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1、第二十五讲相似形,一、相似三角形的性质性质1:相似三角形的对应角_,对应边的比 _.性质2:相似三角形周长的比等于_.性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于_.性质4:相似三角形的面积的比等于相似比的_.,相等,相等,相似比,相似比,平方,二、相似三角形的判定判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原_相似(相似三角形的预备定理).,三角形,判定2:三边_的两个三角形相似.判定3:两边_且_的两个三角形相似.判定4:两角_的两个三角形相似.,成比例,成比例,夹角相等,分别相等,【自我诊断】(打“”或“”)1.边数相等的多边形一定
2、是相似多边形.()2.相似多边形面积比也类似相似多边形周长比,都等于相似比.()3.若 则ad=bc.(),4.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.()5.全等三角形也是相似三角形.(),考点一 平行线分线段成比例【示范题1】(2017临沂中考)已知ABCD,AD与BC相交于点O.若 AD=10,则AO=_.,【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式,计算即可.【自主解答】ABCD,AD=10,AO=4.答案:4,【答题关键指导】应用平行线分线段成比例解决问题的方法(1)若已知条件中有平行,求两条线段的比,常考虑应用平行线分线段成比例定理求解.(2)应用时,看清平行
3、线组,找准平行线组截得的对应线段和对应边.,【变式训练】(2017长春中考)如图,直线abc,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.若ABBC=12,DE=3,则EF的长为_.,【解析】abc,EF=6.答案:6,考点二 相似三角形的判定与性质【考情分析】掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.了解相似三角形的判定定理,了解相似三角形判定定理的证明,了解相似三角形的性质定理.相似三角形的判定与性质在很多地市中考考查中都有所体现.是图形变换的一个重要考向,常以选择题、填空题或解答题的形式出现.,命题角度1:相似三角形的判定【示范题2】(2017衢州
4、中考)如图,AB为半圆O的直径,C为BA延长线上一点,CD切半圆O于点D,连接OD.作BECD于点E,交半圆O于点F.已知CE=12,BE=9.(1)求证:CODCBE.(2)求半圆O的半径r的长.,【思路点拨】(1)由切线的性质和垂直的定义得出E=90=CDO,再由C=C,得出CODCBE.(2)由勾股定理求出BC=15,由相似三角形的性质得出比例式,即可得出答案.,【自主解答】(1)CD切半圆O于点D,CDOD,CDO=90,BECD,E=90=CDO,又C=C,CODCBE.,(2)在RtBEC中,CE=12,BE=9,BC=15,CODCBE.解得r=.,命题角度2:相似三角形的性质【
5、示范题3】(2017滨州中考)如图,点E是ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交ABC的外接O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使BDM=DAC.(1)求证:直线DM是O的切线.(2)求证:DE2=DFDA.,【思路点拨】(1)连接DO,并延长交O于点G,连接BG;证明BAD=DAC;证明G=BAD;证明MDB=G;证明GDM=90.(2)利用等角对等边证明DB=DE;利用相似证明BD2=DFDA.,【自主解答】(1)如图1,连接DO,并延长交O于点G,连接BG.点E是ABC的内心,AD平分BAC,BAD=DAC.G=BAD,MPB=DAC,MDB=G,DG为O的直径,GBD=90,G+
6、BDG=90.MDB+BDG=90,MDOD.直线DM是O的切线.,(2)如图2,连接BE.点E是ABC的内心,ABE=CBE,BAD=CAD.EBD=CBE+CBD,BED=ABE+BAD,CBD=CAD.EBD=BED,DB=DE.CBD=BAD,ADB=ADB,DBFDAB,BD2=ADDF,DE2=DFDA.,【答题关键指导】判定三角形相似的“四个基本思路”(1)条件中若有平行线,可采用相似三角形的预备定理.(2)条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例.,(3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等.(4)条件中若有等腰三角形,可找顶角相等,或一对底角相等
7、,或找底和腰对应成比例.注意:两条边对应成比例时,必须是夹角相等,才能判定两个三角形相似.,【变式训练】1.(2017东营中考)如图,把ABC沿着BC的方向平移到DEF的位置,它们重叠部分的面积是ABC面积的一半,若BC=,则ABC移动的距离是(),【解析】选D.由题意知ABDE,CHECAB,2.(2017潍坊中考)如图,在ABC中,ABAC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:_,可以使得FDB与ADE相似.(只需写出一个),【解析】AC=3AD,AB=3AE,又A为公共角,ADEACB,B=AED,要证明FDB与ADE相似,利用“
