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1、范德蒙行列式的应用摘要 行列式是线性代数的主要内容之一，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，有着很重要的作用。而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。关键词：行列式；范德蒙行列式；向量空间理论；线性变换理论；微积分VANDERMONDE DETERMINANT OF APPL
2、ICATIONSABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear
3、algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. Its proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vande
4、rmonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory
5、 and infinitesimal calculus.Key words: linear algebra， Vandermonde determinant， theory of vector spaces， linear transformation theory， infinitesimal calculus.第一章 绪 论1.1 引言我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法.形如行列式 (1)称为n 阶的范德蒙（Vandermonde）行列式.我们来证明，对任意的 阶范德蒙行列式等于这n 个数的所有可能的差（1jin）的乘积.1.2 范德蒙德行列式的证明1.2.1 用数学归纳法证明范
6、德蒙德行列式我们对作归纳法.（1）当时， 结果是对的.（2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有()()()后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差（2jin）；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明. 用连乘号，这个结果可以简写为由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是这n个数中至少有两个相等.1.2.2 用定理证明范德蒙德行列式已知在级行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行
7、列式等于与它的代数余子式的乘积 ，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得=根据上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有=同样可得=（）()()此处是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得=（）()（）1.3 范德蒙行列式的性质利用行列式的性质容易推得：1、 若将范德蒙行列式逆时针旋转可得2、 若将范德蒙行列3、 若将范德蒙行列式第二章 范德蒙行列式的应用2.1 范德蒙行列式在行列式计算中的应用利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。但是对于一些结构特殊的行列式，可以考虑用一些特别的方法。下面以n阶范德蒙行列式为例，我们来说明怎样利用
8、n阶范德蒙行列式来简化行列式的计算。对于（1）式而言，n阶行列式D_n的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1。根据范德蒙行列式的这种结构特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后利用其结果计算。常见的化法有以下几种：所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序,拆行（列）等）将行列式化为范德蒙行列式。例1 计算解：由范德蒙行列式的性质3得2.1.1用提取公因式计算行列式例2 计算解：中各行元素都分别是一个数的不同方幂，而且方幂次数从左至右按递增次序排列，但不是从0变到n-
9、1，而是由1递升至n，如提取各行的公因数则方幂次数便从0变到n-1，于是得上式右端行列式即为n阶范德蒙行列式，故.2.1.2调换各行（或各列）的次序计算行列式例3 计算解：本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第n+1行依次与上行交换直至第1行，第n行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n行，于是共经过n+(n-1)+(n-2)+次行的交换得到n+1阶范德蒙行列式：2.1.3用拆行（列）计算行列式若第i行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且中含有由n个分行（列）组成的范德蒙行列式，
10、那么将的第i行（列）乘以-1加到第（i+1）行（列），消除一些分行（列），即可化成范德蒙行列式。例4 计算D.解：将D的第1行乘以-1加到第2行得：再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行得：再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：该式即为4阶范德蒙行列式，故D例5 解：第一步，先从第一行中提出公因子，然后在所得行列式中第一行乘以加到第行，消去第三行以后的所有常数项；第二步，从所得行列式的第二行中提出公因子，然后在所得行列式中第二行乘以，加到第k行，消去第三行以后的所有一次项，这样继续下去，最后就得到2.1.4 用加边法计算行列式：各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的
