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1、第十三讲二次函数的应用,列二次函数解应用题1.列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的,不同的是,学习了二次函数后,表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤:,(1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,找出等量关系(即函数关系).(2)设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确.,(3)列函数表达式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数.(4)按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题.(5)检验所得解是否符合实际,即是否为所提问题的答案.,
2、(6)写出答案.2.常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁,抛物线的模型问题等.,【自我诊断】(打“”或“”)1.用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔,圈的面积y(m2)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为y=x(16-2x).()2.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间的关系式是m=.(),3.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形,扇形的面积S与它的半径r之间的函数关系式是S=(40-2r)r.(),考点一 抛物线型实际问题【示范题1】(2017德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明
3、家附近的广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米,的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式.(2)求出水柱的最大高度是多少?,【思路点拨】(1)以水管和地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,利用顶点式y=a(x-1)2+h,求得解析式.(2)先利用顶点式求出顶点坐标,再求出水柱的最大高度.,【自主解答】(1)如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.,
4、由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0 x3).抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线解析式可得,所以,抛物线解析式为y=-(x-1)2+(0 x3).化为一般式为y=-x2+x+2(0 x3).,(2)由(1)知抛物线解析式为y=-(x-1)2+(0 x3).当x=1时,y=.所以抛物线水柱的最大高度为 米.,【答题关键指导】利用二次函数解决实际问题的步骤(1)根据题意,列出抛物线表达式,或建立恰当的坐标系,设出抛物线的表达式,将实际问题转化为数学模型.(2)列出函数表达式后,要标明自变量的取值范围.,(3)根据二次函数图象和性质解决问题,确定最值时,一般最值在顶点处
5、取得,但也要注意,若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据函数的增减性来确定最值.,【变式训练】1.(2017临沂中考)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如表:,下列结论:足球距离地面的最大高度为20m;足球飞行路线的对称轴是直线t=;足球被踢出9s时落地;足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4,【解析】选B.由表格可知抛物线过点(0,0),(1,8),(2,14),设该抛物线的解析式为h=at2+
6、bt,将点(1,8),(2,14)分别代入,得:a+b=8,4a+2b=14,即 解得:a=-1,b=9.,h=-t2+9t=,则足球距离地面的最大高度为 m,对称轴是直线t=,所以错误、正确;h=-t2+9t,当h=0时,t=0或9,所以正确;当t=1.5s时,h=-t2+9t=11.25,所以错误.,2.(2017金华中考)甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m.,(1)当a=-时,求h的值.
7、通过计算判断此球能否过网.(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m,离地面的高度为 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.,【自主解答】(1)把(0,1),a=-代入y=a(x-4)2+h,得1=-16+h,解得h=.把x=5代入y=-(x-4)2+,得y=-(5-4)2+=1.625.1.6251.55,此球能过网.,(2)把点(0,1),代入y=a(x-4)2+h,a=-.,考点二 利用二次函数解决最优化问题【示范题2】(2017济宁中考)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y
8、=-x+60(30 x60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.,(1)求w与x之间的函数关系式.(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?,【思路点拨】(1)利用销售利润=(销售单价-成本)销售量,求w与x之间的函数关系式.(2)配方成顶点式,利用顶点式求二次函数最值,可求出每天最大利润.(3)把w=200代到关系式中,得到一元二次方程,解方程求出销售单价,注意把超过42元的舍去.,【自主解答】(1)w=(x-30)y=(x-30)
9、(-x+60)=-x2+90 x-1800,所以w与x的函数关系式为w=-x2+90 x-1800(30 x60).,(2)w=-x2+90 x-1800=-(x-45)2+225.-10,当x=45时,w有最大值.w的最大值为225.答:销售单价定为45元时,每天销售利润最大,最大销售利润为225元.,(3)当w=200时,可得方程-(x-45)2+225=200,解得x1=40,x2=50.5042,x2=50不符合题意,应舍去.答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元.,【答题关键指导】用二次函数解决实际问题中的最优化问题,其实质就是利用函数图象与性质求
10、函数的最大值或最小值,如经济问题中的最大利润,还有几何问题中的最大面积、最大高度等,其关键是将实际问题“数学化”,即转化为相应的数学模型.,【变式训练】(2017青岛中考)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每间比淡季上涨,如表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录:,(1)该酒店豪华间有多少间?旺季每间价格为多少元?(2)今年旺季来临,豪华间的间数不变.经市场调查发现,如果豪华间仍旧实行去年旺季价格,那么每天都客满;如果价格继续上涨,那么每增加25元,每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素,该酒店将豪华间的价格上涨多少元时,豪华间的日总收入最高?最高日总收入是多少元?,【解析】
