[理学]逆矩阵的求法1无附录.doc

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1、毕业论文（设计）用纸目 录摘要ABSTRACT第1章 绪论11.1 课题的意义及背景介绍11.2 课题的主要内容4第2章 矩阵的基础知识52.1 矩阵的定义及性质52.1.1 矩阵的定义52.1.1 矩阵的性质112.2 逆矩阵的定义及性质132.2.1 逆矩阵的定义132.2.1 逆矩阵的性质13第3章 逆矩阵的求法133.1 初等变换法143.2 伴随矩阵法193.3 利用矩阵方程求逆矩阵法213.4 解方程组法22结论26致谢27参考文献28附录129附录233佳木斯大学教务处 摘 要我们知道，矩阵是现代自然科学、工程技术乃至社会科学等许多领域一个不可缺少的数学工具,作为矩阵的一个重要分

2、支，逆矩阵也具有重要的作用。逆矩阵理论是本世纪矩阵理论中一项极为重要的新发展，特别自50年代以来，逆矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的进展。比如在概率统计、数学规划、数值分析、控制论、博弈论和网络论等领域。可以这样说，凡是用到矩阵的地方，都有可能用到逆矩阵。文中首先介绍了矩阵和逆矩阵的发展和意义，体现出矩阵在现代科学领域中的重要作用。并且在给出矩阵和逆矩阵定义和性质的基础上，分析了逆矩阵的各种求法。历史上许多数学家对逆矩阵的求法付出了大量的心血进行研究，文章着重介绍了逆矩阵的四种不同求法，即：初等变换法、伴随矩阵法、利用矩阵方程求逆矩阵法、解方程组法。最后对论文研究的总体思路进行了总结，进

3、一步阐述了论文研究的重要意义。关键词: 矩阵；逆矩阵；初等变换；伴随矩阵；矩阵方程 AbstractWe know that,Matrix is an indispensable mathematical tools in the modern natural science, engineering technology,social science and many other fields,As an important branch of the matrix , the inverse matrix also plays an important role .The inverse

4、matrix theory is a very important new development of matrix theory in this century.Especially since the 1950s,the theory and calculation method of the inverse matrix has made considerable progress.For example,in probability and statistics,mathematical programming, numerical analysis , control theory

5、,game theory and network theory and other fields.The application of the matrix is extensive.This article first describes the development and significance of the matrix and the inverse matrix and the important role of matrix in the field of modern science.In this paper, the author gives the finding o

6、f inverse matrix through use the definitions and properties of matrix.Many mathematicians make lots of works to find the method of finding inverse matrix. The article focuses on four different methods for finding the inverse matrix,such as elementary transformation,adjoining matrix,using matrix equa

7、tion solve inverse matrix,matrix equation. Finally,the general idea of the article are summarized and the significance meaning are described .Key words: matrix；inverse matrix；elementary transformation；adjoining matrix； matrix equation 佳木斯大学教务处 第 II 页第一章 绪论1.1课题的意义及背景介绍矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，

8、也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵在它的课题诞生之前就已经发展的很好了。18世纪中期，数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题，即二次型的化简。在这一问题的研究中，数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论。1748年，瑞士数学家欧拉(LEuler，17071783)在将三个变数的二次型化为标准型时，隐含地给出了特征方程的概念。1773年，法国数学家拉格朗日(JLLagrange，17361813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换。1801年德国数学家高斯(CFGau

9、ss，1777一1855)在算术研究中，将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广，给出了两个线性变换的复合，而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积。另外，高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念，在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念。1826年，柯西在微积分在几何中的应用教程中讨论了二次型束的特征根使束的行列式为零的情况，证明了当其中一个二次型对变数的所有非零实数值是正定的时，束的特征根全为实数。从18世纪中期到19世纪初，数学家们在研究二次型的过程中涉及到大量的线性变换，得到了许多重要概念和结论。由于二次型和线性变换均可以使用矩阵来表示，所以这些概念

10、和结论也就可以自然而然地移植到矩阵理论之中。因此二次型理论是矩阵思想得以孕育的重要源泉之一。“从逻辑上来说，矩阵的概念应先于行列式的概念，但在历史上却正好相反”。18世纪中叶，数学家们开始用行列式的法则解线性方程组，在大量关于行列式的计算中用到矩阵的一些基本性质。1815年，柯西在一篇关于行列式理论的基础性论文中用缩写的记号代表被其称之为“对称组”的矩阵。另外，在柯西有关行列式的工作中，还涉及到正规矩阵、对称矩阵以及相似变换等问题。在相似行列式的研究中，柯西证明了相似变换有相同的特征根。1827年，德国数学家雅可比(J.Jacobi,18041851)得出结论“斜对称矩阵的秩是偶数”。1843

