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1、第二十三讲圆的有关计算,一、正多边形和圆1.定义:各边_,各角也都_的多边形是正多边形.2.正多边形和圆的关系:把一个圆_,依次连接_可作出圆的内接正n边形.,相等,相等,n等分,各分点,二、圆中的弧长与扇形面积1.半径为R的圆中,n的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=_.,2.扇形面积:(1)半径为R的圆中,圆心角为n的扇形面积为S扇形=_.(2)半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形=_.,【自我诊断】(打“”或“”)1.扇形小于半圆.()2.圆锥的侧面展开图的半径等于圆锥的母线长.()3.已知扇形的圆心角为45,半径长为12,则该扇形的弧长为.(),4.弓形的面积等于扇形面积-相应三角形面
2、积.()5.一个圆锥的底面半径是6cm,其侧面展开图为半圆,则圆锥的母线长为9cm.(),考点一 正多边形和圆的有关计算【示范题1】(2017滨州中考)若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为(),【思路点拨】根据题意画出图形,再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可.,【自主解答】选A.如图所示,连接OA,OE,AB是正方形ABCD内切圆的切线,OEAB,四边形ABCD是正方形,AE=OE,AOE是等腰直角三角形,OE=,【答题关键指导】正多边形的有关边的计算的常用公式(1)r2+=R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).(2)l=na(l表示周长,n表示边数,a表示边长).(3)S
3、正n边形=lr(l表示周长,r表示边心距).,【变式训练】1.(2017达州中考)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是(),【解析】选A.如图1,OC=2,OD=2sin30=1;,如图2,OB=2,OE=2sin45=;如图3,OA=2,OD=2cos30=,则该三角形的三边分别为:1,(1)2+()2=()2,该三角形是直角三角形,该三角形的面积是,2.(2017济宁中考)如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2,如此继续下去,则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是_.,
4、【解析】由正六边形的性质得:A1B1B2=90,B1A1B2=30,A1A2=A2B2,B1B2=A1B1=,A2B2=A1B2=B1B2=,正六边形A1B1C1D1E1F1正六边形A2B2C2D2E2F2,正六边形A2B2C2D2E2F2的面积正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=,正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=正六边形A2B2C2D2E2F2的面积 同理:正六边形A4B4C4D4E4F4的面积=答案:,考点二 弧长、扇形面积的计算【示范题2】(1)(2017烟台中考)如图,平行四边形ABCD中,B=70,BC=6,以AD为直径的O交CD于点E,则 的长为(),(2)(2017菏
5、泽中考)一个扇形的圆心角为100,面积为15cm2,则此扇形的半径长为_.,【思路点拨】(1)连接OE,由平行四边形的性质出D=B=70,AD=BC=6,得出OA=OD=3,由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出DOE=40,再由弧长公式即可得出答案.(2)根据扇形的面积公式S=即可求得半径.,【自主解答】(1)选B.连接OE,如图所示:四边形ABCD是平行四边形,D=B=70,AD=BC=6,OA=OD=3,OD=OE,OED=D=70,DOE=180-270=40,(2)因为圆心角为100,面积为15cm2,所以由扇形面积公式S=得R=答案:cm,【答题关键指导】扇形面积公式的选择(1
6、)当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时,选用公式S扇形=.(2)当已知半径R和弧长求扇形的面积时,应选用公式S扇形=lR.,【变式训练】1.(2017枣庄中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB为O的直径,O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,C=60,则 的长为_.,【解析】如图,连接OE,OF,CD是O的切线,OECD,OED=90,四边形ABCD是平行四边形,C=60,A=C=60,D=120,OA=OF,A=OFA=60,DFO=120,EOF=360-D-DFO-DEO=30,的长=.答案:,2.(2017泰州中考)扇形的半径为3 cm,弧长为2cm,则该扇形的面
7、积为_cm2.【解析】根据扇形面积公式,S=lr=23=3cm2.答案:3,考点三 与圆有关的阴影面积的计算【考情分析】与圆有关的阴影面积的计算是各地中考试题命题的热点,常与三角形、四边形、切线等结合进行命题,试题难易度变化较大,呈现形式多样化,有选择题、填空题和解答题.,命题角度1:阴影部分面积由扇形的面积与其他图形的面积和差得到【示范题3】(2017青岛中考)如图,直线AB,CD分别与O相切于B,D两点,且ABCD,垂足为P,连接BD,若BD=4,则阴影部分的面积为_.,【思路点拨】根据阴影部分的面积=扇形OBD的面积-OBD的面积,计算得出答案.,【自主解答】连接OB,OD,因为直线AB
8、,CD分别与O相切于B,D两点,且ABCD,所以PBO=PDO=90,因为OB=OD,所以四边形PBOD是正方形,所以BOD=90,BOD是直角三角形,由勾股定理得OB2+OD2=42,解得OB=2,所以阴影部分的面积=2-4.答案:2-4,命题角度2:阴影部分由多个扇形等简单组合而成【示范题4】(2017德州中考)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半,径为1m,根据设计要求,若EOF=45,则此窗户的透光率(透
