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1、第十八讲解直角三角形,一、特殊角的三角函数值,1,二、直角三角形中的边角关系1.三边之间的关系:_.2.两锐角之间的关系:_.3.边角之间的关系:sinA=cosB=_,sinB=cosA=_,tanA=_,tanB=_.,a2+b2=c2,A+B=90,三、解直角三角形的应用1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线_的叫做仰角,在水平线_的叫做俯角.,上方,下方,2.坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和_之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母_表示,即i=_;坡面与_的夹角叫做坡角,记作.所以i=_=tan.,水平宽度l,i,水平面,3.方位角:指
2、北或指南的方向线与目标方向所成的小于90的角叫做方位角.,【自我诊断】(打“”或“”)1.三角形任意一个角的对边与邻边的比是这个角的正切.()2.在RtABC中,C=90,若sinA=,则cosB的值是.(),3.ABC中,A,B都是锐角,若sinA=,cosB=,则C=90.()4.若sin(A+30)=,则A=15.(),5.如图,在下列网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则AOB的正弦值是.(),6.对应任意直角三角形的两个锐角A,B,则有sin2A+sin2B=2.()7.坡的坡度是坡角的一个度数.(),考点一 求三角函数值【示范题1】(2017日照中考)在RtABC
3、中,C=90,AB=13,AC=5,则sinA的值为()【思路点拨】根据勾股定理求出BC,根据正弦的概念计算即可.,【自主解答】选B.在RtABC中,由勾股定理得,BC=12,sinA=,【答题关键指导】根据定义求三角函数值的方法(1)分清直角三角形中的斜边与直角边.(2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k(有时也可以设为1),在求三角函数值的过程中约去k.,(3)正确应用勾股定理求第三条边长.(4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值.,【变式训练】1.(2017滨州中考)如图,在ABC中,ACBC,ABC=30,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tanDAC的值为
4、(),【解析】选A.设AC=a,则AB=asin30=2a,BC=atan30=a,BD=AB=2a.tanDAC=2+.,2.(2017怀化中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin的值是(),【解析】选C.作ABx轴于点B,如图,点A的坐标为(3,4),OB=3,AB=4,OA=5,在RtAOB中,sin=,考点二 特殊锐角三角函数值的应用【示范题2】(2017烟台中考)在RtABC中,C=90,AB=2,BC=,则sin=_.【思路点拨】根据A的正弦求出A=60,再根据30的正弦值求解即可.,【自主解答】在RtABC中,C=90,AB=2,BC=,sinA=.A=
5、60.答案:,【答题关键指导】熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)按值的变化:30,45,60角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是 余弦的分子分别是 正切分别是,(2)特殊值法:在直角三角形中,设30角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,2;在直角三角形中,设45角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,1,再根据锐角三角函数的定义推导即可.,【变式训练】1.(2017天津中考)cos60的值等于()【解析】选D.由特殊角的三角函数值得cos 60=,2.(2017聊城中考)在RtABC中,cosA=,那么sinA的值是()【解析】选B.在RtABC中,cosA=A=60,sinA=si
6、n60=,考点三 解直角三角形【示范题3】(2017广州中考)如图,RtABC中,C=90,BC=15,tanA=,则AB=_.,【思路点拨】根据A的正切求出AC,再利用勾股定理列式计算即可得解.,【自主解答】RtABC中,C=90,tanA=,BC=15,解得AC=8,根据勾股定理得,AB=17.答案:17,【答题关键指导】解直角三角形的类型及方法(1)已知斜边和一个锐角(如c,A),其解法:B=90-A,a=csinA,b=ccosA(或b=).(2)已知一直角边和一个锐角(如a,A),其解法:B=90-A,(3)已知斜边和一直角边(如c,a),其解法:由sinA=,求出A,B=90-A.
7、(4)已知两条直角边a和b,其解法:c=由tanA=得A,B=90-A.,【变式训练】(2017安顺中考)如图,O的直径AB=4,BC切O于点B,OC平行于弦AD,OC=5,则AD的长为(),【解析】选B.连接BD.AB是直径,ADB=90.OCAD,A=BOC,cosA=cosBOC.BC切O于点B,OBBC,cosBOC=cosA=cosBOC=.,又cosA=,AB=4,AD=.,考点四 解直角三角形的应用【考情分析】利用解直角三角形解决实际问题是各地中考的热点,这一类题题型通常以解答题为主,利用直角三角形求物体的高度(宽度),解决航海问题等.命题角度1:利用直角三角形解决和高度(或宽度
8、)有关的问题,【示范题4】(2017菏泽中考)如图,某小区1号楼和11号楼隔河相望,李明家住在1号楼,他很想知道11号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在B点测得C点的仰角为60,然后到42米高的楼顶A处,测得C点的仰角为30,请你帮李明计算11号楼的高度CD.,【思路点拨】过点A作AECD于点E,在RtBCD中,用三角函数表示出CD,在RtACE中,用三角函数表示出CE,根据AB=CD-CE列式求出BD,进而求出CD.,【自主解答】过点A作AECD于点E,在RtBCD中,tanCBD=所以CD=BDtan60=BD,在RtACE中,tanCAE=,所以CE=BDtan30=AB=CD-CE=
9、解得BD=CD=BDtan60=BD=63m.答:11号楼的高度CD为63m.,命题角度2:利用直角三角形解决航海问题【示范题5】(2017天津中考)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,求BP和BA的长(结果取整数).,参考数据:sin 640.90,cos 640.44,tan 642.05,取1.414.,【思路点拨】过点P作PCAB,垂足为点C,由题意可知,A=64,B=45,PA=120,在RtAPC中,求得PC,AC的长;在RtBPC中,求得BP,BC的长,即可得BA的长.,【自主解答