11、年，德国数学家艾森斯坦(F.G.Eisenstein,18231852)用明确的符号来表示两个变换和的复合，并在1844年的一篇论文中针对这种变换的复合写道：“顺便地，在它的基础上可以建立一个算法，其中包括把乘除法以及乘幂的一般运算规则应用到两个线性方程组的符号方程上。正确的符号方程总是可以得到，它思考的中心问题是因子的顺序，即方程组复合的顺序往往不可以改变”。很明显，艾森斯坦这里所说的变换的一般运算规则实际上就是矩阵的运算法则，并指出矩阵运算不符合交换律。由此看出，矩阵的概念还没有明确给出，而在行列式的计算中，矩阵作为一种工具就已经开始自由地使用了。但那时的矩阵仅作为行列式的排列形式，在行列

12、式的计算中遵循了矩阵的运算法则。因此伴随线性方程组的求解而产生的行列式理论是矩阵思想的里一个重要源泉。1858年，凯莱发表了重要文章矩阵论的研究报告，系统地阐述了矩阵的基本理论。在该文中，他用单个的字母表示矩阵，定义了零矩阵、单位矩阵等特殊矩阵，定义了两个矩阵相等、相加以及数乘矩阵，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性，数与矩阵的数乘等运算和算律。在该文中，凯莱从两个变换的复合给出两个矩阵乘积的定义，得出矩阵乘法满足结合律一般不满足交换律，推广了矩阵乘积的转置的一般性质。利用一般的代数运算和矩阵运算的相似性得出矩阵的一些结论，他把方程组的解用矩阵的逆来表示，给出“当时逆矩阵的概念就没有了”，即当

13、行列式为零时矩阵不可逆，并把这一结论称为“当时矩阵是不定的”。文章中凯莱还用矩阵的简化记法推出了方阵的特征方程和特征根(特征值)的重要结论：“每一个矩阵都满足它的特征方程”，这是“矩阵理论中最著名的理论之一”引。凯莱对于二、三阶矩阵的情况给出证明，并且说明没有必要去验证一般的矩阵。由于爱尔兰数学家哈密顿(WRHamilton，1805-1865)的四元数理论涉及到的一个线性变换满足它的特征方程，所以该结论被称为“凯莱一哈密顿定理”。凯莱的这一结论遵循矩阵乘法的特殊规则以及不满足交换律的特征，具有四元数理论所不具备的将超复数当作矩阵看待的思想，为进一步将矩阵论与超复数相联系来研究超复数代数提供了

14、新的工具。凯莱的矩阵论的研究报告的公开发表标志着矩阵理论作为一个独立数学分支的诞生。作为矩阵理论的创立者，凯莱在矩阵理论的创立与发展中做了开创性的工作，他是第一个把矩阵作为独立的概念提出来，并作为独立的理论加以研究的数学家。从矩阵概念的引入、相关概念的定义、运算的定性与求法到矩阵一些重要结论的建立，凯莱关于这个课题发表了一系列研究成果，使得矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系。凯莱创立矩阵理论之后，数学家们并没有停止对矩阵的研究，在19世纪下半叶，许多数学家在不同的数学领域进一步研究和发展着矩阵理论。其中西尔维斯特、弗罗伯纽斯和约当等就是他们中的重要代表。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G

15、.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支矩阵论。

16、而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技、现代自然科学、工程技术乃至社会科学等许多领域都是一个不可缺少的工具。因此作为矩阵的重要分支，逆矩阵的应用也相当广泛。可以说，凡是用到矩阵的地方，都有可能用到逆矩阵。随着逆矩阵研究的深入，其应用的范围越来越广，在数理统计、线性规划、经济学、数值分析、控制论、网络和测绘等领域的许多问题都需要用逆矩阵来解决。在研究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，无约束、约束规划问题，系统识别问题和网络问题等领域，逆矩阵更是不可缺少的研究工具。1.2 课题的主要内容逆矩阵的求法有