11、行列式，可用此方法：例6 计算行列式D=的值.分析：行列式D与Vandermonde行列式比较而言少了一行3次方幂的数，故可利用加边的方法在第3行与第4行之间加上的行，再加上相应的一列1，则利用行列式的展开式中的系数可得行列式D的解，考虑5阶Vandermonde行列式.解：为了计算上述行列式，我们构造5阶范德蒙行列式如下：对于行列式，按第五列展开得分析上式中的系数知也即行列式的值为的按第五列展开式中系数的相反数.又由范德蒙行列式定理可得将上式展开为的四次多项式得的系数为-(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)（a）因此所求行列式的值为D=(b-a)(c-a)(d-a)(
12、c-b)(d-b)(d-c)（a）.例7 证明循环行列式的值由下式给出：，而所有的次单位根.证明：因为为n个不同的n次单位根，所以由它们构成的n阶范德蒙行列式不等于零，为此作乘积由行列式的乘法规则可知，D的第i行第j列元素 其中规定,故，于是因为的第行第列的元素，即上面的行列式也等于，且原循环列行列式的值为，由行列式D的形状可知利用本题可得下列两式.2.2 范德蒙行列式在微积分中的应用例8 确定常数使得当x0时为最高阶的无穷小，并给出其等价表达式.解：对的各项利用泰勒公式，有当时，若最高阶无穷小在6阶以上，则有方程组其系数行列式为范德蒙行列式，由于，故以为未知数的方程组只有零解：从而，这显然不
13、合题意，故以下考虑当时最高阶无穷小为6阶的情形.令等价于此时为未知数的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式方程组有唯一一组依赖于的解：从而在的领域内的最高阶无穷小有下述形式的表达式.例9 设至少有阶导数，且对某个实数有试证：证明：由已知条件，要证明只要将写成与的线性组合即可.利用泰勒公式，（1）其中这是关于的线性方程组，其系数行列式为D后一行列式为范德蒙行列式，其值为1，故D=1，于是可从方程组（1）把写成的线性组合，我们只要证明即可.事实上，设x，于是.在此式中分别令.2.3 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们会经常遇到需要用范德蒙行列式转化的问题，通过转化，我们很容
14、易就能得到需要的结论.例10 设是数域上的维向量空间，任给正整数，则在V中存个向量，其中任取个向量都线性无关.证明：因为所以只须在.取令是范德蒙行列式，且所以.2.4 范德蒙行列式在线性变换理论中的应用在高等代数的学习中，线性变换一直是一个重点，也是难点，题目的变化也比较多，在有些题目中，我们可以巧妙的运用范德蒙行列式来解决这类题目。例11 设数域上的维向量的线性变换有个互异的特征值，则（1） 与可交换的V的线性变换都是线性无关的重要条件为这里证明： 设是与可交换的线性变换，且则且则由以下方程组因为方程组的系数行列式是范德蒙行列式，且所以方程组有唯一解，故（2）充分性因为所以并且所以 是可逆矩
15、阵，又因为是V的一组基，线性无关.必要性设的特征向量，则，i=1,2，则，不妨设全不为零，而，因而有则利用范德蒙行列式可知有一个阶子式不为零，所以，从而,又因为 r线性无关，所以这里，i=1,2，第三章 结 论我们在计算行列式时，若注意到行列式的行（列）含有从高到低或从低到高的幂次，常可考虑利用Vandermonde 行列式来计算。利用范德蒙德行列式的结论计算并不复杂,难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形式。这具有较高的技巧,这需我们在学习的同时不断总结,揣摩其规律。只要熟悉了范德蒙行列式适用的形式和使用技巧，便可以很好地应用范德蒙行列式了。以上几例是范德蒙行列式与有关数学知识的综合运用，
16、将行列式的定理、性质融会于一体，贯穿于证明及计算行列式之中，体现用较高的解题技巧解决较为复杂的问题，这正是数学教学研究和探索的方向。参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，20032 王萼芳.高等代数教程M.北京：清华大学出版社，19973 周士藩.高等代数解题分析M.江苏：江苏科技大学出版社，19854 屠伯埙.线性代数方法导引M.上海：复旦大学出版社.19865 牛莉.线性代数M.北京：中国水利水电出版社.20056 邹应.数学分析习题及其解答M.武汉：武汉大学出版社.20017 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出
17、版社.19938 吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏木生.数学分析习题精解M.北京：科学出版社.20029 毛纲源.线性代数解题方法和技巧M.长沙：湖南大学出版社.198710 杨儒生，朱平天.线性代数习题集M.南京：江苏教育出版社.1996致谢衷心感谢我的指导老师余跃玉教授，她渊博的专业知识，严谨科学的治学态度，精益求精的工作作风，一丝不苟、锲而不舍的精神，和对数学研究的独到见解，对我产生了深远的影响，使我终身受益. 感谢她指引我进入一个崭新的研究方向，感谢她时刻关心着我的论文进度并认真耐心地指导毕业论文，使得本文能够顺利完成. 在余跃玉老师的指引下，我对范德蒙行列式有了初步的了解，具有了一定的独立科研能力. 能够成为余跃玉老师的学生，乃人生一大幸事. 在此成文之际，谨向导师余跃玉教授致以我最崇高的敬意和衷心的感谢，并祝余跃玉老师及家人身体健康，生活幸福.感谢四川文理学院的老师和领导，特别是余跃玉教授，感谢他们在我读书期间所给予的关心和帮助。感谢同窗叶艳丽、郑马莲、罗术群、以及其他师兄妹，非常高兴能与他们一起学习讨论.最后，感谢我的家人，感谢他们对我永远的支持与鼓励！
