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1、向量复习题知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行单位向量：模为1个单位长度的向量 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法： 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差。作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4、实数与向量的积：实数与向量的
2、积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）； （）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6、平面向量基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 分别为与轴，轴正方向相同的单位向量1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 2平面向量的坐标运算：（1） 若，则（2） 若，则（3）若=(x,y)，则=(x, y) （4）若，则（4）若，则 ，若，则三
3、平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立： ； 6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=0
4、0，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：O平面向量数量积的性质11、向量的三角不等关系 注意取等条件（共线）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知两点，则P点坐标是 （ ）A B C D2下列向量中，与向量平行的向量是（ ）A BC D3a，b，则向量a在向量b方向上的投影长度为 （ ） A B C D4在三角形ABC中，C=450， a=5 ,b=4, 则 （ ）A10 B20 C D-205已知的夹角为钝角，则的范围是 （ ）A B C D6一只鹰正以水平方
5、向向下300角飞行直扑猎物，太阳光从头上直射下来，鹰在地面上影子 的速度为40m/s，则鹰飞行的速度为 （ ）A20m/s Bm/s C20m/s D80m/s7O为平面中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足（）（）=0，则点P的轨迹一定过ABC的 （ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心8.已知，C为上距A较近的一个三等分点，D为上据C较近的一个三等分点，用表示OD的表达式为 （ ）A. B. C. D.9已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P，且，则点P与 的位置关系是 （ ）AP在内部 BP在外部CP在AB边上或其延长线上 DP在AC边上或其延长线上10. 若i= (1,
6、0), j =(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是 ( )A3i+2j B2i+3j C3i+2j D2i3j 11.对于菱形ABCD，给出下列各式： ；2其中正确的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个12在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80o,sin80o）,B(cos20o,sin20o),则AB的值是（）ABCD1 二、填空题13.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则ABC的形状是 . 14.已知实数x,y，向量不共线，若（x+y-1）+（x-y）=，则x= ,y= 15若三点共线，则x = 16在中，有命题：；0；若，则为等腰三角形；若，则为锐角三角形.其中正确的
7、命题序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题17.（满分12分）设两个非零向量和不共线.(1)如果，若A、B、D三点共线，求k的值.(2) 若=2，=3，与的夹角为，是否存在实数，使得与垂直？并说明理由.18（12分）已知向量；求（1）的值；（2）与的夹角的正弦值19（本小题满分12分）在设， ，求：（1）; （2） ; （3）cos; 20. （本小题满分12分）已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a.（1） 若，且c/a，求c的坐标；（2） 若b且a+2b与a-2b垂直，求a与b的夹角.21（本小题满分12分） 已知向量上的一点（O为坐标原点），求的最小值22（本小题满分
8、14分）已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos,sin),(,).（I）若|=|，求角的值；（II）若=-1，求的值.BDBCA BDA DC CD4C 5A 为钝角且不反向.6B 设鹰飞行的速度为，其在地面上的影子的速度为，由已知，可得.二.填空13.锐角三角形14. 0.5，0.515. 16.三.解答17. 证明：（1） +=（+）+（）+（）=6（+）=6 （2分） 且与有共同起点 （3分） 、三点共线 （4分）（2）假设存在实数，使得与垂直，则（）（）= （6分） =2，=3，与的夹角为 ， 故存在实数，使得与垂直 18解：显然=3（1，0）2（0，1）=
9、（3，2），=4（1，0）+（0，1）=（4，1）；易得：=34+（2）1=10；=（3，2）+（4，1）=（7，1），=。cos=，sin=。19（1）=-1分-3分 （2）=；-6分 （3），-8分 -9分 20. (1)(2, 4)或(2，4) (2)21填8.设.则22（本小题满分14分）解：（I）=(cos-3,sin)，=(cos,sin-3), -2分|=,|=. -4分由|=|得sin=cos.又(,)，=. -6分（II）由=-1,得(cos-3)cos+sin(sin-3)=-1.sin+cos= -8分由上式两边平方得1+2sincos=,2sincos=. -10分又=2sincos. -12