11、(1)设有x间豪华间,由题意得解得x=50,经检验x=50是原方程的根,则=800(元/间),答:该酒店豪华间有50间,旺季每间价格为800元.,(2)设上涨m元,利润为w,则w=(800+m)=-m2+18m+40000=-(m-225)2+42025,所以当m=225时,w最大=42025.答:该酒店将豪华间的价格上涨225元时,豪华间的日总收入最高,最高日总收入是42025元.,(2017鄂州中考)鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个时,每周可卖出160个.若销售单价每降低2元,则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元(x为偶数),每周销
12、售量为y个.,(1)直接写出销售量y(个)与降价x(元)之间的函数关系式.(2)设商户每周获得的利润为W元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润最大,最大利润是多少元?(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下,他至少要准备多少元进货成本?,【解析】(1)y=160+20,即y=10 x+160.(2)W=(30-x)(10 x+160)=-10(x-7)2+5290.x为偶数,当x=6或8时,W取最大值5280.,当x=6时,销售单价为80-6=74元/个;当x=8时,销售单价为80-8=72元/个.当销售单价定为74元或72元时,每周销售利润最大,最大利润是5280元.,(3)W=-
13、10(x-7)2+5290,当W=5200元时,-10(x-7)2+5290=5200.解得x1=10,x2=4.销售量y=10 x+160随x的增大而增大,当x=4时,进货成本最小.,当x=4时,销售量y=10 x+160=200,此时进货成本为20050=10000元.答:他至少要准备10000元进货成本.,考点三 二次函数综合应用【示范题3】(2017日照中考)如图所示,在平面直角坐标系中,C经过坐标原点O,且与x轴,y轴分别相交于M(4,0),N(0,3)两点.已知抛物线开口向上,与C交于N,H,P三点,P为抛物线的顶点,抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D.,(1)求线段CD的长及
14、顶点P的坐标.(2)求抛物线的函数表达式.(3)设抛物线交x轴于A,B两点,在抛物线上是否存在点Q,使得S四边形OPMN=8SQAB,且QABOBN成立?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.,【思路点拨】(1)连接OC,由勾股定理可求得MN的长,则可求得OC的长,由垂径定理可求得OD的长,在RtOCD中,可求得CD的长,则可求得PD的长,可求得P点坐标.,(2)可设抛物线的表达式为顶点式,再把N点坐标代入可求得抛物线表达式.(3)由抛物线表达式可求得A,B的坐标,由S四边形OPMN=8SQAB可求得点Q到x轴的距离,且点Q只能在x轴的下方,则可求得Q点的坐标,再证明满足QABOBN
15、即可.,【自主解答】(1)如图,连接OC,M(4,0),N(0,3),OM=4,ON=3,MN=5,OC=MN=,CD为抛物线对称轴,OD=MD=2,在RtOCD中,由勾股定理可得CD=PD=PC-CD=P(2,-1).,(2)抛物线的顶点为P(2,-1),设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2-1,抛物线过N(0,3),3=a(0-2)2-1,解得a=1,抛物线的函数表达式为y=(x-2)2-1,即y=x2-4x+3.,(3)在y=x2-4x+3中,令y=0可得0=x2-4x+3,解得x=1或x=3,A(1,0),B(3,0),AB=3-1=2,ON=3,OM=4,PD=1,S四边形OPM
16、N=SOMP+SOMN=OMPD+OMON=41+43=8=8SQAB,SQAB=1,设Q点纵坐标为y,则 2|y|=1,解得y=1或y=-1,当y=1时,则QAB为钝角三角形,而OBN为直角三角形,不合题意,舍去,当y=-1时,可知P点即为所求的Q点,D为AB的中点,AD=BD=QD=1,QAB为等腰直角三角形,ON=OB=3,OBN为等腰直角三角形,QABOBN,综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(2,-1).,【答题关键指导】解二次函数压轴题的解题技巧认真审题;理解题意、探究解题思路;正确解答.审题要全面,审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择
17、和解题步骤的设计.,解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等.认识条件和结论之间的关系,图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.,当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系.既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃.,【变式训练】(2017潍坊中考)如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3),B(-1,0),D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点F.点P
18、为直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.,(1)求抛物线的解析式.(2)当t为何值时,PFE的面积最大?并求最大值的立方根.(3)是否存在点P使PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.,【解析】(1)将点A(0,3),B(-1,0),D(2,3)代入y=ax2+bx+c,得 所以,抛物线解析式为:y=-x2+2x+3.,(2)因为直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,所以必过其对称中心.由点A,D知,对称轴为x=1,E(3,0),设直线l的解析式为:y=kx+m,代入点 和(3,0),所以直线l的解析式为:由 作PHx轴于点H,交l于点M,作FNPH于点N,点P的纵坐标为yP=-t2+2t+3,点M的纵坐标为yM=,所以PM=yP-yM=则SPFE=SPFM+SPEM=PMFN+PMEH=PM(FN+EH),所以当t=时,PFE的面积最大,最大值的立方根为,(3)由图可知PEA90.若P1AE=90,作P1Gy轴于点G,因为OA=OE,所以OAE=OEA=45,所以P1AG=AP1G=45,所以P1G=AG.所以t=-t2+2t+3-3,即-t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去).,若AP2E=90,作P2Kx轴,AQP2K,则P2KEAQP2,所以 所以,即t2-t-1=0,解得(舍去).综上可知t=1或,
