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1、第九讲函数初步,一、平面直角坐标系1.各象限点的坐标的符号特征:第一象限(+,+);第二象限_;第三象限(-,-);第四象限_.,(-,+),(+,-),2.坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点_为0;y轴上的点_为0;原点的坐标为_.,纵坐标,横坐标,(0,0),二、函数的定义1.常量与变量:在某一变化过程中,始终保持不变的量叫做_,数值变化的量叫做_.,常量,变量,2.函数:在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有_确定的值与其对应,那么就说_是自变量,_是_的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的_.,唯一,x,y,x,函数值,【自我诊断
2、】(打“”或“”)1.点(-2,3)在平面直角坐标系第三象限.()2.点(0,b)一定在平面直角坐标系x轴上.()3.函数y=中自变量x的取值范围是x2.(),4.点A(1,-2)关于x轴对称的点的坐标是(-1,2).()5.平面直角坐标系第一、三象限角平分线上点的纵横坐标相同.()6.平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B的坐标是(2,2).(),考点一 平面直角坐标系及点的坐标变换【考情分析】平面直角坐标系及点的坐标变换的层级为理解坐标系内点的坐标特点及能根据图形变换写出变换后的点的坐标,能用有序数对表示位置,在各地中考试题中均有体现,是函数初步的一个重要
3、考向,一般,将图形的平移、轴对称、中心对称、位似及旋转结合一起考查,各种题型均有体现.,命题角度1:坐标系内点的坐标特征【示范题1】(2017贵港中考)在平面直角坐标系中,点P(m-3,4-2m)不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,【思路点拨】分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解.【自主解答】选A.m-30,即m3时,-2m-6,4-2m-2,所以,点P(m-3,4-2m)在第四象限,不可能在第一象限;,m-3-6,4-2m-2,点P(m-3,4-2m)可能在第二或第三象限.综上所述,点P不可能在第一象限.,命题角度2:与对称有关的点的坐标特征【示范题2】(20
4、17衡阳中考)如图,方格图中每个小正方形的边长为1,点A,B,C都是格点.(1)画出ABC关于直线BM对称的A1B1C1.(2)写出AA1的长度.,【思路点拨】(1)先作出ABC各顶点关于直线BM对称的点,再画出A1B1C1即可.(2)根据图形中A,A1的位置,即可得到AA1的长度.,【自主解答】(1)如图所示,A1B1C1即为所求.(2)由图可得,AA1=10.,命题角度3:与平移有关的点的坐标特征【示范题3】(2017黔东南中考)在平面直角坐标系中有一点A(-2,1),将点A先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,则平移后点A的坐标为_.,【思路点拨】根据坐标平移规律即可求出答案.【自主解
5、答】由题意可知,平移前A的横坐标为-2,纵坐标为1,即可求出平移后的坐标,平移后点A的坐标为(1,-1).答案:(1,-1),【答题关键指导】关于坐标轴或原点对称的点的特征(1)关于x轴对称,则横坐标不变,纵坐标互为相反数.(2)关于y轴对称,则纵坐标不变,横坐标互为相反数.(3)关于原点对称,则横坐标、纵坐标均互为相反数.,【变式训练】1.(2017郴州中考)在平面直角坐标系中,把点A(2,3)向左平移一个单位得到点A,则点A的坐标为_.,【解析】点A(2,3)向左平移1个单位长度,点A的横坐标为2-1=1,纵坐标不变,A的坐标为(1,3).答案:(1,3),2.(2017随州中考)如图,A
6、OB的边OB与x轴正半轴重合,点P是OA上的一动点,点N(3,0)是OB上的一定点,点M是ON的中点,AOB=30,要使PM+PN最小,则点P的坐标为_.,【解析】作N关于OA的对称点N,连接NM交OA于点P,则此时,PM+PN最小.OA垂直平分NN,ON=ON,NON=2AON=60,NON是等边三角形,点M是ON的中点,NMON,点N(3,0),ON=3,点M是ON的中点,OM=答案:,考点二 用函数图象描述事物变化规律【示范题4】(2017济宁中考)如图,A,B是半径为1的O上两点,且OAOB.点P从A出发,在O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动,回到点A运动结束.设运动时间为x,弦BP
7、的长度为y,那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是(),A.B.C.或D.或,【思路点拨】分两种情形讨论:当点P顺时针旋转时,图象是,当点P逆时针旋转时,图象是,由此即可解决问题.【自主解答】选D.当点P顺时针旋转时,图象是,当点P逆时针旋转时,图象是,故答案为或.,【答题关键指导】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点(1)自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示.,(2)当两个阶段的图象都是一次函数(或正比例函数)时,自变量变化量相同,而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大.(3)各个分段中,准确确定函数关系.(4)确定函数图象的最低点和最高点.,【变式训练】1.(2017淄
