：要求的长，能够先求出，而是和的底，两个三角形的高的和等于长方形的宽，而且它们的面积和是的面积所以,所以(厘米)【例 7】 如图，在
9、平行四边形中，求阴影面积与空白面积的比【解析】 方式一：因为，所以，因为，所以，所以，同理可得，因为，所以空白部份的面积，所以阴影部份的面积是，所以阴影面积与空白面积的比是【例 8】 、别离为直角梯形两边上的点，且、彼此平行，若，求阴影部份的面积 【解析】 连接、由于、彼此平行，所以四边形是梯形，且与该梯形的两个底平行，那么三角形与、三角形与的面积别离相等，所以三角形的面积与三角形的面积相等而三角形的面积按照已知条件很容易求出来由于为直角梯形，且，所以三角形的面积的面积为：所以三角形的面积为25【例 9】 如图，三角形的面积是，、的长度别离为11、3求长方形的面积 【解析】 如图，过作，过作，
10、、交于，连接则另解：设三角形、的面积之和为，则正方形的面积为从图中能够看出，三角形、的面积之和的2倍，等于正方形的面积与长方形的面积之和，即，得，所以正方形的面积为【例 10】 如图所示，在四边形中，别离是各边的中点，求阴影部份与四边形的面积之比 【解析】 (法1)设，连接知，；所以；同理于是；注意到这四个三角形重合的部份是四块阴影小三角形，没算的部份是四边形；因此四块阴影的面积和就等于四边形的面积(法2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易患到结果【巩固】(2008年”希望杯”二试六年级)如图，、别离是四边形各边的中点，与交于点，、及别离表示四个小四边形的面积试比较与
11、的大小 【解析】 如右图，连接、，则可判断出，每条边与点所组成的三角形都被分为面积相等的两部份，且每一个三角形中的两部份都分属于、这两个不同的组合，所以可知【例 11】 如图，四边形中，已知四边形的面积等于4，则四边形的面积 【解析】 运用三角形面积与底和高的关系解题连接、，因为，所以，在中，在中，在中，在中，因为，所以又因为，所以【巩固】如图，对于任意四边形，通过各边三等分点的相应连线，取得中间四边形，求四边形的面积是四边形的几分之几？【解析】 分层次来考虑：如下左图，所以又因为，所以； 如右上图，已知，；所以；所以，即是三等分点；同理，可知、都是三等分点；所以再次应用的结论，可知，板块二、
12、鸟头定理【例 12】 (2007年“走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形边长为6厘米，,三角形的面积为_平方厘米 【分析】 由题意知、，可得按照“鸟头定理”可得，；同理得,;而,并,故(平方厘米)【例 13】 如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积 【解析】 (法)本题是性质的反复利用连接、，同理可得其它，最后三角形的面积(法)用共角定理在和中，与互补，又，所以同理可得，所以【例 14】 如图，四边形的面积是平方米，求四边形的面积 【解析】 连接由共角定理得，即同理，即所以连接，同理能够取得所以平方米【例 15】 如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的
13、中点，是的中点，三角形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 连接、因为，按照”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹那个角的两边长度的乘积比”，再按照”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹那个角的两边长度的乘积比”，取得，所以平方厘米板块三、任意四边形模型【例 16】 如图，平行四边形的对角线交于点，、的面积依次是2、4、4和6求：求的面积；求的面积【解析】 按照题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，按照蝴蝶定理，所以，那么【例 17】 如图，在中，已知、别离在边、上，与相交于,若、和的面积别离是
14、3、2、1，则的面积是 【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解按照蝴蝶定理得 设，按照共边定理咱们能够得，解得 【巩固】四边形的对角线与交于点（如图所示）若是三角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍 分析对于四边形为任意四边形，两种处置方式：1利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；2通过画辅助线来改变任意四边形按照题目中给出条件，可得 ,所以 故【例 18】 如图，边长为的正方形中，求三角形的面积 【分析】 连接因为，所以因为，按照共边定理(“蝴蝶定理”结论)，所以因为，所以，所以，三角形的面积是【巩固】如图，长方形中，三角形的面积为平方厘米
15、，求长方形的面积 【解析】 连接，因为，所以因为，按照共边定理(“蝴蝶定理”结论)：，所以，所以因为，所以长方形的面积是平方厘米【例 19】 如图，已知正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积 【解析】 设与的交点为，连接、由蝴蝶定理可知，而，所以，故 由于为中点，所以，故，由蝴蝶定理可知，所以，那么（平方厘米）【例 20】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形的面积是2009平方厘米，别离是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米 【解析】 如图，设与的交点为，则图中空白部份由个与一样大小的三角形组成，只要求出了的面积，就可以够求出空白部份面积，进而求
16、出阴影部份面积连接、设的面积为”“，则面积为”“，面积为”“，那么面积为的倍，为”“，梯形的面积为，的面积为”“，的面积为按照蝴蝶定理，故，所以，即的面积为梯形面积的，故为六边形面积的，那么空白部份的面积为正六边形面积的，所以阴影部份面积为(平方厘米)课后练习练习1. 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部份的面积 【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则，所以，阴影部份面积为练习2. 如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？【解析】 在和中，与互补，又，所以同理可得，所以练习3. (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部份，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是692平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】 按照蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米练习4. 如图，求【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一路，既能够看做是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹那个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也能够看做是找点，最妙的是其中包括了找点的种情形最后求得的面积为
