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1、第十二讲二次函数的图象与性质,一、二次函数的概念及其表达式1.二次函数的概念:形如_(a,b,c是常数,a0)的函数.,y=ax2+bx+c,2.二次函数的表达式:(1)一般式:_.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),其顶点坐标是_.,y=ax2+bx+c(a0),(h,k),二、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质1.当a0时(1)开口方向:向上.(2)顶点坐标:(3)对称轴:直线_.(4)增减性:当x-时,y随x的增大而_.(5)最值:当x=-时,y最小值=_.,减小,增大,2.当a-时,y随x的增大而_.(5)最值:当x=-时,y最大值=_.,增大,减小,【自我诊断
2、】(打“”或“”)1.函数y=2x2+2是二次函数.()2.对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,对称轴是直线x=-1.(),3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则2a+b0.(),4.若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为2或-2.()5.将抛物线y=x2向左平移2个单位,再向下平移3个单位,则新抛物线的解析式为y=(x+2)2-3.()6.函数y=x2的图象开口向上,对称轴是y轴.()7.二次函数y=x2-2x+1与x轴的交点个数是2.(),考点一 二次函数图象和性质【示范题1】(2017枣庄中考)已知函数y=ax2-2ax-1(
3、a是常数,a0),下列结论正确的是()A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点,C.若a0,则当x1时,y随x的增大而增大,【思路点拨】A.将a=1代入原函数解析式,令x=-1求出y的值,由此对选项A进行判断;B.将a=-2代入原函数解析式,令y=0,根据根的判别式,可得出当a=-2时,函数图象与x轴的交点情况,由此对选项B进行判断;C.利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标,令其纵坐标,小于零,可得出a的取值范围,由此判断选项C是否符合题意;D.利用配方法找出二次函数图象的对称轴,结合二次函数的性质,可得出选项D是否符合题意.,【自主解答】选D.A.当
4、a=1时,函数解析式为y=x2-2x-1,当x=-1时,y=1+2-1=2,当a=1时,函数图象经过点(-1,2),A选项不符合题意;B.当a=-2时,函数解析式为y=-2x2+4x-1,令y=-2x2+4x-1=0,则=42-4(-2)(-1)=80,当a=-2时,函数图象与x轴有两个不同,的交点,B选项不符合题意;C.y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,二次函数图象的顶点坐标为(1,-1-a),当-1-a-1,C选项不符合题意;D.y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,二次函数图象的对称轴为x=1.若a0,则当x1时,y随x的增大而增大,D选项符合题意.,【答题关键指
5、导】1.判断a,b,c的符号可从开口方向、对称轴位置、与y轴交点来考虑;顶点坐标和对称轴可根据公式直接计算或确定.2.涉及二次函数增减性首先考虑开口方向,然后计算对称轴,要分对称轴左右两侧来考虑增减性.,3.判断2a-b与2a+b的符号要根据对称轴与x=-1和x=1的关系结合a的正负考虑.4.判断ab+c,4a2b+c,的符号要根据x=1,x=2,时对应的函数值的正负考虑.5.判断b2-4ac的符号要根据抛物线与x轴的交点个数考虑.,【变式训练】1.(2017金华中考)对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是(),A.对称轴是直线x=1,最小值是2B.对称轴是直线x=1
6、,最大值是2C.对称轴是直线x=-1,最小值是2D.对称轴是直线x=-1,最大值是2,【解析】选B.二次函数y=-(x-1)2+2的对称轴是直线x=1.-10,抛物线开口向下,有最大值,最大值是2.,2.(2017威海中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则正比例函数y=(b+c)x与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是(),【解析】选C.由二次函数图象可得,a0,b0,所以|b|c|,即b+c0,即正比例函数图象经过第二、四象限,反比例函数图象经过第一、三象限.,3.(2017菏泽中考)一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示,则
7、二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是(),【解析】选A.一次函数y=ax+b经过第二、四象限,a0;反比例函数y=经过第二、四象限,c0,-0,对称轴在y轴的右边.,考点二 确定二次函数的解析式【示范题2】(2017临沂中考)如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=3OB.(1)求抛物线的解析式.,(2)点D在y轴上,且BDO=BAC,求点D的坐标.(3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在.求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.,【思路点拨】(1)用待
8、定系数法可求得结论.(2)作BFAC交AC的延长线于点F,根据已知条件得到AFx轴,得到F(-1,-3),设D(0,m),则OD=|m|,求出m的值,即可得到结论.,(3)设M(a,a2-2a-3),N(1,n),以AB为边,则ABMN,AB=MN,过M作ME对称轴于点E,AFx轴于点F,于是得到ABFNME,证得NE=AF=3,ME=BF=3,得到M(4,5)或(-2,5);以AB为对角线,BN=AM,BNAM,则N在x轴上,M与C重合,于是得到结论.,【自主解答】(1)由y=ax2+bx-3得C(0,-3),OC=3,OC=3OB,OB=1,B(-1,0),把A(2,-3),B(-1,0)