17、很多种，例如有:初等变换法、伴随矩阵法、利用矩阵方程求逆矩阵法、解方程组法 。作者通过借阅相关资料，与指导老师及同学探讨等方式针对矩阵不同特点及不同结构归纳出几种求法。本文在第二章给出矩阵、逆矩阵定义及相关的性质。在第三章给出逆矩阵的求法及例题，如：初等变换法、伴随矩阵法、利用矩阵方程求逆矩阵、解方程组法等。最后对论文研究的总体思路进行了总结，进一步阐述了论文研究的重要意义。第二章 矩阵的基础知识2.1 矩阵的定义及性质2.1.1 矩阵的定义定义 2.1 由个数排成行列（横为行，竖为列），并括以方括号（或圆括号）的矩形数表称为行列矩阵，简称矩阵。通常用大写的字母表示。有时为了表明一个矩阵的行数

18、与列数，用或来表示一个行列矩阵。矩阵中的元素一般用小写字母来表示，其中是位于矩阵中第行第列交叉点上的元素，其中第一个数称为它的行标，第二个数称为它的列标。例如是一个矩阵，中元素。特别的，当时，矩阵只有一行，即称为行矩阵。当时，矩阵只有一列，即 称为列矩阵。当时，矩阵的行数和列数相同，即称为n阶方阵。在n阶方阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线。主对角线的元素全为1其他元素全为0的n阶方阵，即称为n阶单位方阵，记作。当一个矩阵中所有的元素全为0时，即称为零矩阵，记作。定义 2.2 若两个矩阵，满足 （1）行数相同，即；（2）列数相同，即；（3）对应元素

19、都相等，即。则称矩阵和矩阵相等，记作。定义2.3 若矩阵都是矩阵（同型矩阵），则称矩阵，其中为矩阵与的和或差。记作。例2.1 已知矩阵求。解 。定义 2.4 若矩阵为任意常数，则。即把数与矩阵中的每个元素相乘所得的矩阵称为数与矩阵的乘积（简称数乘矩阵）。 在矩阵中每个元素前面都加上一个负号所到的矩阵，称为的负矩阵，记为。显然。定义 2.5 设两个矩阵即则A与B的乘积是一个矩阵，记为。即其中矩阵中的每一个元素为。注 由定义知（1）要计算矩阵A与B的乘积，只有当左边矩阵A的列数与右边矩阵B的行数相等时，才能计算；（2）两个矩阵的乘积是矩阵，它的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数；（3）乘积

20、矩阵中位于第行第列的元素，等于的第行元素与B的第列元素对应相乘的代数和，简称行乘列法则。例2.2 已知矩阵计算。解 由定义知。例2.3 已知矩阵计算与。解 （1）由于的列数为2，的行数为3，两者不等，因此无法计算。（2）例2.4 已知矩阵计算与。解 。 注 由上边两个例子可以看出，矩阵的乘法一般不满足交换律，在计算与时，一个能计算，另一个可能没有意义（如例2.3）；即使与都能计算，两者也未必相等（如例2.4）。特别地，若与都能计算，且，则称与是可交换矩阵。定义 2.6 若一个阶方阵，满足，则称为对称矩阵，如就是一个对称矩阵。定义 2.7 n阶方阵的元素按原排列形式构成的n阶行列式，称为方阵的行

21、列式，记为或，即 由阶方阵的行列式的元素的代数余子式构成的n阶方阵，记为，即 称为方阵A的伴随矩阵。定义 2.8 把一个矩阵的行与列的位置互换，从而得到一个矩阵，称为的转置矩阵。记为或。即。例如，若则。2.1.2 矩阵的性质 性质2.1 设为任意矩阵，可以验证矩阵的加法满足下列规律： （1）（2）。性质2.2 设矩阵为任意的矩阵，为任意的实数，可以验证数乘矩阵满足下列规律： （1）（2）（3）（4）。性质2.3 矩阵的乘法满足下列运算规律： （1）（2）（为常数）（3）。例2.5 已知矩阵计算与。解 由矩阵运算法则，可得 由此例可知，矩阵的乘法与数的乘法不一样，在矩阵的乘法中，但可能。同时也可