8、博中考)小明做了一个数学实验:将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内,看作一个容器,然后,小明对准玻璃杯口匀速注水,如图所示,在注水,过程中,杯底始终紧贴鱼缸底部,则选项中可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是(),【解析】选D.一注水管向空玻璃杯内注水,水面逐渐升高,当玻璃杯中水满时,开始向鱼缸内流,这时水位高度不变,当鱼缸的水面高度与玻璃杯一样后,再继续注水,水面高度升高,升高的速度比开始慢.,2.(2017东营中考)小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校.小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(m
9、in)的大致图象是(),【解析】选C.小明从家到学校,先匀速步行到车站,因此s随时间t的增长而增长,等了几分钟后坐上了公交车,因此时间在增加,s不增长,坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校,因此s又随时间t的增长而增长.,考点三 函数图象信息综合分析应用【示范题5】(2017聊城中考)端午节前夕,在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中,甲、乙两队在500米的赛道上,所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示,下列说法错误的是(),A.乙队比甲队提前0.25 min到达终点B.当乙队划行110 m时,此时落后甲队15 mC.0.5 min后,乙队比甲队每
10、分钟快40 mD.自1.5 min开始,甲队若要与乙队同时到达终点,甲队的速度需要提高到255 m/min,【解析】选D.A.由横坐标可以看出乙队比甲队提前0.25min到达终点,故A不符合题意;B.乙AB段的解析式为y=240 x-40,当y=110时,x=;甲的解析式为y=200 x,当x=时,y=125,当乙队划行110m时,此时落后甲队15m,故B不符合题意;,C.乙AB段的解析式为y=240 x-40,乙的速度是240m/min;甲的解析式为y=200 x,甲的速度是200m/min,0.5min后,乙队比甲队每分钟快40m,故C不符合题意;D.甲的解析式为y=200 x,当x=1.
11、5时,y=300,若甲、乙同时到达终点,则甲的速度为(500-300)(2.25-1.5)267m/min,故D符合题意.,【答题关键指导】从函数图象中获取数据和信息的两点注意(1)理解原点、横轴、纵轴的意义.(2)数形结合寻找关键点并理解它在实际问题中的意义.,【变式训练】1.(2017哈尔滨中考)周日,小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报,看了一段时间后,他按原路返回家中,小涛离家的距离y(单位:m)与他所用的时间t(单位:min)之间的函数关系如图所示,下列说法中正确的是(),A.小涛家离报亭的距离是900 mB.小涛从家去报亭的平均速度是60 m/minC.小涛从报亭返回家中的平均
12、速度是80 m/minD.小涛在报亭看报用了15 min,【解析】选D.A.由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m,故A不符合题意;B.由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1 200 m,由横坐标看出小涛去报亭用了15 min,小涛从家去报亭的平均速度是80 m/min,故B不符合题意;C.返回时的解析式为y=-60t+3000,当,y=1200时,t=30,由横坐标看出返回时的时间是50-30=20min,返回时的速度是120020=60 m/min,故C不符合题意;D.由横坐标看出小涛在报亭看报用了30-15=15(min),故D符合题意.,2.(2017北京中考)小苏和小林在如图所示的跑
13、道上进行450m折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离y(单位:m)与跑步时间t(单位:s)的对应关系如图所示.下列叙述正确的是(),A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程D.小林在跑最后100m的过程中,与小苏相遇2次,【解析】选D.由函数图象可知:两人从起跑线同时出发,先后到达终点,小林先到达终点,故A错误;根据图象两人从起跑线同时出发,小林先到达终点,小苏后到达终点,小苏用的时间多,而路程相同,根据速度=所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度,故B错误;,根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程,故C错误;小林在跑最后100m的过程中,两人相遇时,即实线与虚线相交的地方,由图象可知有2处,即相遇2次,故D正确.,