9、光区域与矩形窗面的面积的比值)为_.,【思路点拨】把透光部分看作是两个直角三角形与四个45的扇形的组合体,其和就是透光的面积,再计算矩形的面积,相比可得结果.,【自主解答】设O与矩形ABCD的另一个切点为M,连接OM,OG,则M,O,E共线,由题意得:MOG=EOF=45,FOG=90,且OF=OG=1,S透光区域=过点O作ONAD于点N,ON=AB=2ON=S矩形=答案:,命题角度3:阴影面积与折叠、旋转相结合考查【示范题5】(2017济宁中考)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC=1.将RtABC绕A点逆时针旋转30后得到RtADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是(),
10、【思路点拨】先根据勾股定理得到AB=,再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD,由旋转的性质得到RtADERtABC,于是S阴影部分=SADE+S扇形ABD-SABC=S扇形ABD.,【自主解答】选A.ACB=90,AC=BC=1,AB=,S扇形ABD=又RtABC绕A点逆时针旋转30后得到RtADE,RtADERtABC,S阴影部分=SADE+S扇形ABD-SABC=S扇形ABD=.,命题角度4:阴影部分面积与切线相结合【示范题6】(2017临沂中考)如图,AB是圆O的直径,BT是圆O的切线,若ATB=45,AB=2,则阴影部分的面积是(),【思路点拨】设AT交O于点D,连接BD,先根据圆周角
11、定理得到ADB=90,则可判断ADB,BDT都是等腰直角三角形,所以AD=BD=TD=然后利用弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=SBTD.,【自主解答】选C.BT是O的切线;设AT交O于点D,连接BD,AB是O的直径,ADB=90,而ATB=45,ADB,BDT都是等腰直角三角形,AD=BD=TD=弓形AD的面积等于弓形BD的面积,阴影部分的面积=SBTD=,【答题关键指导】求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂问题简单化,便于求解.这种解题方法也体现了整体,思想、转化思想.将不规
12、则图形面积转化为规则图形的面积,常用的方法有:直接用公式法;和差法;割补法.,【变式训练】1.(2017淄博中考)如图,半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合,若BC=4,则图中阴影部分的面积是()A.2+B.2+2C.4+D.2+4,【解析】选A.如图,连接CD,OD,BC=4,OB=2,B=45,COD=90,图中阴影部分的面积=SBOD+S扇形COD=,2.(2017衢州中考)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是O的直径,CD,EF是O的弦,且ABCD EF,AB=10,CD=6,EF=8.则图中阴影部分的面积是()A.B.10C.24+4D.24+5,【解析
13、】选A.作直径CG,连接OD,OE,OF,DG.CG是圆的直径,CDG=90,则DG=又EF=8,DG=EF,S扇形ODG=S扇形OEF,ABCDEF,SOCD=SACD,SOEF=SAEF,S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=,3.(2017怀化中考)如图,O的半径为2,点A,B在O上,AOB=90,则阴影部分的面积为_.,【解析】AOB=90,OA=OB,OAB是等腰直角三角形.OA=2,S阴影=S扇形OAB-SOAB=22=-2.答案:-2,4.(2017荆门中考)已知:如图,ABC内接于O,半径OCAB,点D在半径OB的延长线上,A=BCD=30,A
14、C=2,则由,线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为_.,【解析】由垂径定理可知BC=AC=2.O=2A=60,OB=OC,OBC是等边三角形.OC=BC=2,OCB=60.BCD=30,OCD=OCB+BCD=90.CD=OCtanO=2.S阴影=SOCD-S扇OBC=答案:,5.(2017潍坊中考)如图,AB为半圆O的直径,AC是O的一条弦,D为 的中点,作DEAC,交AB的延长线于点F,连接DA.(1)求证:EF为半圆O的切线.(2)若DA=DF=6,求阴影区域的面积.(结果保留根号和),【解析】(1)连接OD,D为 的中点,CAD=BAD.OA=OD,BAD=ADO.CAD=A
15、DO.DEAC,E=90.CAD+EDA=90,即ADO+EDA=90.ODEF.EF为半圆O的切线.,(2)连接OC,CD.DA=DF,BAD=F,BAD=F=CAD.又BAD+CAD+F=DOB+F=90,F=30,BAC=60.OC=OA,AOC为等边三角形.AOC=60,COB=120.,ODEF,F=30,DOF=60.在RtODF中,DF=6,OD=DFtan30=6.在RtAED中,DA=6,CAD=30,DE=DAsin30=3,EA=DAcos30=9.,COD=180AOCDOF=60,CDAB.故SACD=SCOD.S阴影=SAED-S扇形COD=,考点四 圆锥的侧面积、
16、全面积【示范题7】(2017聊城中考)已知圆锥形工件的底面直径是40 cm,母线长为30 cm,其侧面展开图的圆心角的度数为_.,【思路点拨】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n,根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到40=,然后解方程即可.,【自主解答】设侧面展开图的圆心角的度数为n,圆锥的底面周长=侧面展开图的弧长,则40=,解得n=240.答案:240,【答题关键指导】圆锥的侧面积及全面积(1)圆锥的侧面展开图是扇形,它的弧长为圆锥的底面圆的周长,扇形的半径为圆锥的母线长,圆锥的侧面积等于扇形的面积(2)圆锥的全面积=圆锥
17、的侧面积+底面积.,【变式训练】1.(2017东营中考)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为()A.60B.90C.120D.180,【解析】选C.设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,侧面展开图的圆心角为n,则 2rl=3r2,l=3r,又=3r2,n=120.,2.(2017宿迁中考)若将半径为12 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径是()A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm【解析】选D.根据圆锥底面圆周长=扇形弧长,即l=C得12=2r,所以r=6.,3.(2017无锡中考)已知圆锥的底面半径为3 cm,母线长为5 cm,则它的侧面展开图的面积等于_cm2.,【解析】圆锥的底面半径为3 cm,则圆锥的底面周长为6cm.母线长为5 cm,它的侧面展开图的扇形面积=65=15(cm2).答案:15,