22、以看出，但，这说明矩阵的乘法不满足消去率，即由，不能得出。性质2.4 矩阵的转置满足下列运算规律： （1）（2）（3）（k为常数）（4）。例2.6 已知矩阵求。解 。2.2 逆矩阵的定义及性质2.2.1 逆矩阵的定义定义 2.9 设为阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得，则称是可逆的，叫做的逆矩阵，记作，即。2.2.2 逆矩阵的性质性质2.5 如果有逆矩阵，则其逆矩阵是唯一的。证明 设都是的逆矩阵，则于是。性质2.6 的逆矩阵的逆矩阵是，即。性质2.7 如果阶矩阵，的逆矩阵都存在，那么它们乘积的逆矩阵也存在，且。证明 事实上，于是。性质2.8 若可逆，则也可逆，并且。性质2.9 若可逆，则。性质2.1

23、0 若可逆，数，则也可逆，且。第三章 逆矩阵的求法3.1 初等变换法定理 级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积： （3-1）由此即得推论3.1 两个矩阵等价的充分必要条件为，存在可逆的级矩阵与可逆的级矩阵使把（3-1）改写一下，有 （3-2）因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵的左边乘初等矩阵就相当于对作初等行变换，由（3-2）有下面的推论3.2推论3.2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。以上的推论提供了一个求逆矩阵的方法。设是一级可逆矩阵。由推论3.1、3.2有一系列初等矩阵使 （3-3）由（3-3）即得 （3-4）（3-3），（3-4）两个式子说明

24、，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到。把，这两个矩阵凑在一起，做成一个矩阵按矩阵的分块乘法，（3-3），（3-4）可以合并写成 （3-5） （3-5）式提供了一个具体求逆矩阵的方法。作矩阵，用初等行变换把它的左边一半化成，这时，右边的一半就是，即。例3.1 已知方阵求。解 先做24矩阵，然后对其施以初等行变换所以。例3.2 已知方阵求。解 作36矩阵，并对其施以初等行变换所以。我们发现，运用初等行变换可以对矩阵求逆，那么同样，我们也可以运用初等列变换对矩阵求逆。作矩阵，用初等列变换把它的上边一半化成，这时，下边的一半就是，即例3.3

25、 用初等列变换求逆矩阵。解 作63矩阵，并对其施以初等列变换所以。例3.4 用初等列变换求逆矩阵。解 作矩阵，并对其施以初等列变换所以。注 在此，我们还须指出以下两点（1）应用初等变换求方阵A的逆矩阵时，不需要事先判断方阵A是否可逆，只需对矩阵施以初等变换。若A能化为E，则就求得了；若A不能化为E，即可知A不可逆。（2）由上述可知，若不知n阶方阵A是否可逆，用上述初等行变换方法也可判断A是否可逆。3.2 伴随矩阵法根据定义2.7，用伴随矩阵法求n阶方阵的逆矩阵有下述结论：n阶方阵可逆的充分必要条件是其行列式，且。例3.5 利用伴随矩阵求下列方阵的逆矩阵：。解 方阵的行列式，因此可逆。又所以。例

26、3.6 利用伴随矩阵求下列方阵的逆矩阵：。解 方阵的行列式 ，因此可逆。又所以。例3.7 利用伴随矩阵求下列方阵的逆矩阵：（1），（2）。解 （1）方阵的行列式，因此可逆。又所以。 （2）方阵的行列式，故不可逆。注 用伴随矩阵法求n阶方阵的逆矩阵时，首先需要判断是否可逆，即计算的行列式，当时，可逆，其次，需要计算的伴随矩阵，共需计算个代数余子式。显然，这种方法计算量较大。就两种求逆矩阵的方法而言，用初等行变换法较好，且容易在计算机上实现。3.3利用矩阵方程求逆矩阵 根据题中所给出的矩阵方程进行变换，得出所求矩阵进而得到其逆矩阵。例3.8 已知，且证明可逆，并求。证明 由得，即，故可逆且。例3.

27、9 已知证明可逆，并用表示。证明 由已知得，于是，故可逆，且。例3.10 已知求证可逆，并用表示。证明 由得。有 ，即有 ，即所以可逆，且。3.4 解方程组法根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵，且上（下）三角矩阵的主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素；又由两端对应元素相等，依次可得只含一个待求元素的诸线性方程，因而待求元素极容易求得，故此法常用来求上（下）三角矩阵的逆矩阵。例3.11 求下列矩阵的逆矩阵，已知。解 设先求出中主对角线下的元素，再求，最后求。设为四阶单位矩阵，比较的两端对应元素，得到； 解之，； 解之，； 解之，； 解之，；