9、代入y=ax2+bx-3得,抛物线的解析式为y=x2-2x-3.,(2)如图1,作BFAC交AC的延长线于点F,A(2,-3),C(0,-3),AFx轴,F(-1,-3),BF=3,AF=3,BAC=45,设D(0,m),则OD=|m|,BDO=BAC,BDO=45,OD=OB=1,|m|=1,m=1,D1(0,1),D2(0,-1).,(3)设M(a,a2-2a-3),N(1,n),以AB为边,则ABMN,AB=MN,如图2,过M作ME对称轴于点E,AFx轴于点F,则ABFNME,NE=AF=3,ME=BF=3,|a-1|=3,a=4或a=-2,M(4,5)或(-2,5).,以AB为对角线,
10、BN=AM,BNAM,如图3,则N在x轴上,M与C重合,M(0,-3),综上所述,存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,M(4,5)或(-2,5)或(0,-3).,【答题关键指导】二次函数解析式的形式常用的有三种 一般式y=ax2+bx+c(a0)、顶点式y=a(x-h)2+k(a0)和交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a0).答题时要根据题目的不同条件选择适当形式,建立方程或方程组,简化计算过程.,【变式训练】1.(2017上海中考)已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,-1),那么这个二次函数的解析式可以是_.(只需写一个),【解析】抛物线的顶点坐标为(0,-1)
11、,该抛物线的解析式为y=ax2-1,又二次函数的图象开口向上,a0,这个二次函数的解析式可以是y=2x2-1.答案:y=2x2-1,2.(2017枣庄中考)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.,(1)求抛物线的解析式及点D的坐标.(2)点F是抛物线上的动点,当FBA=BDE时,求点F的坐标.(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MNx轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在坐标平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标.,【解析】(1)把B
12、,C两点坐标代入抛物线解析式可得 抛物线解析式为y=-x2+2x+6,y=-x2+2x+6=-(x-2)2+8,D(2,8).,(2)如图1,过F作FGx轴于点G,连接BF.,设 FBA=BDE,FGB=BED=90,FBGBDE,B(6,0),D(2,8),E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,BG=6-x,当点F在x轴上方时,有,解得x=-1或x=6(舍去),此时F点的坐标为;当点F在x轴下方时,有,解得x=-3或x=6(舍去),此时F点的坐标为;综上可知F点的坐标为,(3)如图2,设对称轴MN,PQ交于点O,点M,N关于抛物线的对称轴对称,且四边形MPNQ为正方形,点P为抛物线对称
13、轴与x轴的交点,点Q在抛物线的对称轴上,设Q(2,2n),则M坐标为(2-n,n),点M在抛物线y=-x2+2x+6的图象上,n=-(2-n)2+2(2-n)+6,解得n=-1+或n=-1-,满足条件的点Q有两个,其坐标分别为(2,-2+2),(2,-2-2).,考点三 二次函数与方程、不等式【示范题3】(2017南京中考)已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数)(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是()A.0B.1C.2D.1或2,(2)求证:不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上.(3)当-2m3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.,【自主解答】(1
14、)选D.函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数),=(m-1)2+4m=(m+1)20,则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2.,(2)y=-x2+(m-1)x+m=把x=代入y=(x+1)2得:则不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上.,(3)设函数z=,当m=-1时,z有最小值为0;当m-1时,z随m的增大而增大,当m=-2时,z=;当m=3时,z=4,则当-2m3时,该函数图象的顶点纵坐标的取值范围是0z4.,【答题关键指导】二次函数与一元二次方程的关系(1)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有两个交点,则两个交点的横坐标是相应的一元二次方程
15、ax2+bx+c=0(a0)的两个解.(2)二次函数的图象与x轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判别式的符号确定.,【变式训练】1.(2017随州中考)对于二次函数y=x2-2mx-3,下列结论错误的是()A.它的图象与x轴有两个交点B.方程x2-2mx=3的两根之积为-3,C.它的图象的对称轴在y轴的右侧D.xm时,y随x的增大而减小,【解析】选C.A.因为=(-2m)2-41(-3)=4m2+120,所以图象与x轴有两个交点;B.方程化为x2-2mx-3=0,设两根为x1,x2,则x1x2=-3;C.因为图象的对称轴为x=m,无法确定m与0的大小关系,从而无法判断对称轴与y轴的位置关系;D.因为抛物线开口向上,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小.,2.(2017青岛中考)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是_.【解析】因为抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,所以=(-6)2-41m=36-4m9.答案:m9,
