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1、专题一规律探究,规律探究类试题选材一般来源于学生熟悉的生活,有一定的趣味性,呈现形式多样,便于学生观察,侧重考查学生观察和归纳能力,让学生从不同角度,利用不同方法探索并发现数学规律,同时利用发现的规律,让学生学会自我验证,真正考查了学生的数学思考能力.,考点一 数式的变化规律 通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学方法,考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式.,【示范题1】(2017岳阳中
2、考)观察下列等式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,根据这个规律,则21+22+23+24+22017的末位数字是()A.0 B.2 C.4 D.6,【思路点拨】根据题目中的式子可以知道,末位数字按2,4,8,6的顺序出现,从而可以求得21+22+23+24+22017的末位数字.,【自主解答】选B.21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,20174=5041,(2+4+8+6)504+2=10082,21+22+23+24+22017的末位数字是2.,【特别提醒】探究等式变化规律的题目,关键把握两点:一是找出等式中“变”与“不变”的部
3、分;二是分析出“变”的规律.,【变式训练】(2016滨州中考)观察下列式子:13+1=22;79+1=82;2527+1=262;7981+1=802;可猜想第2016个式子为_.,【解题指南】观察等式两边的数的特点,用n表示其规律,代入n=2016即可求解.,【解析】观察算式,易看出式子中的数3,9,27,81,都与3有关,对算式分析如下:,根据上述分析,猜想第2016个式子为(32016-2)32016+1=(32016-1)2.答案:(32016-2)32016+1=(32016-1)2,【知识归纳】数式规律探究是规律探究问题中的主要部分,解决此类问题注意以下三点:1.一般地,常用字母n
4、为正整数,从1开始.2.在数据中,分清奇偶,记住常用表达式.正整数n-1,n,n+1奇数2n-3,2n-1,2n+1,2n+3偶数2n-2,2n,2n+2,3.熟记常用的规律(1)1,4,9,16,n2.(2)1,3,6,10,(3)1,3,7,15,2n-1.(4)1+2+3+4+n=,(5)1+3+5+(2n-1)=n2.(6)2+4+6+2n=n(n+1).(7)12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1).(8)13+23+33+n3=n2(n+1)2.,考点二 图形的变化规律 结构类似,多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻,并且还可以由一个通用的代数式表示.,
5、【示范题2】(2017临沂中考)将一些相同的“”按如图所示摆放,观察每个图形中的“”的个数,若第n个图形中“”的个数是78,则n的值是()A.11 B.12 C.13 D.14,【思路点拨】根据小圆个数变化规律表示出第n个图形中小圆的个数,列方程求解.,【自主解答】选B.第1个图形有1个小圆;第2个图形有1+2=3个小圆;第3个图形有1+2+3=6个小圆;第4个图形有1+2+3+4=10个小圆;第n个图形有1+2+3+n=个小圆;第n个图形中“”的个数是78,78=,解得n1=12,n2=-13(不合题意,舍去).,【方法归纳】当图形在变换时,图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察
6、出规律时,可以通过建立这两个变量之间的函数关系,利用已知的几对对应值求出函数关系式,然后去论证.,【变式训练】(2017随州中考)在公园内,牡丹按正方形种植,在它的周围种植芍药,如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律,那么当n=11时,芍药的数量为()A.84株 B.88株 C.92株 D.121株,【解析】选B.观察图形,发现芍药围成的图形是正方形,每条边上的芍药数量与牡丹的列数(n)的关系是2n+1,芍药的总数量可表示为4(2n+1)-4=8n,因此,当n=11时,芍药的数量为88.,【知识归纳】这种探索图形构成元素的规律的试题,解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规律,再用
7、函数法、观察法解决问题;另一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解决问题.,考点三 点的坐标的变化规律【示范题3】(2017南宁中考)如图,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上,将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90,第一次旋转至图位置,第二次旋转至图位置,则正方形铁片连续旋转2017次后,点P的坐标为_.,【思路点拨】首先求出P1P5的坐标,探究规律后,利用规律解决问题.,【自主解答】第一次P1(5,2),第二次P2(8,1),第三次P3(10,1),第四次P4(13,2),第五次P5(17,2)
8、,发现点P的位置4次一个循环,20174=504余1,P2017的纵坐标与P1相同为2,横坐标为5+(17-5)504=6053,P2017(6053,2).答案:(6053,2),【方法归纳】由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况,应该先分析图形的运动规律,然后结合点在图形中的位置找出点的坐标的变化规律.,【变式训练】1.(2017天门中考)如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点坐标分别为A(-1,1),B(0,-2),C(1,0),点P(0,2)绕点A旋转180得到点P1,点P1绕点B旋转180得到点P2,点P2绕点C旋转180得到点P3,点P3绕点A旋转180得到点P4,按此
9、作法进行下去,则点P2017的坐标为_.,【解析】如图所示,P1(-2,0),P2(2,-4),P3(0,4),P4(-2,-2),P5(2,-2),P6(0,2),发现6次一个循环,20176=3361,点P2017的坐标与P1的坐标相同,即P2017(-2,0).答案:(-2,0),2.(2017咸宁中考)如图,边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合,AFx轴,将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次,每次旋转60,当n=2017时,顶点A的坐标为_.,【解析】正六边形的中心角为60,将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转1次,点A位于点F处;将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2次,点A位于点E处;将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转3次,点A位于点D处;将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转4次,点A位于点C处;将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转5次,点A位于点B处;将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次,点A位于点A处;以此类推,20176=3361,所以将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2017次,点A位于点F处,点F的横坐标为2,点F的纵坐标为:4cos30=2,即当n=2017时,顶点A的坐标为(2,2).答案:(2,2),