28、解之，； 解之，于是，所求的逆矩阵为。 例3.12 求下列矩阵的逆矩阵，已知。解 设先求出中主对角线上的元素，再求，最后求。设为四阶单位矩阵，比较两边的对应元素，得到； 解之，； 解之，； 解之，； 解之，； 解之，； 解之，于是，所求逆矩阵为。结 论文章较全面的阐述了矩阵与逆矩阵的基本理论，并且提供了逆矩阵的四种求法，以体现逆矩阵在代数学中的重要性与应用。矩阵是线性代数的主要内容，并且在数学领域、力学、物理、科技、现代自然科学乃至社会科学等许多领域都是一个不可缺少的工具，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。逆矩阵作为矩阵论的一个重要分支，他的部分不可或缺。因此逆矩阵的应用也相当广泛。例

29、如在数理统计、线性规划、经济学、数值分析、网络和测绘等领域的许多问题都需要用逆矩阵来解决。如何求逆矩阵则是本篇文章的重点。逆矩阵的求法在本文中主要深入研究了四种，分别是初等变换法、伴随矩阵法、利用矩阵方程求逆矩阵法、解方程组法。文中第一章介绍了逆矩阵的产生及其发展过程，矩阵是数学中一个及其重要且应用广泛的概念，是代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的分支，逆矩阵也有着同样重要的作用及广泛的应用。第二章介绍了矩阵及逆矩阵的基础知识。最后第三章是文中的重点，介绍了四种求逆矩阵的方法，每一种方法都给出了详细的求解过程，并对这些方法的使用范围、特点及优缺点进行了归纳。论文的研究，进一步明确了

30、逆矩阵求法的作用，对其它领域的相关问题的研究也将起到一定的指导作用。致 谢在此次完成毕业论文的过程中，首先要感谢我的论文指导教师赵宇老师在忙碌的工作当中为我查阅资料，帮助我不断的修改论文，赵宇老师为我的论文付出了大量的心血，所以我要由衷的感谢赵宇老师对我的帮助，她给我讲解论文所需知识，对论文初稿屡次改正，同时也要感谢数学系其他老师对我无私的帮助。 作为一名师范生，在撰写毕业论文的过程中使我深深的体会到了作为一名教师的含义。赵宇老师对学生的无私，她把自己掌握的全部知识和经验毫无保留的传授给自己的学生。在学校的最后这段时光每一刻都被她所感动。赵宇老师有严肃的科学态度，严谨的治学精神和精益求精的工作

31、作风，这些都是我所需要学习的。最后，感谢在这四年中不断给予我帮助、鼓励和支持的老师和同学们!谢谢大家! XXX 2012年6月参考文献1 董可荣，包芳勋.矩阵思想的形成与发展.自然辨证法通讯.2009, 31(01):56-612 李涂鸿.通俗线性代数讲义.中国人民大学出版社, 2003:40-593 张贤达.矩阵分析与应用.清华大学出版社,2004:64-704 杨明，刘先忠.矩阵论.华中科技大学出版社, 2003:77-875 陈卫星，崔书英.线性代数.清华大学出版社, 2007:92-1026 王丽霞.逆矩阵的几种求法.雁北师范学院学报.2007, 23(02):82-847 杨访，丁俊

32、.线性代数及应用.东南大学出版社, 2007:33-388 胡晶.逆矩阵定义及有关教材内容的改革.河北广播电视大学学报.2012,6(04):55-569 王松桂，杨振海.广义逆矩阵及其应用.北京工业大学出版社, 1996:195-20910 刘志高，张建.可逆矩阵及其伴随矩阵、逆矩阵的一些共同特性.忻州师范学院学 报.2009, 25(05):30+6311 王萼芳，石生明.高等代数.高等教育出版社, 2003:192-19312 徐德余.求逆矩阵与广义逆矩阵的统一方法.绵阳师范学院学报.1996, 23(05):5-813 刘长炽.矩阵的伴随矩阵的概念、性质及应用.重庆师范学院学报（自然科学版）, 1992, 9(2):17-2014 黑志坚.一种矩阵求逆方法.哈尔滨工业大学学院.2004,36(10):1351-135315 Joel N. Franklin.Matrix Theory. Prentice-Hall, ING.Englewood Cliffs, N.J.1968:17-1916 Roger A.Horn, Charles R.Johnson. Matrix Analysis.Publish by the Press Syndicate of the University of Cambridge.1985:65-11228佳木斯大学教务处 第 页