10、】如图,过点P作PCAB,垂足为点C.由题意可知,A=64,B=45,PA=120.在RtAPC中,sinA=,cosA=,PC=PAsinA=120sin 64,AC=PAcosA=120cos64.,在RtBPC中,BP=BC=PC=120sin 64.BA=BC+AC=120sin 64+120cos641200.90+1200.44161.答:BP的长约为153海里,BA的长约为161海里.,命题角度3:利用直角三角形解决坡度问题【示范题6】(2017海南中考)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是:水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=
11、11(即DBEB=11),如图所示,已知AE=4米,EAC=130,求水坝原来的高度BC.,(参考数据:sin500.77,cos500.64,tan501.2),【思路点拨】设BC=x米,用x表示出AB的长,利用坡度的定义得到BD=BE,进而列出方程,求出x的值即可.,【自主解答】设BC=x米,在RtABC中,CAB=180-EAC=50,在RtEBD中,i=DBEB=11,BD=BE,CD+BC=AE+AB,即2+x=4+x,解得x=12,即BC=12,答:水坝原来的高度为12米.,命题角度4:利用直角三角形解决实际问题【示范题7】(2017德州中考)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地
12、段安装了一个测速仪器,检测点设在距离公路10m的A处,从B处行驶到C处所用时间为0.9秒.已知B=30,C=45.,(1)求B,C之间的距离.(保留根号)(2)如果此地限速为80km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:1.7,1.4),【思路点拨】(1)过点A作ADBC于点D,利用B=30,C=45,AD=10,求出BD,DC的长,从而得出BC的长.(2)利用 1.7,1.4,求出BC的长,再求出汽车速度,与限速比较,判断是否超速.,【自主解答】(1)如图,过点A作ADBC于点D,则AD=10m.在RtACD中,C=45,RtACD是等腰直角三角形.CD=AD=10m.,在Rt
13、ABD中,tanB=B=30,.BD=10 m.BC=BD+DC=(10+10)m.答:B,C之间的距离是(10+10)m.,(2)这辆汽车超速.理由如下:由(1)知BC=(10+10)m,又 1.7,BC27m.汽车速度v=30(m/s).又30m/s=108km/h,此地限速为80km/h,10880,这辆汽车超速.答:这辆汽车超速.,【答题关键指导】解决解直角三角形的实际问题,有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来,再根据以下方法和步骤解决(1)根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系.,(2)若三角形是直角三角形,根
14、据边角关系进行计算,若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型,正确画出图形找准三角形.,【变式训练】1.(2017烟台中考)如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45,向前走20米到达A处,测得点D的仰角为67.5.已知测倾器AB的高度为1.6米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米,tan67.52.414)(),A.34.14米 B.34.1米 C.35.7米 D.35.74米,【解析】选C.连接BB并延长交DC于点C,则BC=BC=BB=B
15、C-BC,=20.解得DC34.14.DC34.14+1.635.7.,2.(2017重庆中考A卷)如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=10.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为()(参考数据:sin400.64,cos400.77,tan400.84),A.5.1米B.6.3米C.7.1米D.9.2米,【解析】选A.如图,延长DE交AB延长线于点P,作CQAP于点Q,CEAP,DPAP,四边形CEPQ为矩形,CE=PQ=2,CQ=PE,i=设CQ=4x,BQ=3x,由BQ2+CQ2=BC2可得
16、(4x)2+(3x)2=102,解得:x=2或x=-2(舍),则CQ=PE=8,BQ=6,DP=DE+PE=11,在RtADP中,AP=13.1,AB=AP-BQ-PQ13.1-6-2=5.1.,3.(2017德阳中考)如图所示,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE,DF为梯形的高,其中迎水坡AB的坡角=45,坡长AB=6 米,背水坡CD的坡度I=1(I为DF与FC的比值),则背水坡的坡长为_米.,【解析】在等腰直角ABE中,AB=6,AE=DF=6,由坡度知DCF=30,则CD=2DF=12.答案:12,4.(2017青岛中考)如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需绕行B
17、地.已知B地位于A地北偏东67方向,距离A地520km,C地位于B地南偏东30方向.若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A地到C地之间高铁线路的长.(结果保留整数),(参考数据:sin 67,cos 67,tan 67,1.73),【解析】如图,作BDAC于点D,在RtABD中,ABD=67,sin 67=AD AB=480(km),cos 67=,BD AB=200(km),在RtBCD中,CBD=30,tan 30=,CD=BD115(km),AC=CD+DA595(km),答:AC之间的距离约为595km.,5.(2017临沂中考)如图,两座建筑物的水平距离BC=30m,从A点测得D点的
18、俯角为30,测得C点的俯角为60,求这两座建筑物的高度.,【解析】过A作AECD的延长线于点E,则四边形ABCE是矩形,AE=BC=30,AB=CE,在RtADE中,E=90,DAE=30,DE=AEtan 30=30=10,AD=2DE=20,CAE=60,CAD=60-30=30,ACE=90-60=30,CAD=ACE,CD=AD=20,AB=CE=DE+CD=10+20=30.答:这两座建筑物的高度分别是30 m,20 m.,6.(2017长沙中考)为了维护国家主权和海洋权力,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图,正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行,在A处测得灯塔P在北偏东60方向上,继续航行1小时到达B处,此时测得灯塔P在北偏东30方向上.,(1)求APB的度数.(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全?,【解析】(1)在APB中,PAB=30,ABP=120,APB=180-30-120=30.(2)只需算出航线与P点的最近距离为多少即可.过点P作PHAB延长线于点H,在RtAPH中,PAH=30,AH=PH,在RtBPH中,PBH=60,BH=PH,AB=AH-BH=PH=50,算出PH=25 25,所以海监船不会进入暗礁区,继续航行仍然安全.,