8、两角相等,两三角形相似”,可以添加的条件为A=BDF,A=BFD,ADE=BFD,ADE=BDF,利用“两边对应成比例且,夹角相等的两三角形相似”,可以添加的条件为 利用“平行线性质判断两三角形相似”,可以添加的条件为DFAC.,答案:A=BDF(A=BFD,ADE=BFD,ADE=BDF,DFAC,写出一个即可),3.(2017江西中考)如图,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且EFG=90,求证:EBFFCG.,【证明】四边形ABCD为正方形,B=C=90,BEF+BFE=90,EFG=90,BFE+CFG=90,BEF=CFG,EBFFCG.,4.(2017宿迁中考
9、)如图,在ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足DEF=B,且点D,F分别在边AB,AC上.,(1)求证:BDECEF.(2)当点E移动到BC的中点时候,求证:FE平分DFC.,【证明】(1)AB=AC,B=C,DEF+CEF=B+BDE,DEF=B,CEF=BDE,BDECEF.,(2)由(1)得:E是BC的中点,BE=CE,C=DEF,EDFCEF,CFE=EFD,即FE平分DFC.,考点三 相似三角形的实际应用【示范题4】(2017绵阳中考)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上
10、,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心,位置B到镜面中心C的距离是50 cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm,则旗杆DE的高度等于()A.10 mB.12 mC.12.4 mD.12.32 m,【思路点拨】根据题意得出ABCEDC,进而利用相似三角形的性质得出答案.【自主解答】选B.由题意可得:AB=1.5m,BC=0.5m,DC=4m,ABCEDC,则 解得:DE=12m.,【答题关键指导】相似三角形性质的三类应用(1)利用相似三角形对应角相等可以计
11、算角的度数.(2)利用相似三角形对应边成比例可以确立已知线段与未知线段间的等量关系,建立方程求出未知线段的长度或解决与比例式(等积式)有关的证明问题.,(3)利用相似三角形周长之比等于相似比,面积比等于相似比的平方可解决周长与面积问题.,【变式训练】1.(2017兰州中考)如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得EG=15米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜,子里看到凉亭的顶端A,测得EG=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的
12、高度AB约为()A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米,【解析】选A.由光线反射可知AGC=FGE,又FEG=ACG=90,FEGACG,FEAC=EGCG,1.6AC=315,AC=8,AB=AC+BC=8.5米.,2.(2017天水中考)如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为_米.,【解析】根据题意,易得MBAMCO,根据相似三角形的性质可知 即 解得AM=5米.则小明的影长为5米.答案:5,考点四 位似【示范题5】(2017滨州中考)在平面直角坐标系中,点C,D的坐标分别为C(2,3),D(1,0).现以原点为位似中心,将
13、线段CD放大得到线段AB,若点D的对应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐标为_.,【思路点拨】根据位似变换的定义,画出图形即可解决问题,注意有两解.,【自主解答】如图,由题意,位似中心是O,位似比为2,OC=AC,C(2,3),A(4,6)或(-4,-6).答案:(4,6)或(-4,-6),【答题关键指导】直角坐标系中的位似变化(1)在直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.(2)位似中心既可以位于两位似图形的同侧,也可以在两位似图形之间.,【变式训练】1.(2017兰州中考)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心点是O,则=_.,【解析】四边形ABCD与四边形EFGH位似,OEFOAB,OFGOBC,答案:,2.(2017烟台中考)如图,在直角坐标系中,每个小方格的边长均为1,AOB与AOB是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为32,点A,B都在格点上,则点B的坐标是_.,【解析】由题意得:AOB与AOB的相似比为23,又B(3,-2),B的坐标是 即B的坐标是.答案:,
